美感教育融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究
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【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入美感教育滿足素質(zhì)教育的需要、符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求、順應(yīng)高考改革的趨勢。教師在教學(xué)過程中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美、周期美、和諧美，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情感體驗和人格發(fā)展，以適應(yīng)新時代的人才培養(yǎng)要求。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)美感教育
美感教育是一種培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識美、發(fā)現(xiàn)美和創(chuàng)造美的能力的教育。數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，具有高度概括性和抽象性，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)融入美感教育，有利于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)美、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的能力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，感悟數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
一、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入美感教育的必要性
（一）滿足素質(zhì)教育的需要
隨著課程改革持續(xù)推進(jìn)，教育更加重視學(xué)生的智力、思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，對學(xué)生的各方面有著舉足輕重的影響。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入美感教育，可提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維和審美素養(yǎng)，滿足了素質(zhì)教育的需要。
（二）符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（本文簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。將美感教育貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，促使學(xué)生陶冶情操，提升思維品質(zhì)，嘗試從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)世界的美，用數(shù)學(xué)規(guī)則解釋自然的奧秘，探索生活中存在的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)。
（三）順應(yīng)高考改革的趨勢
隨著新高考制度的改革，學(xué)業(yè)質(zhì)量評價不僅重視學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與技能的掌握，而且還關(guān)注學(xué)生的情感態(tài)度、價值觀、創(chuàng)新性等方面。近幾年，數(shù)學(xué)高考題目背景更多樣化、生活化，重視考查學(xué)生的綜合素質(zhì)和文化修養(yǎng)。
二、高中數(shù)學(xué)中的美感教育
（一）數(shù)學(xué)的簡潔美
數(shù)學(xué)的簡潔美具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言的簡潔、數(shù)學(xué)公式的簡潔、數(shù)學(xué)解題方法的簡潔等。例如Venn圖作為一種集合的表示方法，是用圖形的方式表示集合之間的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生更加直觀地理解集合的關(guān)系與運(yùn)算。又如通過弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪或升冪、“1”的代換等方法，可以將復(fù)雜的三角函數(shù)式化為簡單的形式。再如根據(jù)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}計算新數(shù)列{anbn}的前n項和時，采用錯位相減法能夠快速化簡得出結(jié)果。當(dāng)題目中的數(shù)列裂項后明顯能夠相消時，采用裂項相消法，能夠快速化簡得出結(jié)果。數(shù)學(xué)的簡潔美不僅體現(xiàn)在公式和語言上，而且也蘊(yùn)含在解題方法中，晦澀復(fù)雜的問題往往可以抽象為簡潔明了的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)模型便能快速解決問題。例如2020年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)的北京天壇的扇面形石板選擇題，學(xué)生需要讀懂題目將情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，三環(huán)扇面形石板構(gòu)成了一個等差數(shù)列，使用等差數(shù)列的公式和性質(zhì)進(jìn)行求解，復(fù)雜的問題立刻變得簡單容易解決。
（二）數(shù)學(xué)的對稱美
數(shù)學(xué)的對稱美具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)思想方法中。例如函數(shù)的對稱性包括函數(shù)奇偶性圖象的特點(diǎn)、偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱、奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱。在二次函數(shù)中，函數(shù)的對稱軸尤為重要，針對函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求最值的問題，最值是在對稱軸上還是區(qū)間端點(diǎn)處，要具體問題具體分析。例如在全體實數(shù)范圍內(nèi)，二次函數(shù)y=-3x2+12x-8取得的最值是多少？分析問題：函數(shù)是開口向下的，在對稱軸x=2處取得最大值，ymax=4，此時求得函數(shù)的最大值為4。變式問題：在x∈［3，5］范圍內(nèi)，二次函數(shù)y=-3x2+12x-8取得的最大值為多少？分析問題：變式題目與原題目的區(qū)別在于函數(shù)定義域發(fā)生了變化，定義域縮小后，二次函數(shù)的對稱軸已經(jīng)不在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)圖象的走勢，函數(shù)在x=3時能夠取得最大值。這一類問題以對稱軸是否存在為切入點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題的嚴(yán)謹(jǐn)性。在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中，角α與-α的正余弦關(guān)系、角α與α±π的正余弦關(guān)系、角α與π-α的正余弦關(guān)系，都可以利用三角函數(shù)的軸對稱和中心對稱性質(zhì)在圖象中得出結(jié)論。研究角α與-α的正余弦時，兩個角的終邊與圓的交點(diǎn)分別是D、D′，這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反（見圖1）。同理，在角α與α±π中，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，在角α與π-α中，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱。這種對稱性就是誘導(dǎo)公式的原理，口訣“奇變偶不變，符號看象限”即將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。函數(shù)的對稱性也可以應(yīng)用在其他內(nèi)容中，根據(jù)圖象的對稱性可以簡單地解答出面積概率問題。例如2017年全國I卷理科數(shù)學(xué)的第二題，正方形ABCD內(nèi)的圖形為中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱（見圖2），在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是？分析問題：根據(jù)圖形的對稱性，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1，那么正方形的面積為4，所以黑色部分的面積為π2，因此在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率為π8。本題以太極圖為切入點(diǎn)，考查圖形對稱和幾何概型。研究對稱性已經(jīng)成為解答這類題目的一種方法，有助于讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)生直觀想象和空間想象的能力。
（三）數(shù)學(xué)的周期美
數(shù)學(xué)的周期美具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)圖象的周期性變化和公式的周期變化。教師在教學(xué)周期變化時，從地球繞太陽轉(zhuǎn)動和地球自轉(zhuǎn)的周期變化引入周期函數(shù)，教材中提到的函數(shù)f（x）=x-［x］就是一種周期性變化，這種類似鋸子的波形，在物理中是應(yīng)用廣泛的鋸齒波函數(shù)。在對三角函數(shù)性質(zhì)的研究中總結(jié)出：在單位圓中，終邊相同的角正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值都相等，對于任意一個角α，每增加2π的整數(shù)倍其值都不發(fā)生變化（見圖3）。學(xué)生在單位圓的學(xué)習(xí)中充分體會到了三角函數(shù)的周期性。從函數(shù)公式的變化可以分析出函數(shù)是否存在周期。例如已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（50）=？分析問題：題目要求50個函數(shù)值的和，先分開求和再求總和顯然不是一個簡捷的方法，題目中提到函數(shù)是奇函數(shù)，那么函數(shù)關(guān)于x=1對稱，所以函數(shù)一定是周期函數(shù)，可以先求出周期，再尋找規(guī)律。周期性問題一般具有極強(qiáng)的規(guī)律性，因此尋找規(guī)律可以讓這類題目變得簡單，在探索規(guī)律中，讓問題由繁化簡，給學(xué)生帶來良好的解題體驗。
（四）數(shù)學(xué)的和諧美
美是目的性與規(guī)律性的統(tǒng)一，美的事物往往具有和諧感。例如數(shù)學(xué)中著名的黃金分割比例蘊(yùn)含著神秘的美感，因為具有黃金分割比例的物體有一種和諧的美感，所以在建筑、繪畫等領(lǐng)域，黃金分割比例被普遍推崇。例如古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12（5-12≈0.618），此為黃金分割比例，著名的《斷臂維納斯》雕塑便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12，若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是？分析問題：頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂至咽喉的長度小于26cm，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是5-12≈0.618，可得咽喉至肚臍的長度小于260.618≈42cm，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12，可得肚臍至足底的長度小于110cm（42+260.618≈110），即這人的身高小于178cm（110+68=178），根據(jù)肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于65cm（105×0.618≈65），則這人的身高大于170cm（65+105=170）。這道題考查了學(xué)生對于黃金分割比例的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。與黃金分割比例有著異曲同工之妙的是斐波那契數(shù)列，由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出，用f（n）表示如下：f（0）=0，f（1）=1，則f（n）=f（n-1）+f（n-2），n>2，n∈N+。學(xué)生可能會覺得這個數(shù)列比較復(fù)雜難懂，但其實斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實生活中無處不在。自然界中有一種名叫球薊的植物，它的頭部有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋，恰好是斐波那契數(shù)列的第7項和第8項，因此把這種螺旋稱為斐波那契螺旋。自然界中的植物并不理解什么是斐波那契數(shù)列，但它們的生長卻蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的秘密，例如向日葵、松果等植物排列的規(guī)律也是斐波那契數(shù)列。這個數(shù)列看似晦澀，但它卻將自然界鬼斧神工的美麗解釋得一清二楚，了解了這些知識再回顧斐波那契數(shù)列，一種和諧之美油然而生。
三、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入美感教育的建議
（一）轉(zhuǎn)變教育觀念，重視學(xué)生的課堂情感體驗
《課程標(biāo)準(zhǔn)》提到：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！闭n堂不應(yīng)是教師的一言堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗、情感體驗應(yīng)受到重視。教師需要樹立良好的審美意識，對美感教育有充分的認(rèn)識，提升自己的數(shù)學(xué)審美素養(yǎng)，以激發(fā)學(xué)生對美的追求和探索欲望。
（二）提升教師的業(yè)務(wù)水平，打造體驗美的數(shù)學(xué)課堂
教師不僅要精確把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識，而且還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化知識，擴(kuò)充自己知識范圍，將美感教育完美融入到課堂教學(xué)中。教師要具有創(chuàng)造精神，不能局限于教材中的引申和補(bǔ)充，也不能一味地把現(xiàn)有的美感教育例子直接用在課堂中。在教學(xué)設(shè)計中，可以增添讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)美感的環(huán)節(jié)。此外，在板書上，教師需要創(chuàng)造出優(yōu)美的板書，完整且具有美感的板書可以讓學(xué)生對知識理解更清晰更深刻。
（三）大膽創(chuàng)新，利用教學(xué)工具激活課堂
美感教育應(yīng)滲透在課堂的各個環(huán)節(jié)，單純的知識教學(xué)容易讓學(xué)生只關(guān)注公式定理，對此，教師要從學(xué)生感興趣的事物入手。高中生對直觀的知識接受程度明顯更高，因此在教學(xué)過程中，應(yīng)用現(xiàn)代教育技術(shù)手段十分有必要。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)圖象時，采用幾何畫板讓學(xué)生直觀地感受到函數(shù)圖象的變化。又如對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，教師可以通過制作概念流程圖，方便學(xué)生記憶概念之間的聯(lián)系。
（四）因材施教，關(guān)注每個學(xué)生的美感體驗
數(shù)學(xué)美感教育的最終目的是讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)知識的奇妙，更好地接受知識，并積極探索問題。教師要充分考慮學(xué)生基礎(chǔ)的差異性，在美感教育中也要學(xué)會因材施教，一切以學(xué)生的興趣為出發(fā)點(diǎn)，落腳于學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)步和全面發(fā)展。每個學(xué)生對于美的感覺都不一樣，教師在課堂上應(yīng)該多鼓勵學(xué)生自主探究，結(jié)合自身實際情況，在美感教育中實現(xiàn)自身的發(fā)展。美感教育為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教學(xué)增添了創(chuàng)造性，這種創(chuàng)造性能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，陶冶學(xué)生的情操，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)美、感受美。
作者:賈南希 單位:陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院