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數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn),是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心,是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的源泉,是提高能力的前提.但是僅注意數(shù)學(xué)概念的地位及作用是不夠的,還應(yīng)注意如何具體的落實(shí)在教學(xué)中,如何在教學(xué)中使學(xué)生更有效的理解數(shù)學(xué)概念.
一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)
(一)數(shù)學(xué)教育中概念教學(xué)的意義及存在的問題
在數(shù)學(xué)教育中發(fā)展學(xué)生的能力,歷來是數(shù)學(xué)教育改革的重大課題與核心問題.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),若忽視了數(shù)學(xué)概念這一基礎(chǔ)知識的教學(xué),那么對學(xué)生能力的培養(yǎng)及其它一切教學(xué)要求和目的都將是一句空話.許多學(xué)生的數(shù)學(xué)成績差往往都要?dú)w結(jié)于對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的不重視或不理解,概念不明確必然會影響到法則、性質(zhì)、定理、證明、運(yùn)算等一系列知識的理解和運(yùn)用.
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,往往遇見這樣的事情,若提問學(xué)生概念時,則能對答如流,但一遇到題,就出現(xiàn)這樣的困惑:要么無從下手,要么得不到合理的結(jié)果.這是概念學(xué)習(xí)中常遇見的一種現(xiàn)象――假性理解.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的假性理解介于正確理解和錯誤理解之間,對概念只是簡單的記憶,雖能復(fù)述,但卻沒有抓住概念的本質(zhì)特征,也未深刻理解更沒有形成應(yīng)用的能力.我們認(rèn)為,造成學(xué)生“假性理解”的原因,也就是我們目前概念教學(xué)中的問題所在。
二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中應(yīng)遵循的原則
(1)科學(xué)性與思想性統(tǒng)一原則
教師傳授的知識,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的共性應(yīng)當(dāng)是正確、可靠的,引用的事實(shí)應(yīng)當(dāng)是有根據(jù)的,不可瞎編亂造;提出的定義合乎情理,沒有歧義;同時要講清概念中的每一個字、詞的真實(shí)含義及引申含義;做出的論斷應(yīng)邏輯性強(qiáng)、正確無誤.
(2)啟發(fā)性原則
在教學(xué)中教師要視學(xué)生為主體,注重調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,積極探索,主動自覺地學(xué)習(xí).自覺地掌握科學(xué)文化知識和提高分析問題、解決問題的能力.教師要輔助、引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生,逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)的能力,培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.這也是本論文重點(diǎn)探索的教學(xué)原則.
(3)循序漸進(jìn)的原則
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要按照學(xué)生認(rèn)識發(fā)展的順序進(jìn)行,使學(xué)生系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)概念和基本技能,形成嚴(yán)密的邏輯思維能力.新概念的引入,是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善.有些概念內(nèi)容復(fù)雜,外延廣泛,很難在教學(xué)中一步到位,需要分成若干個層次,循序漸進(jìn),逐步加深和提高.
三、常見數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法
要重視概念的引入過程,新課標(biāo)指出:數(shù)學(xué)概念中要引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念.因此引入數(shù)學(xué)概念就要以具體的典型材料和實(shí)例為基礎(chǔ),揭示概念形成的實(shí)際背景.要創(chuàng)設(shè)好的問題情境,幫助學(xué)生由材料感知到理性認(rèn)識的過渡,并引導(dǎo)學(xué)生用背景材料與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.
1利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)引入概念
數(shù)學(xué)概念往往是“抽象之上的抽象”,先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎(chǔ),教學(xué)中要充分利用學(xué)生頭腦中已有的知識與相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)來引入概念.例如:在講圓的概念時,教師可以讓學(xué)生講述生活中有哪些東西是圓形的,以及它們之間的共同點(diǎn)是什么,這樣一步步將學(xué)生的具體思維引導(dǎo)到抽象思維上,從而使學(xué)生更容易理解概念.
2結(jié)合數(shù)學(xué)史,以數(shù)學(xué)故事引入數(shù)學(xué)概念
在講授新的數(shù)學(xué)概念的時候,結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)囊胍恍?shù)學(xué)史,數(shù)學(xué)家的故事,或者講一些生動的數(shù)學(xué)典故,往往能很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例如:在講圓的概念時,可以講述我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之父子為圓周率所做的貢獻(xiàn),以及他們的一些小故事.教師只有通過展示大量生動的背景材料,才易于學(xué)生分析、比較、抽象、概括,明確概念的本質(zhì)屬性.
3適時開展數(shù)學(xué)活動,引入概念
數(shù)學(xué)概念是反映一類對象本質(zhì)屬性的思維形式,它具有相對獨(dú)立性。概念反映的是這一類對象的本質(zhì)屬性,即這類對象的內(nèi)在的、固有的屬性,而不是表面的屬性,而這類對象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系,僅被抽取出量的關(guān)系和形式構(gòu)造。在某種程度上表現(xiàn)為對原始對象具體內(nèi)容的相對獨(dú)立性。
數(shù)學(xué)概念又具有抽象與具體的雙重性。數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對象的本質(zhì)屬性,那么它是抽象的。以“矩形”概念為例,現(xiàn)實(shí)世界中沒見過抽象的矩形,而只能見到形形的具體的矩形。從這個意義上說,數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化、符號化的語言,是數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn),即抽象程度更高。但同時,正因?yàn)槌橄蟪潭扔?,與現(xiàn)實(shí)的原始對象聯(lián)系愈弱,才使得數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎么抽象,高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內(nèi)容。且數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分,就整個數(shù)學(xué)體系而言,概念是一個實(shí)在的東西。所以它既是臭抽象的又是具體的。
數(shù)學(xué)概念還具有邏輯聯(lián)系性。數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念都是在原始概念(原名)的基礎(chǔ)上形成的,并采用邏輯定義的方法,以語言或符號的形式使之固定。其他學(xué)科均沒有數(shù)學(xué)中諸概念那樣具有如此精確的內(nèi)涵和如此豐富、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬄?lián)系。
數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容,是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心,正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特別是像我校這樣普通中學(xué)的學(xué)生,數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。教學(xué)過程中如果能夠充分考慮到這一因素,抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī),以提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是完全可以做到的,同時,數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也為學(xué)生的各項(xiàng)能力和素質(zhì)的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要保障。
從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來看,學(xué)生往往會出現(xiàn)兩種傾向,其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味,不去重視它,不求甚解,導(dǎo)致概念認(rèn)識和理解模糊;其二是有的學(xué)生對基本概念雖然重視但只是死記硬背,而不去真正透徹理解,只有機(jī)械的、零碎的認(rèn)識。這樣久而久之,從而嚴(yán)重影響對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和運(yùn)用。比如有的同學(xué)在解題中得到異面直線的夾角為鈍角,有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個交點(diǎn),這些錯誤都是由于學(xué)生對概念認(rèn)識模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念,我們才能把握數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng),才能有正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算,論證和空間想象。從一定意義上說,數(shù)學(xué)水平的高低,取決于對數(shù)學(xué)概念掌握的程度。
二.?dāng)?shù)學(xué)概念的教學(xué)形式
1.注重概念的本源、概念產(chǎn)生的基礎(chǔ),體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過程
每一個概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景,舍棄這些背景,直接拋給學(xué)生一連串的概念是傳統(tǒng)教學(xué)模式中司空見慣的做法,這種做法常常使學(xué)生感到茫然,丟掉了培養(yǎng)學(xué)生概括能力的極好機(jī)會。由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和明確規(guī)定性,傳統(tǒng)教學(xué)中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性,在方式上以“告訴”為主讓學(xué)生“占有”新概念,使學(xué)生處于被動地位,使思維呈依賴,這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)?!皩W(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”,“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程,那么在獲得概念的同時還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用,我們應(yīng)重視在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學(xué)的第一步,也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時教師要鼓勵學(xué)生猜想,即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想象,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。
”猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次,屬于創(chuàng)造性想象,是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動力,因此,在概念引入時培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣,是形成數(shù)學(xué)直覺,發(fā)展數(shù)學(xué)思維,獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì),也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。 轉(zhuǎn)貼于
比如,在立體幾何中異面直線距離的概念,傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念,然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念,如兩點(diǎn)之間的距離,點(diǎn)到直線的距離,兩平行線之間的距離,引導(dǎo)學(xué)生思考這些距離有什么特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)是最短與垂直。然后,啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點(diǎn),它們間的距離是最短的?如果存在,應(yīng)當(dāng)有什么特征?于是經(jīng)過共同探索,得出如果這兩點(diǎn)的連線段和兩條異面直線都垂直,則其長是最短的,并通過實(shí)物模型演示確認(rèn)這樣的線段存在,在此基礎(chǔ)上,自然地給出異面直線距離的概念。這樣做,不僅使學(xué)生得到了概括能力的訓(xùn)練,還嘗到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的滋味,認(rèn)識到距離這個概念的本質(zhì)屬性。
2.挖掘概念的內(nèi)涵與外延,理解概念
新概念的引入,是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個層次,逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義,經(jīng)歷了以下三個循序漸進(jìn)、不斷深化的過程:
(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義;
(2)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義;
(3)任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出:1、三角函數(shù)的值在各個象限的符號;2、三角函數(shù)線; 3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式; 4、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì);5、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等??梢姡呛瘮?shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用?!澳サ恫徽`砍柴工”,重視概念教學(xué),挖掘概念的內(nèi)涵與外延,有利于學(xué)生理解概念。
3.尋找新舊概念之間聯(lián)系,掌握概念
數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系,如平行線段與平行向量,平面角與空間角,方程與不等式,映射與函數(shù)等等,在教學(xué)中應(yīng)善于尋找,分析其聯(lián)系與區(qū)別,有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如,函數(shù)概念有兩種定義,一種是初中給出的定義,是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個取值,與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來;另一種高中給出的定義,是從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應(yīng)起來。從歷史上看,初中給出的定義來源于物理公式,而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)可用圖象、表格、公式等表示,所以高中用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性,更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義,其定義域與值域的含義完全相同,對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣,只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同,所以兩種函數(shù)的定義,本質(zhì)是一致的。當(dāng)然,對于函數(shù)概念真正的認(rèn)識和理解是不容易的,要經(jīng)歷一個多次接觸的較長的過程。
4.運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題,鞏固概念
數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該注重概念產(chǎn)生的背景、提出(引入)過程等環(huán)
節(jié)[1];數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)APOS理論模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行心理建構(gòu)的第一階段就是操作或活動階段[2],即在一定背景下引入概念;在教科書的演變過程中,因式分解內(nèi)容也從講解式發(fā)展到啟發(fā)式,尤其注重從實(shí)際的例子引入,以便學(xué)生理解[3]。不難看到,概念的背景和引入是概念教學(xué)非常重要的起步。至此,筆者將因式分解概念的背景介紹和引入作為備課的重點(diǎn)之一,讓學(xué)生通過這節(jié)課體會因式分解概念學(xué)習(xí)的必要性和重要性。
一、基于概念背景的因式分解教學(xué)設(shè)計
為更好地引入因式分解這一概念的背景,筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計片段:
二、基于概念背景的因式分解思考
筆者將課程的引入設(shè)計為以上三重思考,通過一些例子來滲透因式分解這一概念的必要性和重要性,讓學(xué)生在一個大的背景下學(xué)習(xí)因式分解概念。
1. 因式分解與學(xué)科內(nèi)容的邏輯關(guān)系
因式分解是對整式的一種變形,是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,它與整式乘法是互逆變形的關(guān)系。因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ),是解決整式恒等變形和簡便運(yùn)算問題的重要工具。因此,“思考1”的設(shè)計是想讓學(xué)生體會到因式分解和后續(xù)學(xué)習(xí)的密切關(guān)系。筆者選擇從分式化簡的角度來引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生通過和很容易想到了要想化簡,只需要將分子 寫成乘積的形式。
2. 因式分解與實(shí)際應(yīng)用
“思考2”展示了長方形草坪和長方體紙盒的設(shè)計問題:當(dāng)長方形草坪的面積一定時,如何設(shè)計它的長和寬,當(dāng)長方體包裝盒的體積一定時,如何設(shè)計它的長、寬、高。盡管這樣的設(shè)計不唯一,但學(xué)生通過12=4×3和ab=a b也容易想到將a2-b2寫成兩個式子乘積的形式,將a3+2a2b+ab2寫成三個式子乘積的形式,這樣的問題讓學(xué)生切實(shí)感受到生活中的一些實(shí)際問題也需要用到“將某個式子寫成乘積的形式”,同時讓學(xué)生感受因式分解有其幾何背景。
3. 因式分解與思維訓(xùn)練
在評課活動中,老師們曾提到,“思考1”和“思考2”的設(shè)計是在他們意料之中的,但“思考3”的設(shè)計在他們意料之外。有老師問到,這樣的問題學(xué)生在學(xué)完本課之后能解決嗎?筆者認(rèn)為“思考3”的設(shè)計目的并不是讓學(xué)生一定會對n4+4進(jìn)行因式分解,而是想讓學(xué)生感受因式分解在數(shù)學(xué)史中的地位和作用,同時用這樣一個數(shù)學(xué)史的問題引起學(xué)生的興趣和思考,帶著這個問題學(xué)完本章,在章節(jié)結(jié)束時順其自然地解決這個問題。在實(shí)際授課過程中,筆者感受到學(xué)生對“思考1”和“思考2”的回答很流暢,而對“思考3”的回答就沒那么順暢了。筆者提示學(xué)生從具體的數(shù)入手計算,學(xué)生們行動起來,并把得到的數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解,說明它是合數(shù),也由此想到了是否能把n4+4也寫成一些式子乘積的形式。
三、小結(jié)
至此,學(xué)生已經(jīng)對“把某個式子寫成乘積形式”這一變形的印象非常深刻了,此時提出因式分解的概念便水到渠成。后續(xù)教學(xué)過程就是圍繞因式分解與整式乘法是互逆變形的關(guān)系歸納概括因式分解的概念,然后辨析概念,最后講解了一種因式分解的基本方法―提公因式法。在本課的最后,筆者又回到了課程起始的三個思考,學(xué)生恍然大悟,要解決這三個問題,其實(shí)就是對a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4進(jìn)行因式分解。
整堂課下來,學(xué)生給筆者的感覺是他們多多少少體會到了學(xué)習(xí)因式分解概念的必要性,概念的產(chǎn)生也沒有那么突兀。這使筆者感到這樣的思考和備課是很有意義的?;仡櫼延袑W(xué)者、研究者對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究,我們看到,概念的背景和引入雖然只是概念教學(xué)的一部分,但它卻是概念教學(xué)非常重要的起步。在數(shù)學(xué)教科書的演變過程中,我們洞察到因式分解概念教學(xué)越來越注重從實(shí)際例子引入,從大的背景出發(fā),啟發(fā)學(xué)生思考,使概念在課堂中的產(chǎn)生順理成章。
概念的背景也許并不止這些,但只要教師在教學(xué)時或多或少地設(shè)計一些有關(guān)概念背景的教學(xué)并持之以恒,就能對學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的成長大有裨益。
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[2]鮑建生, 周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海: 上海教育出版社, 2009: 380.
1.概念引入缺乏科學(xué)性。由于有些小學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)不夠,在引入概念教學(xué)時,缺乏科學(xué)性,往往忽略學(xué)生的接受能力,具體體現(xiàn)在三個方面。首先,在教學(xué)中削弱概念的作用。概念作為一堂課的引導(dǎo),教師卻忽略概念的來源和性質(zhì)解析,即使講解也是粗枝大葉,對概念中所蘊(yùn)含的的豐富內(nèi)涵忽略不計。其次,縮短其形成過程。死記硬背是教師進(jìn)行概念教學(xué)最常用的辦法。學(xué)生一般是通過模仿記憶和題海戰(zhàn)術(shù)快速掌握知識技能。但是對于其概念的形成完全不了解只能形成短暫記憶,長時間不進(jìn)行相關(guān)練習(xí)很快就會遺忘。再次,忽視概念的運(yùn)用。只要能把概念背誦出來,教師就認(rèn)為學(xué)生完成了學(xué)習(xí)任務(wù),其教學(xué)目標(biāo)也已經(jīng)達(dá)到。但是抽象的概念只有在題目中靈活運(yùn)用才能代表學(xué)生的熟知和掌握,運(yùn)用概念解決實(shí)際問題才能彰顯概念的有用性。
2.概念教學(xué)中缺乏模型意識。概念之間是相互聯(lián)系、環(huán)環(huán)相扣的,建構(gòu)概念系統(tǒng)和模型意識對學(xué)生理解和運(yùn)用概念至關(guān)重要。很多教師在進(jìn)行概念教學(xué)時缺乏建構(gòu)意識,忽略概念的聯(lián)系,將許多有聯(lián)系的概念孤立地灌輸進(jìn)學(xué)生的腦海中,實(shí)現(xiàn)不了概念的溝通,從而降低了概念教學(xué)的價值。而且,有的教師缺乏模型意識,不理解特定的概念需要相應(yīng)的模型,在進(jìn)行教學(xué)中任意改換,造成建構(gòu)的困難。例如,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊《平行四邊形和梯形》中,應(yīng)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生抽象出圖形,再通過圖形的比較分析抽象出平行四邊形。有的教師直接用教材主題圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察分析,缺乏教材要由圖像到圖形模型,再到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程,偏離了教學(xué)意圖,降低了概念教學(xué)的有效性??傊?,優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)對學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、促進(jìn)思維開發(fā)具有重要意義。
二、優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略
1.以舊推新,密切聯(lián)系生活。首先,小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重知識之間的關(guān)聯(lián)性。新知識并不是孤立存在的,往往是舊知識的進(jìn)一步演化和發(fā)展,有的數(shù)學(xué)概念不能通過語言表述進(jìn)行講解,但是與舊知識有內(nèi)在的聯(lián)系。所以,在概念教學(xué)中教師應(yīng)充分利用新舊知識之間的聯(lián)系,以舊推新,循序漸進(jìn),使學(xué)生更容易學(xué)習(xí)和掌握新的知識,同時還能夠提高學(xué)生的邏輯思維能力。其次,概念聯(lián)系生活實(shí)際可以提高教學(xué)有效性。教學(xué)模具是教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中重要的輔工具,能夠加深學(xué)生對概念的理解。教師可以在課余時間帶學(xué)生進(jìn)行戶外實(shí)踐,使學(xué)生通過具體的動手操作體會概念的內(nèi)涵。例如,在進(jìn)行面積的計算時,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂,體會一公頃的面積究竟有多大,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境。學(xué)生通過切身體會,能夠更加清楚地掌握數(shù)學(xué)公式和定理,對抽象性的概念也可以形象化。教師在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí),從而提高學(xué)生自主思考的能力。
2.注重講清概念本質(zhì)。小學(xué)生處于接受知識的初級階段,學(xué)習(xí)中形象思維占有較大比重。概念是較為抽象的東西,這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn),講清概念的本質(zhì)。首先,為學(xué)生創(chuàng)造問題情境,引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。主動學(xué)習(xí)的成效遠(yuǎn)大于被動接受,學(xué)生通過自主探索和合作交流,能夠在已有知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的思想,實(shí)現(xiàn)感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的上升,從而正確理解概念的本質(zhì)屬性。其次,注意區(qū)分相似概念。小學(xué)數(shù)學(xué)中的有些概念相似性較高,但是存在著本質(zhì)區(qū)別。學(xué)生如果在學(xué)習(xí)中混淆,有可能導(dǎo)致解題中出錯,結(jié)果南轅北轍。教師在教學(xué)中可以對概念進(jìn)行分化歸類,并對它們進(jìn)行比較分析,講清楚它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),使學(xué)生既可以看到兩個概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,又可以對它們之間的區(qū)別有較為清晰的把握,從而加深記憶,真正的理解概念。
關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué)
數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的基本要素。要使小學(xué)生掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算技能,并且能夠?qū)嶋H應(yīng)用,首先要使他們掌握好所學(xué)的數(shù)學(xué)概念。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要十分重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。那么,如何進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)的概念的教學(xué)呢?
一、什么是數(shù)學(xué)概念
數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)中,客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質(zhì)屬性而被舍棄,只保留它們在形狀、大小、位置及數(shù)量關(guān)系等方面的共同屬性。在數(shù)學(xué)科學(xué)中,數(shù)學(xué)概念的含義都要給出精確的規(guī)定,因而數(shù)學(xué)概念比一般概念更準(zhǔn)確。
小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念,包括:數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容,它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念,才能理解運(yùn)算概念,而運(yùn)算概念的掌握,又能促進(jìn)數(shù)的整除性概念的形成。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的基本策略
1、概念的引入。
數(shù)學(xué)概念是抽象的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)的,而小學(xué)生的心理特點(diǎn)則是容易理解和接受具體的、直觀的感性知識。因此,我們在教學(xué)之始應(yīng)該在數(shù)學(xué)與生活之間搭建起聯(lián)系的橋梁,提供豐富、典型、全面的感知材料,千方百計地充實(shí)學(xué)生的感性材料。概念引入的途徑是多樣的,可以通過直觀引入、計算引入,也可以從情境設(shè)疑引入、學(xué)生的生活實(shí)際引入、知識基礎(chǔ)引入。
教師在設(shè)計具體情境時,切忌單刀直入,全盤托出,而應(yīng)該根據(jù)小學(xué)生的年齡特征,緊密地聯(lián)系學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn),從舊到新,由淺入深,循序漸進(jìn)的引入。同時要注意:概念的引入情境要突出概念的本質(zhì)特征(即情境一定要與概念的本質(zhì)屬性相關(guān)聯(lián),否則會因?yàn)檫h(yuǎn)離教學(xué)內(nèi)容而影響教學(xué)效果,有時甚至產(chǎn)生誤導(dǎo)作用,將學(xué)生的思維引入歧途。);引入的路徑要體現(xiàn)概念產(chǎn)生的背景(即教師要根據(jù)概念產(chǎn)生的不同背景,因“材”施教,選定最佳的引入路徑,盡力排除非本質(zhì)屬性的干擾,讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)特點(diǎn),體現(xiàn)概念建立過程的高效化。)。
2、概念的形成。
小學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念有兩種基本形式:一是概念的形成,二是概念的同化。由于小學(xué)生的思維特點(diǎn)處于由形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段,因此,小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念大多以“概念形成”的形式為主。概念的形成是一個累積、漸進(jìn)的過程,是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念的形成一般要經(jīng)過直觀感知建立表象揭示本質(zhì)屬性三個階段,直觀感知和建立表象是建立概念的向?qū)?,概念本質(zhì)屬性的揭示是概念教學(xué)的關(guān)鍵。
3、概念的鞏固。
掌握概念是一個復(fù)雜的認(rèn)識過程,小學(xué)生對概念的掌握往往不是一次能完成的,要由具體到抽象,再由抽象到具體多次進(jìn)行往復(fù)。當(dāng)學(xué)生初步建立概念后還需運(yùn)用多種方法,促進(jìn)概念在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的保持,并通過不斷運(yùn)用,加深對概念的理解和記憶,使新建立的概念得以鞏固。為了讓學(xué)生鞏固所學(xué)的概念,可以舉出實(shí)例進(jìn)行辨析,可以自覺在解決問題時運(yùn)用。
4、概念系統(tǒng)的建立。
概念總是一個一個進(jìn)行教學(xué)的,因此在小學(xué)生的頭腦中,概念常常是孤立的、互不聯(lián)系的,教學(xué)進(jìn)行到一定程度時,要引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的概念放在一起,尋找概念之間縱向或橫向的聯(lián)系,組成概念系統(tǒng),使教材中的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成為學(xué)生頭腦中的認(rèn)識結(jié)構(gòu),也利于對知識的檢索、提取和應(yīng)用,促進(jìn)知識的遷移,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。概念系統(tǒng)的建立可以按知識內(nèi)在的聯(lián)系,也可以用增加概念的內(nèi)涵,還可以利用集合圖表示。但無論運(yùn)用哪種方法,都必須建立在反思、梳理的基礎(chǔ)之上。
5、應(yīng)用概念
在傳統(tǒng)的概念學(xué)習(xí)中,接受概念知識被確定為最終目的,學(xué)生被動的從事著單調(diào)的、大量的解題、考試等學(xué)習(xí)活動。學(xué)習(xí)概念的最終目的應(yīng)該是為了應(yīng)用概念來解決實(shí)際問題,只有把學(xué)生學(xué)到的概念知識應(yīng)用到實(shí)踐中去,學(xué)習(xí)才有意義。對于概念的應(yīng)用還存在著一個誤解,認(rèn)為只要概念知識學(xué)好了,自然就會應(yīng)用。實(shí)際上,很多數(shù)學(xué)家都認(rèn)識到培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和能力是一件很不簡單的事情,它絕不是概念學(xué)習(xí)的附屬產(chǎn)品,為了培養(yǎng)應(yīng)用意識,必須使學(xué)生受到必要的概念應(yīng)用的實(shí)際訓(xùn)練,否則強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識就會成為空洞的說教。教師要提供給學(xué)生親身應(yīng)用所學(xué)知識和思想方法去思考和處理問題的機(jī)會。使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中逐步形成應(yīng)用概念的意識和初步的應(yīng)用能力。
應(yīng)用概念的形式可以是多種多樣的。比如:
1、智力游戲類。應(yīng)用數(shù)學(xué)概念知識破解游戲中的奧秘。在游戲中學(xué)生興致高漲,同時也加深了對概念知識的理解。
一、認(rèn)識概念
數(shù)學(xué)概念語言簡練,用詞準(zhǔn)確,把概念中的關(guān)鍵字詞分析透徹,辨別清楚,對理解概念十分重要,教學(xué)時應(yīng)從以下兩點(diǎn)入手:
1.設(shè)置情境,引出概念
把抽象的數(shù)學(xué)概念用生活中的事例形象生動化。如數(shù)軸,什么是數(shù)軸?課本中明確給出概念,但是同學(xué)們似乎對原點(diǎn)和正方向有疑慮,原點(diǎn)究竟在什么位置?什么方向?yàn)檎窟@時,老師應(yīng)該從我們常見的溫度計入手,拿出事先準(zhǔn)備好的溫度計,讓學(xué)生觀察溫度計的讀數(shù)特點(diǎn),然后把溫度計水平放置,再觀察其刻度特點(diǎn)。這時如果我們把溫度計看作一條標(biāo)有刻度單位的直線,并且規(guī)定向右的方向?yàn)檎较颍敲此褪菙?shù)軸,這樣通過實(shí)物類比同學(xué)們便容易明白數(shù)軸的概念。又如八年級下冊第五章《數(shù)據(jù)的收集》中的頻數(shù)分布直方圖,書中沒有明確給出定義,也沒有具體講述怎樣繪制頻數(shù)分布直方圖,只是用一道例題的形式呈現(xiàn)出頻數(shù)分布直方圖,這時學(xué)生就會有點(diǎn)迷茫。我在初步講述時就按課本上的教學(xué)方案進(jìn)行,但教學(xué)效果很差,尤其怎樣分組的問題,學(xué)生根本弄不明白。與同級的幾位老師討論后,我又重新設(shè)計了教案,在講授時首先設(shè)置一種情境,假如我們班的同學(xué)要訂校服,首先我們要測量同學(xué)們的身高,但是根據(jù)生活常識我們知道,我班所有同學(xué)穿的校服尺碼最多也就五個,那么為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢?是因?yàn)橐路晕⒋簏c(diǎn)或者小點(diǎn)也可以,所以就會出現(xiàn)身高介于某個段內(nèi)的同學(xué)穿同樣尺碼的衣服,比如身高在1.65米――1.68米的同學(xué)穿尺碼是180的衣服,這樣就要對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行分類,因此就會出現(xiàn)數(shù)據(jù)的分組,這樣的條形統(tǒng)計圖也就是頻數(shù)分布直方圖,這樣同學(xué)們既對頻數(shù)分布直方圖有了清楚的認(rèn)識,同時也明白了它與條形統(tǒng)計圖的區(qū)別。
2.利用掛圖,教具,多媒體課件展示
把抽象的概念用實(shí)物或課件演示出來,有事半功倍的效果。例如在講授旋轉(zhuǎn)時,應(yīng)用多媒體展示幾個有關(guān)旋轉(zhuǎn)的實(shí)物,如風(fēng)扇的旋轉(zhuǎn),車輪的旋轉(zhuǎn),分析其特點(diǎn),歸納其要素,然后根據(jù)特點(diǎn)和要素總結(jié)定義,從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識,這樣教學(xué)效果就比較好。
二、理解和掌握概念
在概念教學(xué)中,只認(rèn)識它的字面意義是不夠的,還應(yīng)以分析其性質(zhì)、揭示其本質(zhì)為重點(diǎn),才能加深理解,準(zhǔn)確的掌握它的含義。
1.分類對比,深化概念
隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,接觸到的數(shù)學(xué)概念越來越多,教師要根據(jù)概念之間的邏輯關(guān)系,按知識和結(jié)構(gòu)組成概念體系,把學(xué)生感知的“孤立”、“零散”的概念納入相應(yīng)的數(shù)學(xué)體系中,讓學(xué)生獲得一個條理清晰的知識網(wǎng)絡(luò)。
2.對于并列相關(guān)的概念,可進(jìn)行類比聯(lián)想
在眾多的數(shù)學(xué)概念中,我們經(jīng)??梢砸姷?,有些概念內(nèi)容相似,但有著本質(zhì)區(qū)別,存在并列關(guān)系;有些概念的本質(zhì)相同,只是名稱不同,有著等同關(guān)系。對于這類概念,我們可以采用類比聯(lián)想,聯(lián)想的東西越多,思考的途徑就也越多。例如:二次根式的加減就是合并同類項(xiàng)根式,它可以與初一的整式加減中的合并同類項(xiàng)類比,使合并同類根式與合并同類項(xiàng)的新舊意義迅速得到同化。再如軸對稱與中心對稱,軸對稱與軸對稱圖形,中心對稱與中心對稱圖形等。通過縱橫對比,在類比中找特點(diǎn),在聯(lián)想中求共性,把數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化。
三、鞏固和運(yùn)用概念
1.將文字語言表達(dá)的概念用數(shù)學(xué)符號表達(dá)
尤其是幾何概念的學(xué)習(xí),把文字語言概念用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的過程,是進(jìn)一步理解和鞏固概念的過程。例如:“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”就要通過畫圖讓同學(xué)們感知線段重點(diǎn)的概念。又如:線段的垂直平分線,也要通過圖形讓同學(xué)們感知。這些在幾何概念的教學(xué)中是不可缺少的,這樣做可以讓學(xué)生加深對概念的理解。
2.重視概念的抽象化與具體化的有機(jī)結(jié)合
教學(xué)中教會學(xué)生應(yīng)用概念進(jìn)行推理、判斷或分析具體事物,解決實(shí)際問題,防止學(xué)生對概念認(rèn)識上思維的“斷層”,出現(xiàn)“聞而不會,會而不全”的現(xiàn)象。
3.應(yīng)用概念是鞏固的重要手段
一、導(dǎo)
即導(dǎo)出新概念,這是概念教學(xué)第一步,概念引入是否得當(dāng),直接關(guān)系到學(xué)生對概念的理解和接受,因此應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與要求,結(jié)合學(xué)生實(shí)際搞好概念教學(xué)第一步,為學(xué)生形成新概念作好準(zhǔn)備。
概念引入的途徑多種多樣,可復(fù)習(xí)舊知引入、運(yùn)用學(xué)生熟悉事例引入,組織有關(guān)感知活動引入等。一般低年級用情景引入,高年級用問題引入,視學(xué)生的實(shí)際情況而定。例如學(xué)習(xí)“除法的含義”時,就選用學(xué)生熟悉事例和具體操作活動來進(jìn)行。由于“除法”這個概念新舊知識不是很連貫,因而一上課便開門見山引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新概念的學(xué)習(xí),緊緊抓住小學(xué)生才上課前15分鐘注意力和好奇心,教師先拿出6支鉛筆,告訴同學(xué),要把手里的鉛筆分給3個同學(xué),面且每個同學(xué)分得必須同樣多,抽三名同學(xué)到黑板前和老師一起演示,教師邊示演邊口述:先拿出三支每人分得一支,接著又拿出3支,每人分得一支,此時每人分得幾支?學(xué)生:2支(分到鉛筆分完為止)然后讓全體同學(xué)用學(xué)具操作,親身感受這種分東西的方法,緊接著老師指出,這種分得同樣多的方法叫“平均分”引出“平均分”概念,它是“除法含義”的一個關(guān)健詞,必須讓小朋友認(rèn)真體會,掌握這個概念。于是我們就可以這樣來口述剛才的操作:把6支鉛筆平均分給3個同學(xué),每人分得幾支?(抽生答),在數(shù)學(xué)中,為了求出每人分得的幾支,用一種新的方法“除法”來計算,出示6÷3=2到此引出“除法”的含義,因此,用生活中孩子們最熟悉的分東西事例,并結(jié)合操作得到新概念。
二、講
即講解概念,引出概念后,不能說學(xué)生已形成概念,要在學(xué)生頭腦里形成概念,還必須清楚地提示概念的內(nèi)涵和外延。對“除”這個含義僅僅是一個描述性的概念,而要讓學(xué)生真正理解,教師必須進(jìn)行講解,對6÷3=2所表示的意思是什么,與加、減、剩、有什么不同,都認(rèn)真剖析,特別各個數(shù)字是各表示什么意思讓學(xué)生弄明白,6表示要分的總數(shù),3表示分成的份數(shù),2是每份數(shù),而且“平均分”是分得同樣多,而不是隨意分。
三、說
即復(fù)述概念,這一步不僅可培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)語言,而且也是對以上“導(dǎo)”“講”的一個及時反饋,必理學(xué)研究表明,學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力與數(shù)學(xué)概念的獲得與發(fā)展基本上是同步的。所以用“說”概念來促進(jìn)小學(xué)生鞏固和運(yùn)用概念。由于小學(xué)生語言水平和思維發(fā)展的限制,教師可采取領(lǐng)說、示范說慢慢過渡到學(xué)生自己口述。
四、練
即鞏固練習(xí),設(shè)計多種練習(xí)來鞏固和運(yùn)用概念,比如用填空形式:把6支鉛筆( )給3個同學(xué),每人分( )支,再如用判斷題形式:把6支鉛筆分給了3個同學(xué),每人分2支( × )故意將“平均分”省去。
一、讓學(xué)生自主探究,促進(jìn)對概念的理解
數(shù)學(xué)概念比較抽象,而小學(xué)生的思維處在具體形象思維為主的階段。因此,筆者在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,重視直觀形象教學(xué),注重提供觀察、操作的體驗(yàn)過程。
如教學(xué)“體積單位”一課,建立起1立方厘米、1立方分米和1立方米的表象是這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn),筆者注重提供觀察、操作的體驗(yàn)過程,引領(lǐng)學(xué)生通過猜想驗(yàn)證、觀察操作等方式,讓學(xué)生在充分感知、形成表象的基礎(chǔ)上,切實(shí)感悟和建立1立方厘米、1立方分米和1立方米實(shí)際大小的表象,建立清晰、準(zhǔn)確、形象的體積單位表象,使學(xué)生經(jīng)歷完整、有意義的概念學(xué)習(xí)過程。具體過程如下:
第一,喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn),啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立猜想常用的體積單位。
上課伊始,筆者引導(dǎo)學(xué)生回憶已經(jīng)學(xué)習(xí)過的常用的長度單位有厘米、分米、米,已經(jīng)學(xué)習(xí)過的常用面積單位有平方厘米、平方分米、平方米,并規(guī)定長度1厘米的正方形,面積是1平方厘米,長度是1分米的正方形,面積是1平方分米,長度是1米的正方形,面積是1平方米,然后讓學(xué)生根據(jù)筆者們學(xué)過的長度單位、面積單位的內(nèi)容與方法,運(yùn)用類比的思想大膽猜想常用的體積單位有哪些,而且是怎樣規(guī)定的?獨(dú)立思考后在小組內(nèi)交流。
第二,讓學(xué)生通過觀察、操作驗(yàn)證猜想,認(rèn)識常用的體積單位,建立體積單位表象。
學(xué)生猜想出常用的體積單位后,筆者進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證猜想,出示1立方厘米的小正方體模型讓學(xué)生觀察。接著讓學(xué)生用橡皮泥試著捏一個1立方厘米大小的正方體,再讓學(xué)生在生活中找出體積大約是1立方厘米的物體(如:食指尖、巧克力豆、小石子等),學(xué)生在實(shí)際觀察和動手操作中直觀感知了棱長為1厘米的正方體,體積是1立方厘米,切實(shí)感悟和建立1立方厘米實(shí)際大小的表象,再通過尋找生活中體積大約是1立方厘米的物體活動,引導(dǎo)學(xué)生把體積單位與生活中熟悉的事物聯(lián)系起來,加深對體積單位實(shí)際意義的理解。接著讓學(xué)生運(yùn)用相似的方法,通過觀察、想象、用手比劃、測量1立方分米的正方體模型棱長和1立方米紙皮箱的正方體棱長、找生活中體積大約是1立方分米和1立方米的物體等方法,自主認(rèn)識1立方分米和1立方米的大小,建立了相應(yīng)體積單位實(shí)際大小的表象。
二、密切聯(lián)系生活實(shí)際,引導(dǎo)學(xué)生在充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上理解概念
數(shù)學(xué)源于生活,并應(yīng)用于生活。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,應(yīng)緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際,引進(jìn)生活素材為學(xué)生創(chuàng)設(shè)從生活到數(shù)學(xué)和從數(shù)學(xué)到生活的雙向體驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)活動中積極感悟概念的意義。
筆者在《體積》教學(xué)中先向?qū)W生提出問題:在筆者們的生活當(dāng)中,哪些物體比較大?哪些物體比較???讓學(xué)生聯(lián)系已有的生活經(jīng)驗(yàn),感知物體是有大有小的。再通過實(shí)驗(yàn)用兩個有刻度,而且大小相同的量杯,在里面盛有同樣多的水,把一個西紅柿和一個土豆分別放進(jìn)兩個量杯中(完全浸沒),讓學(xué)生仔細(xì)觀察、思考后在小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。使學(xué)生體驗(yàn)“土豆和西紅柿都占據(jù)了水的空間,水才會升高,而由于它們大小不一樣,所占空間大小不一樣,水面升高的高度就不一樣”, 使“物體占有空間的大小”變得可觀察、可感受。然后,筆者引導(dǎo)學(xué)生建立體積的概念:物體所占空間的大小,叫做物體的體積。這樣安排,有利于學(xué)生發(fā)展學(xué)生對空間的理解,深刻理解體積的概念;有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活原型的密切聯(lián)系。
三、活用概念,在運(yùn)用的過程中深化對概念的理解
在概念教學(xué)中,筆者注重結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際設(shè)計有針對性、趣味性的課堂練習(xí),讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概念知識解決問題,在運(yùn)用的過程中鞏固和深化對概念的理解。
[關(guān)鍵詞] 函數(shù);概念;生成;反思
本課在教材中的地位與作用
函數(shù)在數(shù)學(xué)課程中一直占據(jù)著非常重要的地位,尤其在初中階段,它不僅有著基礎(chǔ)性的重要功能與廣泛的實(shí)際應(yīng)用,而且對于學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)也有著舉足輕重的作用,它是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是重要的基礎(chǔ)知識和重要的數(shù)學(xué)思想. 大家是在前面學(xué)習(xí)代數(shù)式、方程等知識的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、平面直角坐標(biāo)系知識、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等知識的,為高中函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 同時,在函數(shù)教材中還蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想,如轉(zhuǎn)化思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等,感悟這些數(shù)學(xué)思想不僅是本專題學(xué)習(xí)的重要任務(wù),而且對今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及學(xué)生生活都將發(fā)揮重要作用.
多少年來,學(xué)生談“函”色變,教師教“函”叫苦,面對這樣一個抽象的數(shù)學(xué)概念,如何教給學(xué)生,以求教學(xué)效益的最大化,是我們共同追求的目標(biāo). 因此,以“函數(shù)”概念引入課為參賽課題的各級賽課、展示課應(yīng)運(yùn)而生.
課堂實(shí)錄及分析
2013年10月,在全市數(shù)學(xué)教師青年論壇上,一位數(shù)學(xué)教師執(zhí)教蘇科版八年級上冊“函數(shù)”第一課時,這是一節(jié)數(shù)學(xué)概念的引入課,執(zhí)教教師預(yù)先制作了精美的課件,上課前,讓學(xué)生欣賞了一段視頻,內(nèi)容是自然界的萬物變化,讓學(xué)生感知自然,讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活.
導(dǎo)課環(huán)節(jié),教師設(shè)置了以下問題情境:
1. 兩張標(biāo)簽(購買相同單價、不同質(zhì)量的雞蛋標(biāo)簽);
2. 模擬升國旗(標(biāo)明了旗桿總長、升旗速度、旗桿剩下長度等信息).
在這兩個情境中,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析兩張標(biāo)簽的相同點(diǎn)、不同點(diǎn),升旗過程中哪些量發(fā)生改變,哪些量不變,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生得出本課的第一組概念:變量和常量.
教師小結(jié):在變化的過程中,常量和變量會有一些關(guān)系. 緊接著教師詢問:我們是研究變量還是常量呢?學(xué)生回答:變量. 好!正合教師之意,于是進(jìn)入下一個情境(情境3)進(jìn)行探究(水位變化).
課件呈現(xiàn)一個不規(guī)則容器(沒有刻度),其中蓄水量在上升,教師提問:觀察這個變化的過程,你發(fā)現(xiàn)變量有哪些?常量是什么?哪些變量之間有一定的關(guān)系?(表1)
教師提問:你發(fā)現(xiàn)水位和蓄水量之間有怎樣的關(guān)系?如果在合理的范圍內(nèi)給定一個水位,會有對應(yīng)的蓄水量嗎?有幾個蓄水量與之對應(yīng)?(引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)的定義)
分析了蓄水量與水位變化之間的關(guān)系后,教師總結(jié):這種對應(yīng)關(guān)系對于水利工作者的研究特別重要.
此時,教師沒有立刻揭示函數(shù)的概念,而是進(jìn)入問題情境4――搭小魚. 在這個情境中,教師意在繼續(xù)讓學(xué)生感受變量、常量以及它們之間的變化關(guān)系. 從憑經(jīng)驗(yàn)判斷(觀察:每次增加6根)到用數(shù)據(jù)來說明(可列式為6n+2,其中n為小魚的條數(shù)),發(fā)現(xiàn)火柴棒的根數(shù)和小魚的條數(shù)之間的關(guān)系,教師提問:假如在合理的范圍內(nèi)給出小魚的條數(shù),你能確定火柴棒的根數(shù)嗎?唯一確定嗎?(目標(biāo)再次指向函數(shù)的定義)
此時,教師仍然沒有揭示函數(shù)的定義,而是引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知:
6n+2 代數(shù)式
6n+2=140(用140根火柴棒,搭了幾條小魚?) 方程
6n+2<50(用50根火柴棒最多能搭多少條小魚?)不等式
S=6n+2(火柴棒的根數(shù)為S) 此處設(shè)置懸念,目標(biāo)指向函數(shù)的表達(dá)形式
教師此處對一個舊問題進(jìn)行回顧,旨在讓學(xué)生感受函數(shù)知識與方程、不等式等的聯(lián)系和區(qū)別,教學(xué)意圖是函數(shù)早已隱含在我們的學(xué)習(xí)中.
此時,教師仍然沒有揭示函數(shù)定義的意思,又進(jìn)入了最后一個情境,即情境5(水波紋).
教師提出與前幾個情境類似的問題:水滴滴下去,你發(fā)現(xiàn)哪些量在變化?不變的量有哪些?對于這個情境,教師讓學(xué)生進(jìn)行小組討論、展示,學(xué)生展示的內(nèi)容非常豐富:圓的大小、半徑、周長、面積(變量). 教師引導(dǎo)學(xué)生感受半徑確定了,周長、面積也隨之確定.
此刻,教學(xué)時機(jī)已經(jīng)成熟,教師提出問題:同學(xué)們觀察上述幾個情境,變量與變量之間的關(guān)系有何共同之處?在經(jīng)過了小組討論過后,教師引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)的定義:一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么,我們就說y是x的函數(shù),其中x稱為自變量.
對于定義的揭示過程,教師希望由學(xué)生自己展示,但最終還是教師引導(dǎo)得出,聽課的過程中我們感覺到,學(xué)生對定義中“唯一確定”還是不能深入地理解.
為了鞏固定義,教師立即引導(dǎo)學(xué)生回到之前的情境中,結(jié)合定義分別指出變量、自變量、誰是誰的函數(shù)等知識點(diǎn)(這個環(huán)節(jié)前后呼應(yīng),順理成章),并且揭示了S=6n+2或者S=8+6(n-1)都稱為函數(shù)關(guān)系式(為下節(jié)課函數(shù)關(guān)系的表達(dá)形式做鋪墊).
緊接著,教師又安排了一系列緊扣函數(shù)定義的習(xí)題,對于其中的一題:“當(dāng)矩形的面積一定時,矩形的長是寬的函數(shù)嗎?”學(xué)生甲在回答時說道:對于長的每一個取值,寬都有唯一的數(shù)值與它對應(yīng),因此寬是長的函數(shù).
學(xué)生乙立刻反駁:老師,他說反了,應(yīng)該是對于寬的每一個取值,長都有唯一的數(shù)值與它對應(yīng),因此長是寬的函數(shù).
此時,教師積極引導(dǎo)學(xué)生對這兩個同學(xué)的回答進(jìn)行分析,并指出有的時候y是x的函數(shù), x也是y的函數(shù). 點(diǎn)撥恰到好處,可惜的是,教師一帶而過,就進(jìn)入了下一題,估計還有很多學(xué)生沒有完全明白這是什么意思.
小結(jié):習(xí)題過后,本課的教學(xué)任務(wù)基本完成,接近尾聲,教師把課件又重新切入到開頭的視頻(萬物變化),并提出問題――回顧視頻,用函數(shù)的眼光描述每一個變化之間的關(guān)系. (旨在引導(dǎo)學(xué)生用新的眼光觀察身邊的事物,函數(shù)無處不在)
至此,本課畫了一個圓,從生活中來,回到生活中去,感悟數(shù)學(xué)的魅力和價值!
最后老師布置作業(yè):舉出身邊函數(shù)的例子,并思考用怎樣的方式表示變化的關(guān)系. (為下節(jié)課做鋪墊,承上啟下)
教學(xué)案例反思
通過研讀2011版新課程標(biāo)準(zhǔn),發(fā)現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)了概念教學(xué)的形成過程應(yīng)由學(xué)生感悟,自主生成,體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念生成的合理性,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動,突出學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生在活動中感悟數(shù)學(xué)思想,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).
在眾多的函數(shù)概念課教學(xué)中,本課無疑是一節(jié)符合新課程標(biāo)準(zhǔn)比較成功的一節(jié)課,教師設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了突出學(xué)生主體地位的意識,對于函數(shù)這樣一個抽象的數(shù)學(xué)概念的形成,水到渠成地讓學(xué)生感悟并生成. 同時,教師在整個教學(xué)過程中,調(diào)控全局,互動得當(dāng),及時提煉與總結(jié),比較順利地完成了教學(xué)任務(wù).
然而,在教學(xué)過程中也有一些設(shè)計得不夠合理的地方,如:
(1)所提到的水位變化過程,情境的創(chuàng)設(shè)不夠直觀,給學(xué)生形象感知函數(shù)的變化關(guān)系增加了難度.
(2)在生成“函數(shù)”概念之前,情境過多,新課標(biāo)要求重視情境教學(xué),使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,積累活動經(jīng)驗(yàn),但不能扎進(jìn)情境中去,這樣會顯得沒有重點(diǎn),被情境所困. 如果在升國旗的情境中,就引導(dǎo)學(xué)生通過列表感悟升旗時間和旗桿剩下高度之間的關(guān)系,既能讓學(xué)生感悟兩者之間的對應(yīng)關(guān)系,又能為下節(jié)課函數(shù)關(guān)系的表達(dá)形式之一(列表)埋下伏筆. 而水位變化的情境則可以換成氣溫變化圖,變成學(xué)生熟知的情境,降低變量關(guān)系的理解難度,也隱含著用圖象來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的意識.
(3)概念生成的過程有些拖沓,在火柴棒搭小魚的情境過后(函數(shù)關(guān)系式),就可以引導(dǎo)學(xué)生揭示函數(shù)的定義,而把水波紋的情境放入習(xí)題中,則可以加深對定義的理解,使得教學(xué)環(huán)節(jié)更加緊湊.
級別:北大期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:北大期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:省級期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:省級期刊
榮譽(yù):Caj-cd規(guī)范獲獎期刊
級別:省級期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫