數(shù)學(xué)思想精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)思想范文

數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是分析處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本方法，也是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，是分析處理和解決問題的策略。實質(zhì)上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為思想方法。數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用會使我們運(yùn)算簡潔、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。常見的數(shù)學(xué)四大思想為：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與討論、數(shù)形結(jié)合。

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）總體目標(biāo)中明確提出：“讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”?；A(chǔ)知識和基本技能固然重要，但是對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，生活和工作長期起作用的并使其終身受益的是數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生的素質(zhì)，其中最重要的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和思維品質(zhì)。而數(shù)學(xué)思想方法既是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和學(xué)生思維品質(zhì)的關(guān)鍵，又是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透思想方法，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展，有利于促進(jìn)教育教學(xué)改革，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和交集方法，在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

對小學(xué)數(shù)學(xué)各個年級各個版本各冊教材進(jìn)行梳理，小學(xué)階段可滲透的思想方法有：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、數(shù)學(xué)模型思想方法等。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法給出了解決問題的方向，給出了解決問題的策略。這就需要教師挖掘、提煉隱含于教材的思想方法，納入到教學(xué)目標(biāo)。有目的、有計劃、有步驟地精心設(shè)計教學(xué)過程，有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法。

用數(shù)學(xué)思想理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確理解概念的能力。如在講解概念時，數(shù)行結(jié)合，化抽象為具體，結(jié)合圖形加深理解。在二年級上冊教學(xué)倍的認(rèn)識時，學(xué)生較難理解，利用線段圖，幫助學(xué)生從直觀到抽象，學(xué)生學(xué)起來輕松自如。在小數(shù)的意義教學(xué)中對0.3的理解，出示一張正方形白紙讓學(xué)生表示出來，再通過畫數(shù)軸表示，多讓學(xué)生評評說說，充分發(fā)表自己的想法，讓學(xué)生在不斷的探索中，借助圖形自主構(gòu)建小數(shù)的意義，接著借助大量的直觀模型，使學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識層層遞進(jìn)，使學(xué)生的思維經(jīng)歷由具體到抽象的過程。通過數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考路徑形象地外顯，非常直觀，易于學(xué)生理解。

用數(shù)學(xué)思想方法推導(dǎo)公式的形成，如平面圖形的面積和立體圖形體積公式。培養(yǎng)學(xué)生的思維，在公式的教學(xué)中不要過早給出結(jié)論。引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)，研究結(jié)論形成的過程及應(yīng)用的條件，領(lǐng)悟它的知識關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、類比、化歸、轉(zhuǎn)化、等量代換的數(shù)學(xué)思想。如對平行四邊形的面積的教學(xué)，讓學(xué)生初步運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)出平行四邊形面積公式，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成為長方形，并分析長方形面積與平行四邊形的關(guān)系，再從長方形的面積計算公式推出平行四邊形的面積計算公式，在教學(xué)過程中先巧設(shè)情境，鋪墊引入，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探討平行四邊形的面積計算方法的求知欲望。再合作探索，遷移創(chuàng)造，讓學(xué)生通過動手操作，剪、拼、擺等把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并把自己的發(fā)現(xiàn)表述出來，動腦思考長方形與平行四邊形有什么關(guān)系，長方形的長與平行四邊形的底有什么關(guān)系，長方形的寬與平行四邊形的高有什么關(guān)系，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生動手操作、合作交流，主動地去探索和發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積的計算方法，交流時學(xué)生說明剪拼方法、各部分間的關(guān)系，互相提問并解答，在生生交流中學(xué)生理解平行四邊形與拼成的長方形間的內(nèi)在聯(lián)系，既加深了對新知的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生的語言表達(dá)能力、思維能力及提出問題的能力和解決問題的能力。最后層層遞進(jìn)，拓展深化，練習(xí)設(shè)計由淺入深，涵蓋了不同角度的問題，不但使學(xué)生在練習(xí)中思維得以發(fā)展，創(chuàng)新素質(zhì)得到錘煉。

第2篇：數(shù)學(xué)思想范文

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。

函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想；

應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；

函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。

二 、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短。

恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。這就是說：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。

華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。

把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關(guān)于這個方面的考查（即用代數(shù)方法研究幾何問題）。而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。

我們要抓住以下幾點數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：

（1） 對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

（2） 對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點，頂點是關(guān)鍵點），作好知識的遷移與綜合運(yùn)用；

（3） 對于以下類型的問題需要注意： 可分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點 及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。

三、 分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。 有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：

（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；

（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；

（3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；

（4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；

（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

第3篇：數(shù)學(xué)思想范文

一、端正滲透思想更新教育觀念

縱觀數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，應(yīng)該看到，應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的過程中，確實有很多弄潮兒站到了波峰浪尖，但也仍有一些數(shù)學(xué)課基本上還是在應(yīng)試教育的慣性下運(yùn)行，對素質(zhì)教育只是形式上的“搖旗吶喊”，而行動上卻留戀應(yīng)試教育“按兵不動”，缺乏戰(zhàn)略眼光，因而至今仍被困惑在無邊的題海之中。

究竟如何走出題海，擺脫那種勞民傷財?shù)拇筮\(yùn)動量的機(jī)械訓(xùn)練呢？我們認(rèn)為：堅持滲透數(shù)學(xué)思想和方法，更新教育觀念是根本。要充分發(fā)掘教材中的知識點和典型例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維，盡量暴露思維的全過程，展示數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多，這才是走出題海誤區(qū)，真正實現(xiàn)教育轉(zhuǎn)軌的新途徑。

二、明確數(shù)學(xué)思想和方法的豐富內(nèi)涵

所謂數(shù)學(xué)思想就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識，它是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶和概括，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略。而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和重要工具。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間歷來就沒有嚴(yán)格的界限，只是在操作和運(yùn)用過程中根據(jù)其特征和傾向性，分為數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。一般說來，數(shù)學(xué)思想帶有理論特征，如符號化思想，集合對應(yīng)思想，轉(zhuǎn)化思想等。而數(shù)學(xué)方法則具有實踐傾向，如消元法、換元法、配方法、待定系數(shù)法等。因此數(shù)學(xué)思想具有抽象性，數(shù)學(xué)方法具有操作性。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法合在一起，稱為數(shù)學(xué)思想方法。

不同的數(shù)學(xué)思想和方法并不是彼此孤立，互不聯(lián)系的，較低層次的數(shù)學(xué)思想和方法經(jīng)過抽象、概括便可以上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想和方法，而較高層次的數(shù)學(xué)思想和方法則對較低層次的數(shù)學(xué)思想和方法有著指導(dǎo)意義，其往往是通過較低層次的思想方法來實現(xiàn)自身的運(yùn)用價值。低層次是高層次的基礎(chǔ)，高層次是低層次的升級。

三、強(qiáng)化滲透意識

在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)的思想和方法應(yīng)該占有中心的地位，“占有把數(shù)學(xué)大綱中所有的、為數(shù)很多的概念，所有的題目和章節(jié)聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的學(xué)科的核心地位?！边@就是要突出數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，強(qiáng)化滲透意識。這既是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，也是新時期素質(zhì)教育對每一位數(shù)學(xué)教師提出的新要求。素質(zhì)教育要求：“不僅要使學(xué)生掌握一定的知識技能，而且還要達(dá)到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的?！倍鴶?shù)學(xué)思想和方法又常常蘊(yùn)含于教材之中，這就要求教師在吃透教材的基礎(chǔ)上去領(lǐng)悟隱含于教材的字里行間的數(shù)學(xué)思想和方法。一方面要明確數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，另一方面又需要有一個全新而強(qiáng)烈地滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識。

四、制定滲透目標(biāo)

依據(jù)現(xiàn)行教材內(nèi)容和教學(xué)大綱的要求，制訂不同層次的滲透目標(biāo)，是保證數(shù)學(xué)思想和方法滲透的前提?，F(xiàn)行教材中數(shù)學(xué)思想和方法，寓于知識的發(fā)生，發(fā)展和運(yùn)用過程之中，而且不是每一種數(shù)學(xué)思想和方法都能象消元法、換元法、配方法那樣，達(dá)到在某一階段就能掌握運(yùn)用的程度。有的數(shù)學(xué)思想方法貫穿初等數(shù)學(xué)的始終，必須分級分層制定目標(biāo)。以在方程（組）的教學(xué)中滲透化歸思想和方法為例，在初一年級時，可讓學(xué)生知道在一定條件下把未知轉(zhuǎn)化為已知，把新知識轉(zhuǎn)化為已掌握的舊知識來解決的思想和方法；到了初二年級，可根據(jù)化歸思想的導(dǎo)向功能，鼓勵學(xué)生按一定的模式去探索運(yùn)用；初三年級，已基本掌握了化歸的思想和方法，并有了一定的運(yùn)用基礎(chǔ)和經(jīng)驗，可鼓勵學(xué)生大膽開拓，創(chuàng)造運(yùn)用。實際教學(xué)中也確實有一些學(xué)生能夠把多種數(shù)學(xué)思想和方法綜合運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題之中，這種水平正是我們走出題海所迫切需要的，它既是素質(zhì)教育的要求，也本文的最終目的。

五、遵循滲透原則

我們所講的滲透是把教材中的本身數(shù)學(xué)思想和方法與數(shù)學(xué)對象有機(jī)地聯(lián)系起來，在新舊知識的學(xué)習(xí)運(yùn)用中滲透，而不是有意去添加思想方法的內(nèi)容，更不是片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法的概念，其目的是讓學(xué)生在潛移默化中去領(lǐng)悟。運(yùn)用并逐步內(nèi)化為思維品質(zhì)。因而滲透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具體、由特殊到一般的滲透原則，使認(rèn)識過程返樸歸真。讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，在自覺的狀態(tài)下，參與知識的形成和規(guī)律的揭示過程。那么學(xué)生所獲取的就不僅僅是知識，更重要的是在思維探索的過程中領(lǐng)悟、運(yùn)用、內(nèi)化了數(shù)學(xué)的思想和方法。

六、探索并掌握滲透的途徑

數(shù)學(xué)的思想和方法是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)、最驚彩、最具有數(shù)學(xué)價值的東西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的數(shù)學(xué)思想和方法都呈隱蔽式，需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，乃至數(shù)學(xué)課外活動中探索選擇適當(dāng)?shù)耐緩竭M(jìn)行滲透。

1．在知識的形成過程中滲透

對數(shù)學(xué)而言，知識的形成過程實際上也是數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)生過程。大綱明確提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅需要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程?！边@一思維過程就是思想方法。傳授學(xué)生以數(shù)學(xué)思想，教給學(xué)生以數(shù)學(xué)方法，既是大綱的要求，也是走出題海的需要。因此必須把握教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法滲透的契機(jī)。如概念的形成過程，結(jié)論的推導(dǎo)過程等，都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法，訓(xùn)練思維，培養(yǎng)能力的極好機(jī)會。

2．在問題的解決過程中滲透

數(shù)學(xué)的思想和方法存在于問題的解決過程中，數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化無不遵循著數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)的思想和方法在解決數(shù)學(xué)問題的過程中占有舉足輕重的地位。教學(xué)大綱明確指出：“要加強(qiáng)對解題的正確指導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想和方法上作必要的概括”，這就是新教材的新思想。其實數(shù)學(xué)問題的解決過程就是用“不變”的數(shù)學(xué)思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)命題，這既是滲透的目的，也是實現(xiàn)走出題海的重要環(huán)節(jié)。滲透數(shù)學(xué)思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且還可以達(dá)到，會一題而明一路，通一類的效果，打破那種一把鑰匙開一把鎖的呆板模式，擺脫了應(yīng)試教育下題海戰(zhàn)的束縛。通過滲透，盡量讓學(xué)生達(dá)到對數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)化的境界，提高獨(dú)立獲取知識的能力和獨(dú)立解決問題的能力，此時的思維無疑具有創(chuàng)造性的品質(zhì)。如化歸的數(shù)學(xué)思想是解決問題的一種基本思路，在整個初等方程及其它知識點的教學(xué)中，可以反復(fù)滲透和運(yùn)用。

3．在復(fù)習(xí)小結(jié)中滲透

小結(jié)和復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，而應(yīng)試教育下的數(shù)學(xué)小結(jié)和復(fù)習(xí)課常常是陷入無邊的題海，使得師生在枯燥的題海中進(jìn)行著過量而機(jī)械的習(xí)題訓(xùn)練，其結(jié)果是精疲力盡，茫然四顧，收獲甚少。如何提高小結(jié)、復(fù)習(xí)課的效果呢？我們的做法是：遵循數(shù)學(xué)大綱的要求。緊扣教材的知識結(jié)構(gòu)，及時滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在數(shù)學(xué)思想的科學(xué)指導(dǎo)下，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，突破題海戰(zhàn)的模式，優(yōu)化小結(jié)、復(fù)習(xí)課的教學(xué)。在章節(jié)小結(jié)、復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們注意從縱橫兩個方面，總結(jié)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想與方法，使師生都能體驗到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，提高訓(xùn)練效果，減輕師生負(fù)擔(dān)，走出題海誤區(qū)的輕松愉悅之感。

4．在數(shù)學(xué)講座等教學(xué)活動中滲透

第4篇：數(shù)學(xué)思想范文

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合多指以形助數(shù),即以圖形或圖像之關(guān)系反映相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系,并解決有關(guān)代數(shù)問題。,函數(shù)的圖像直觀的顯示函數(shù)的性質(zhì)，借助于圖像來研究、解決有關(guān)函數(shù)的問題是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用得一個重要方面。再解不等式、判斷方程是否有解、解的個數(shù)及二次方程根的分布問題時，我們往往構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像解題。這種方法使用的主動性和熟練性,集中表現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和潛質(zhì),反映了數(shù)學(xué)的簡練性和趣味性。

例1已知關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩根一個大于1，另一個小于1，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：若直接利用求根公式解答此題，則要解復(fù)雜的無理不等式組，如果從函數(shù)觀點出發(fā)，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，則由根的分布情況當(dāng)k>0時函數(shù)的圖像只能如圖所示：

對應(yīng)條件是k>0且f(1)

同理當(dāng)k0。

解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函數(shù)圖像知為使方程f(x)=0的兩根一個大于1，另一個小于1，只需

k>0且f(1)

解得k>0或k

評注：本題是一個利用函數(shù)圖像解決方程根的分布問題的典型例題，一般地，關(guān)于根的分布問題，均可引入函數(shù)，由函數(shù)圖像的特征構(gòu)造解法，使問題得到巧妙解決。

二、轉(zhuǎn)化和化歸思想

在教學(xué)研究中，使一種對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，就是將原問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的一般原則是：①化歸目標(biāo)簡單化原則；②和諧統(tǒng)一性原則（化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更均勻和恰當(dāng)。）；③具體化原則；④標(biāo)準(zhǔn)形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸。標(biāo)準(zhǔn)形式是指已經(jīng)建立起來的數(shù)學(xué)模式。

三、分類討論思想

分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象內(nèi)部問題區(qū)分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，使所學(xué)知識條理化。在解決含參數(shù)的二次函數(shù)問題時會涉及到分類討論的思想，特別是研究含參數(shù)的二次函數(shù)的最值和單調(diào)性及應(yīng)用等問題上，一般需要分類討論的思想方法。

例2：已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a-1)x-3在區(qū)間[-1.5,2]上的最大值為1，求實數(shù)a的值。

解：a=0時，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a

f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的對稱軸方程為x0=―――,2a

(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3

此時x0=-23/20∈[-1.5,2],

因為a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合適。

（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此時x0=-1/3∈[-1.5,2]，

因為a=3/4>0，所以f(2)最大合適。

（3）令f(x0)=1，解得a=1/2（-3±2√2），驗證后知只有a=1/2(-3-2√2)才合適。

第5篇：數(shù)學(xué)思想范文

目前初中階段，主要數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、化歸的思想、轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比的思想、函數(shù)的思想、方程與函數(shù)的思想方法等。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，毋用置疑，必須指導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住掌握數(shù)學(xué)思想方法。

1、數(shù)形結(jié)合的思想

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中能將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的集合圖形有機(jī)的結(jié)合起來，是抽象思維與形象思維相結(jié)合，往往使我們很快找到問題解決途徑和解題過程。華羅庚教授公開多次講：“數(shù)形結(jié)合無限好，割裂分開萬事休?！蔽覀冊诮虒W(xué)中適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行滲透，在講函數(shù)時數(shù)形結(jié)合的思想就是很好的例子。還有在講無理數(shù)時，就采用數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)軸上把無理數(shù)表示出來，給學(xué)生以直觀感覺。在學(xué)習(xí)乘方時，學(xué)生很難想象216有多大，就舉一個例子，說把一張紙厚0.12毫米對折，折16次，你說有多高？學(xué)生大多認(rèn)為沒有多高，但是經(jīng)過計算以后，學(xué)生吃驚的發(fā)現(xiàn)竟有2層樓的高度，數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

2、轉(zhuǎn)化和化歸思想

轉(zhuǎn)化的思想是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把繁瑣的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題?；瘹w就是把有待解決的為題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為熟悉的或已解決過的問題，從而求得問題解決的方法和思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)積累了一些數(shù)學(xué)經(jīng)驗和知識，遇到-些需要解決的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)過的知識來解決。如：要求解二元一次方程，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程，是否轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決，如何運(yùn)用一元一次方程呢？就是降次，找到解決問題的途徑。學(xué)次函數(shù)時，讓學(xué)生利用已有的二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)型和一次函數(shù)的定義，總結(jié)歸納出二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，這就運(yùn)用了轉(zhuǎn)化和化歸的思想。

3、類比的思想

類比是以比較為基礎(chǔ)，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的規(guī)律。通過同一類的問題，想到相應(yīng)學(xué)過的問題，通過對比來學(xué)習(xí)新知識。如：在學(xué)次函數(shù)時，就可以聯(lián)想到學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)及反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，根據(jù)它們的定義方式和性質(zhì)的由來，二次函數(shù)的定義和性質(zhì)也就應(yīng)運(yùn)而生了；再如學(xué)習(xí)因式分解是就可以聯(lián)想到小學(xué)學(xué)過的分解質(zhì)因數(shù)，3×11=33，3和11就是33的因數(shù)，（a+b）（a-b）=a2-b2，，a+b、a-b就是a2-b2的因式，學(xué)生通過對比也就明白了其中的道理。

4、函數(shù)與方程思想

第6篇：數(shù)學(xué)思想范文

一、對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識

在方法與思想之間沒有嚴(yán)格的界限.人們習(xí)慣上把那些具體的，操作性較強(qiáng)的方法稱為思想.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法可分為三種類型：

一是操作性較強(qiáng)的辦法稱之為技巧型方法.如換元法、待定系數(shù)法、錯位相減法、參數(shù)法等.它們與知識并行共生，其特點與解題緊密聯(lián)系，具體而便于操作.

二是邏輯型思想方法，包括類比、歸納、演繹、分析、 綜合、抽象、概括等.這些方法具有確定的邏輯結(jié)構(gòu)，是普遍適用的推理論證模式，需要教師有意識、有目的地從數(shù)學(xué)中去發(fā)掘，并對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練和培養(yǎng).

三是全局型的數(shù)學(xué)思想方法，如公式方法、坐標(biāo)方法、極限方法、模型方法等，它們較多地帶有思想觀點的屬性.它們揭示的是數(shù)學(xué)中極其普遍的想法，為數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指引方向的作用，這些方法雖不像技巧型的方法那樣具體，卻牽動著數(shù)學(xué)發(fā)展的全局或為新科學(xué)誕生起著指導(dǎo)的作用.

這三類方法相輔相成，共同促進(jìn)著數(shù)學(xué)的發(fā)展.我認(rèn)為這三類學(xué)習(xí)方法的掌握，能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，并帶動學(xué)生整個文化素質(zhì)的提高.因而，把數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是非常必要的.

二、在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法具有高度的概括性，因而應(yīng)用的范圍極廣，同一個數(shù)學(xué)思想方法可以在不同的教學(xué)階段或不同的知識領(lǐng)域中重復(fù)出現(xiàn).因此，教師應(yīng)密切結(jié)合教材，在傳授知識的同時有機(jī)地滲透數(shù)學(xué)方法，在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)加以明確，并在總結(jié)階段或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)階段給予系統(tǒng)的整理、滲透.

對數(shù)學(xué)而言，知識的發(fā)生過程實際上也是數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生過程，因此，必須把握好數(shù)學(xué)思想方法的滲透時機(jī).如概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)方法的思考過程，都是滲透數(shù)學(xué)思想方法的好時機(jī).

1.滲透轉(zhuǎn)化化歸的思想

化歸思想的實質(zhì)是化未知為已知，使新知識向舊知識（已知的知識）轉(zhuǎn)化的思想方法，具有普遍意義，掌握了它就能居高臨下的指導(dǎo)思維活動的開展.特別是在解析幾何的教學(xué)過程中通常是以有關(guān)概念的定義、定式（公式、法則）和定法著手進(jìn)行思考分析，運(yùn)用常規(guī)思路，會出現(xiàn)解題過程復(fù)雜甚至難以處理的局面.

2.分類思想，訓(xùn)練思維的目的性、條理性

分類思想在數(shù)學(xué)中也很普遍，如代數(shù)中有數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的分類，幾何中有圖形的分類等，分類思想滲透到概念、定義、定理的證明、法則的推導(dǎo)和具體問題的總結(jié)，善于運(yùn)用分類討論的思想有助于他們對知識的加深認(rèn)識和理解消化，從而掌握其本質(zhì)規(guī)律.

例如，在講“向量”時，平行向量可分為同向向量或反向向量，用向量法推導(dǎo)正弦定理時，可通過對銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種情形分別討論而獲得.

3.滲透數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象，它們既有密切聯(lián)系，又有各自的特點.數(shù)形結(jié)合的思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)對象和解決數(shù)學(xué)問題.

第7篇：數(shù)學(xué)思想范文

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)思想

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）24-0076-02

高等數(shù)學(xué)教學(xué)主要的特點在于它是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用和滲透。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)時應(yīng)該一切從思路出發(fā)，力圖讓每個學(xué)生搞清知識點間的聯(lián)系。比較重要的是抓住思維的直觀性、合理性和層次性這三個方面：

（一）數(shù)學(xué)思維的直觀性

高等數(shù)學(xué)教學(xué)一般有四種類型：淺入淺出、淺入深出、深入深出、深入淺出。最高境界是深入淺出，高等數(shù)學(xué)中不少內(nèi)容較為抽象，教學(xué)中應(yīng)該能把深奧的道理用非常通俗的語言來敘述，讓人一聽就懂。

（二）思維的合理性

知識的呈現(xiàn)應(yīng)該是水到渠成的結(jié)果，而不是像變魔術(shù)那樣讓學(xué)生感到不可捉摸，更不能故作高深來顯示自己。而要做到這一點，關(guān)鍵是要知道你為什么要教這個知識？要盡可能按照人類認(rèn)識事物的一般順序來啟發(fā)學(xué)生思考。

（三）思維的層次性

首先，要理清知識的層次關(guān)系。

其次，要注意啟發(fā)的層次性。啟發(fā)一般采用由遠(yuǎn)及近的方法來進(jìn)行，一開始問題可以提得比較宏觀一點，這樣可以更好地拓展學(xué)生的思維，如果學(xué)生思考有困難，可以將問題提得更具體一點，如果學(xué)生還有困難，問題還可以提得再具體一點，……，這樣逐步深入，直到學(xué)生真正理解為止。

二、用數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)知識統(tǒng)一起來

教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分滲透數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的指導(dǎo)作用、統(tǒng)攝作用，要用數(shù)學(xué)思想這一線索將零散的知識統(tǒng)一起來。讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)思想方法這一高度居高臨下認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

下面介紹兩種比較重要的數(shù)學(xué)思想：模式思想和轉(zhuǎn)化思想：

（一）模式思想

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家A.N.懷特海曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究的科學(xué)。人們正是通過模式這種有限的東西而達(dá)到對無限的宇宙的認(rèn)識的?！?/p>

下面通過■（1+■）x=e這一重要極限（模型）的教學(xué)來具體說明高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)模型思想。

眾所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e與■（1+■）x=1這三個極限之間的區(qū)別與聯(lián)系也是很多學(xué)生常常出現(xiàn)混淆的地方。為了避免學(xué)生產(chǎn)生混淆，在教材中可以按照以下步驟來分析和掌握這三個極限的共同本質(zhì)并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)■（1+■）x=e這一重要極限模型。

首先，提示并引導(dǎo)學(xué)生探究重要極限的本質(zhì)特征。引導(dǎo)學(xué)生歸納出前兩個極限所具有的共同特征，即不管加數(shù)是x還是■，其本質(zhì)都是無窮小。換句話說，就是應(yīng)將學(xué)生的注意力引向判斷與1相加的到底是不是無窮小這一本質(zhì)，而不應(yīng)該讓學(xué)生只是無謂地糾纏，到底是x還是■這一表面現(xiàn)象。然后再進(jìn)一步歸納出指數(shù)不管是x還是■，它始終等于這個無窮小的倒數(shù)。那么就不僅可以將公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有機(jī)地統(tǒng)一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以與極限■（1+■）■=1更好地區(qū)別開來。當(dāng)然，為了使學(xué)生更好地理解極限■（1+x）■=e的本質(zhì)，在教學(xué)中還可以提出一些問題，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形來讓學(xué)生通過比較和辨別來更好的認(rèn)識極限■（1+x）■=e的本質(zhì)特征。

其次，在探究基礎(chǔ)上歸納極限特征。在學(xué)生進(jìn)行探究的基礎(chǔ)上讓學(xué)生歸納出極限■（1+x）■=e的三個重要特征：底數(shù)與指數(shù)中都有變量；底數(shù)為1和無窮小之和；指數(shù)剛好是底數(shù)中無窮小這一加數(shù)的倒數(shù)。

最后，列出運(yùn)用重要極限解題的一般步驟。首先識別所求極限是否適用于這一公式（即底數(shù)與指數(shù)中都有變量）；如果適用，則將底數(shù)化為1和無窮小之和的形式（把底數(shù)變成“1+X”的形式）；通過乘或加的方法使指數(shù)中出現(xiàn)的倒數(shù)■（需要注意的是如果用乘法，必須有一因式為常數(shù)）；運(yùn)用公式求極限。其它有關(guān)運(yùn)算。

（二）轉(zhuǎn)化思想

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》一書中對“化歸方法”作過描述：“數(shù)學(xué)家往往不對問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題。”高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，并盡可能讓他們養(yǎng)成運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題的習(xí)慣。

下面以羅必塔法則的教學(xué)為例來進(jìn)行說明：

我們知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，還有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等類型的未定式。求解這類未定式極限的基本思想是采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，先將它們轉(zhuǎn)化為“■”型和“■”型這兩種基本的未定式。

例：求■xx。

在解決這道問題時，教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生：“前面我們已經(jīng)學(xué)過‘■’型和‘■’型的未定式，現(xiàn)在又出現(xiàn)了‘00’ 這是一未定式，如何來求這類未定式的極限呢？”如果學(xué)生不能想到將其轉(zhuǎn)化為“■”型或“■”型的未定式，教師可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：“可不可以將其轉(zhuǎn)化為‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果學(xué)生認(rèn)為可以，那么可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：“怎樣才能將‘00’型未定式轉(zhuǎn)化為‘■’型或‘■’型的未定式？”通過這樣的啟發(fā)學(xué)生應(yīng)該不難想到：必須將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算，而將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化乘除運(yùn)算的基本方法是取對數(shù)。

解：方法一：設(shè)y=xx，取對數(shù)得

lny=xlnx，

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，

然后再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得：ln（■y）=■（lny）=0。

從而有■y=1，即■xx=1。

方法二：利用公式x=elnx將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等數(shù)學(xué)是高等教育中重要且基礎(chǔ)的課程之一，對高等數(shù)學(xué)理解的深入程度對大學(xué)生今后的發(fā)展常常起著至關(guān)重要的作用。同時高等數(shù)學(xué)又往往是不少大學(xué)生深感頭痛并且難以掌握的課程之一。作為高校教師，我們在考慮高等數(shù)學(xué)整體教學(xué)方案，或者考慮具體知識點的講授的合理性時，我們始終注意數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，并且注意模式思想和轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用，則往往有事半功倍的效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1997.

[2] [美]約翰·布蘭斯福特，等.程可拉等，譯.人是如何學(xué)習(xí)的[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

第8篇：數(shù)學(xué)思想范文

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 函數(shù)思想 方程思想

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相關(guān)概念解析

函數(shù)思想是運(yùn)用運(yùn)動和變化的觀點，分析研究數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，在運(yùn)用函數(shù)圖像和性質(zhì)分析問題中，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題的目的。

方程思想是以數(shù)量關(guān)系為切入點，用數(shù)學(xué)語言把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型――方程、方程組，通過求解方程、方程組轉(zhuǎn)化問題。

雖然函數(shù)思想和方程思想是兩個不同的概念，但是這兩種數(shù)學(xué)思想?yún)s有著密切的聯(lián)系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值為0時自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=dx+e圖像交點的橫坐標(biāo)或交點的個數(shù)。這種緊密的關(guān)系為函數(shù)思想與方程思想在初中數(shù)學(xué)中的相互轉(zhuǎn)化提供了物質(zhì)條件。

二 用函數(shù)思想解決方程問題

通過一個例題兩種不同解析方法的對比來體會用函數(shù)思想解決方程問題是否具有優(yōu)越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m為何值時，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一負(fù)根？

方法一用韋達(dá)定理解析：因為該方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

設(shè)x11，則x1-10則（x1-1）（x2-1）

根據(jù)韋達(dá)定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，則有（m+2）+2（m-1）+1

設(shè)x10，則x1x2

方法二用函數(shù)思想解析：將一元二次方程左邊看成是一個二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=1時，f（x）

則有1+2（m-1）+（m+2）

將一元二次方程左邊看成是一個二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=0時，f（x）

則有m+2

從兩種解析方法的比較中，不難看出：對于（1）的解析中運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問題可以大大減輕計算量，使復(fù)雜問題簡單化；對于（2）的解析中運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問題并沒有表現(xiàn)出很明顯的簡化效果。所以，解決方程問題我們要靈活把握，具體問題具體分析，本著化繁為簡的原則選擇合適的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。

三 用方程思想解決函數(shù)問題

周末王芳騎自行車和小伙伴一起到郊外游玩。她從家出發(fā)后2小時到達(dá)目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，王芳離家4小時40分鐘后，爸爸開車沿相同路線迎接王芳，如圖是他們離家的路程y（千米）與時間x（小時）的函數(shù)圖像。已知王芳騎車的速度為15千米/時，爸爸開車的速度為60千米/時。王芳家與游玩

地的距離是多少？爸爸出發(fā)

多長時間與王芳相遇？

根據(jù)題意可知王芳騎自

行車的速度為15千米/時，

而她到達(dá)游玩地所用時間是2小時，所以王芳家與游玩地的距離是15千米/時×2小時=30千米。

設(shè)爸爸出發(fā)后x小時與王芳相遇，根據(jù)題意，在王芳原路返回前20分鐘即1/3小時，爸爸開車出發(fā)，爸爸開車的速度為60千米/時，王芳騎車的速度為15千米/時，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出發(fā)后7/15小時即爸爸出發(fā)后28分鐘與王芳相遇。

對于本題的解答，我們不能想當(dāng)然地看到函數(shù)圖像就試圖求出函數(shù)的解析式。采用方程思想進(jìn)行解答是把復(fù)雜的函數(shù)問題變成了簡單的一元一次方程問題和相遇問題，這樣大大降低了解題的難度。由此類行程問題看，函數(shù)思想和方程思想是一致的，它們都是以實際問題中的數(shù)量關(guān)系為切入點。而從難易程度上來說，方程思想更有利于學(xué)生接受。

在初中數(shù)學(xué)問題中，還有很多可以采用方程思想與函數(shù)思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過本文的分析對轉(zhuǎn)化思想起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化思維解決復(fù)雜問題。

參考文獻(xiàn)

[1]柳曉燕.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用分析[J].中學(xué)時代，2013（14）

第9篇：數(shù)學(xué)思想范文

一、對中學(xué)數(shù)學(xué)思想的基本認(rèn)識

“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認(rèn)識。關(guān)于這個概念的內(nèi)涵，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識。這種認(rèn)識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認(rèn)識的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等。可見，這些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。

通常認(rèn)為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認(rèn)識成果。既然是認(rèn)識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認(rèn)為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認(rèn)為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補(bǔ)充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進(jìn)作用的。

關(guān)于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。

屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認(rèn)識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認(rèn)識。

從質(zhì)的方面說，還可分成表層認(rèn)識與深層認(rèn)識、片面認(rèn)識與完全認(rèn)識、局部認(rèn)識與全面認(rèn)識、孤立認(rèn)識與整體認(rèn)識、靜態(tài)認(rèn)識與動態(tài)認(rèn)識、唯心認(rèn)識與唯物認(rèn)識、謬誤認(rèn)識和正確認(rèn)識等。

二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用

數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識。它表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法

我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。

(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性

各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高?，F(xiàn)實生活中普遍存在的運(yùn)動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學(xué)思想進(jìn)行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。

(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性

借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強(qiáng)奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能

我國《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。

(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂

從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機(jī)的整體?？梢?，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進(jìn)行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。

(二)數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)思想

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)分三個層次進(jìn)行，這便是宏觀設(shè)計、微觀設(shè)計和情境設(shè)計。無論哪個層次上的設(shè)計，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認(rèn)識的數(shù)學(xué)活動過程中去。這種設(shè)計不能只是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認(rèn)識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準(zhǔn)確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進(jìn)行預(yù)測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學(xué)設(shè)計，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求。靠一貫如此設(shè)計的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀(jì)的激烈競爭中立于不敗之地。

(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證

數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計，是高質(zhì)量進(jìn)行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對的是幾十個學(xué)生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達(dá)到一定的思想深度，才能保證準(zhǔn)確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時地運(yùn)用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學(xué)生大膽地進(jìn)行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學(xué)活動中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程。

有人把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動的質(zhì)和量，就是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)效果?！靶隆敝笇W(xué)生的思維活動要有新意，“高”指學(xué)生通過學(xué)習(xí)能形成一定高度的數(shù)學(xué)思想，“深”則指學(xué)生參與到教學(xué)活動的程度。