計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)思路

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一、前言

數(shù)學(xué)在人類文明的發(fā)展歷史中發(fā)揮著重要的作用，推動了重大的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步。尤其是到了二十世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)的理論研究與實(shí)際應(yīng)用之間的時間差已大大縮短。當(dāng)前，隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的普及，信息的數(shù)字化和信息通道的大規(guī)模聯(lián)網(wǎng)，依據(jù)數(shù)學(xué)所作的創(chuàng)造設(shè)想已經(jīng)達(dá)到可即時試驗(yàn)、即時實(shí)施的地步。數(shù)學(xué)技術(shù)一直是一種應(yīng)用最廣泛、最直接、最及時、最富創(chuàng)造力的實(shí)用技術(shù)。數(shù)學(xué)為計(jì)算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展壯大提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。早在1936年，英國數(shù)學(xué)家圖靈(Turing)發(fā)表了對計(jì)算機(jī)具有奠基意義的論文《論可計(jì)算數(shù)及其在判定問題上的應(yīng)用》，里面提出了計(jì)算的圖靈機(jī)模型，該模型即為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)模型的原型。為紀(jì)念數(shù)學(xué)家圖靈，美國計(jì)算機(jī)學(xué)會于1966年設(shè)立了計(jì)算機(jī)界最負(fù)盛名的“圖靈”獎，以表彰那些對計(jì)算機(jī)事業(yè)做出重要貢獻(xiàn)的個人。數(shù)學(xué)是所有工科的基礎(chǔ)，其中離散數(shù)學(xué)已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的理論基礎(chǔ)。圖靈獎的獲得者中有不少是學(xué)數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)家出身。1974年獲獎的DonaldE.Knuth被稱為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之父，之前在加州理工獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，著有經(jīng)典著作《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》4卷。RichardM.Karp于1985年獲獎，之前在哈佛大學(xué)獲應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位。1986獲獎的RobertE.Tarjan在斯坦福大學(xué)同時獲得數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的博士學(xué)位，主要研究圖論、算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)前計(jì)算機(jī)理論及應(yīng)用的壯大和發(fā)展更是離不開近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，將計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的發(fā)展分割開來既不合理也不現(xiàn)實(shí)，和所有學(xué)科一樣，計(jì)算機(jī)領(lǐng)域也有自己的問題，比如什么是可計(jì)算的，什么是實(shí)際可計(jì)算的，這些計(jì)算模型本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。離散結(jié)構(gòu)上的算法研究無疑是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要領(lǐng)域，研究算法需有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，就機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的研究而言，通常要對所處理的數(shù)據(jù)建立不同的數(shù)學(xué)模型如分類模型、回歸模型和排序模型。一般地，先針對這些問題建立特定的模型，然后采用有效的優(yōu)化算法來求解這些模型。應(yīng)用數(shù)學(xué)如矩陣論、多元統(tǒng)計(jì)分析和最優(yōu)化理論可以為深入地研究機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域提供理論基礎(chǔ)。在實(shí)際的工作中，會經(jīng)?？吹綌?shù)學(xué)基礎(chǔ)好、具有一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人解決問題會游刃有余且后勁足，學(xué)習(xí)新事物和新東西會比較快，會表現(xiàn)出一定的創(chuàng)造性。但是當(dāng)前大學(xué)的課程安排普遍存在對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的掌握程度不是很重視，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)課的態(tài)度停留在學(xué)習(xí)時僅了解，一學(xué)完就全忘，到用時就迷惑的一知半解狀態(tài)。教師在教授專業(yè)課和專業(yè)基礎(chǔ)課的過程中，沒有引導(dǎo)學(xué)生深入地發(fā)掘理論背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生對計(jì)算機(jī)科學(xué)理論的理解只能停留在表面，憑機(jī)械性記憶而沒有徹底理解。鑒于上述數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)的發(fā)明發(fā)展和實(shí)際工作中的重要作用，因此，在計(jì)算機(jī)教育的過程中，迫切地需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以滿足現(xiàn)實(shí)工作和學(xué)習(xí)中解決實(shí)際問題的需要。

二、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

《算法設(shè)計(jì)與分析》是計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門重要的專業(yè)課，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面結(jié)合這門課程來談?wù)勗谟?jì)算機(jī)課程中如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(一)結(jié)合算法的發(fā)明史來講解算法

深入學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)需要有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對于算法的學(xué)習(xí)更是如此。研究算法的圖靈獎獲得者中有很多是數(shù)學(xué)家或者學(xué)數(shù)學(xué)出身，如圖論中有很多算法是以前面提到的RobertE.Tarjan的名字命名的，著名的Dijkstra最短路徑算法由EdsgerW.Dijkstra發(fā)明，而他2000年退休前一直是美國Taxas大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)教授。前面提到的DonaldE.Knuth則是字符串匹配算法KMP算法的發(fā)明人。給學(xué)生講解算法的發(fā)明歷史一方面幫助學(xué)生了解發(fā)明算法的背景和發(fā)明過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望；另一方面讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性和其在該課程所涉及的領(lǐng)域中發(fā)揮的重要作用。

(二)結(jié)合學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識來講解算法

修讀該門課程的對象一般為大學(xué)高年級學(xué)生，他們之前應(yīng)該修過其他的數(shù)學(xué)課程，如高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)、線性代數(shù)和離散數(shù)學(xué)。通常教師在講授該課程的過程中會認(rèn)識到離散數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮的作用，會有意識地提及離散數(shù)學(xué)的知識，但實(shí)際上學(xué)生學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)或線性代數(shù)的知識對理解該門課程也是有幫助的。下面通過一個例子來說明數(shù)學(xué)知識對理解算法正確性的重要作用。設(shè)計(jì)完算法如何證明算法的正確性呢？對于順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)比較好驗(yàn)證，而對于循環(huán)結(jié)構(gòu)就使用循環(huán)不變量(LoopInvariant)來證明。而循環(huán)不變量的證明實(shí)際上借鑒了數(shù)學(xué)歸納法的思想：循環(huán)發(fā)生前某個循環(huán)不變量為真，循環(huán)進(jìn)行的過程中保持為真，那么循環(huán)結(jié)束時，該循環(huán)不變量仍然為真。因此可以斷定：無論循環(huán)體循環(huán)多少次，該循環(huán)不變量總為真。其他的例子，包括：比較算法的時間復(fù)雜度時可以引入高等數(shù)學(xué)中的無窮小量來講解；計(jì)算時間復(fù)雜度也會涉及到利用無窮級數(shù)的估計(jì)等等。

(三)結(jié)合數(shù)學(xué)工具來可視化算法

理論的發(fā)明通常是從簡單直觀的例子中歸納得來的，數(shù)學(xué)工具可以幫助我們理解和可視化算法。

(四)結(jié)合數(shù)學(xué)抽象思維來幫助學(xué)生理解算法

數(shù)學(xué)的抽象思維可以幫助學(xué)生站在更高的角度來看待問題和算法之間的聯(lián)系。算法通常是針對某一類問題的，而如何對問題進(jìn)行歸類，如何選擇合適的算法解決是值得學(xué)生去探究的問題。講解算法時，應(yīng)該幫助學(xué)生抽象出問題的本質(zhì)，同時注意算法之間的聯(lián)系與區(qū)別。計(jì)算點(diǎn)對之間的距離是算法設(shè)計(jì)中一個經(jīng)典問題，如果源點(diǎn)單一，可采用Dijkstra最短路徑算法，而計(jì)算圖中任意點(diǎn)之間的最短路徑，使用Floyd-Warshall最短路徑算法會合適一些，但是如果圖上的權(quán)重存在負(fù)值，那就要用帶松弛操作的Bellman-Ford算法求解。了解了這些知識后，學(xué)生在把問題抽象成特定的算法模型時，就可以正確地使用合適的算法了。其他問題包括使用矩陣胚理論來證明貪心算法的正確性以及靈活應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃來求解離散結(jié)構(gòu)上的最優(yōu)化問題等等。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用中的重要作用表明了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)在計(jì)算機(jī)教育中的重要性。通過算法設(shè)計(jì)與分析課程的例子，第二節(jié)給出了4種方法闡述了如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。然而，方法的最終目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)這個工具培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，如同著名的教育家陶行知指出的那樣：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，而是教學(xué)生學(xué)”。因此，通過學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)能起到鍛煉學(xué)生思維能力和自學(xué)能力的目的。從這個意義上講，在計(jì)算機(jī)教育中培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有一定的積極作用和參考價值。