函數概念精選(九篇)

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第1篇：函數概念范文

對于高一的學生來講，初學高中函數時，初中的概念還比較牢固.并且學生在初中接觸的都是一次函數、兩次函數、反比例函數等對應關系用函數解析式來表示的函數，所以把“對應法則” 等同于函數解析式就一點也不奇怪了。

高中的函數定義明確了聯(lián)系兩個變量的是“對應法則”，提到對應法則往往用函數“解析式”表示，并且提到 “當函數的變量之間的對應關系不適合或難以用解析式刻畫時，圖或表是有效的表示函數的方法”也就是說，對應法則不僅僅是函數解析式。但并沒對“對應法則”進行進一步解讀，更沒有提到兩個函數解析式的形式不同但對應法則相同的例子，所以學生對”對應法則”的理解比較初中提升有限。

在這個問題中，用來表示對應法則的解析式僅僅是形式不同而已，它們都把相同的自變量x對應到相同的函數值y，所以它們都是相同的一種對應法則.也就是說一個對應法則可以有不同的解析式表示形式，比如函數 也和上面的函數是同一函數.但如果把定義域稍作改變，均改為上面的兩個函數就不是同一個函數了，對于來講，它所對應的y不同.這說明這兩個解析式代表的對應法則是否相同還與函數的定義域與有關。

總之，如果兩個函數定義域相同，相同x的值對應的y相同，我們就認為這兩個函數的對應法則相同（即使函數解析式形式不同），這兩個函數就是同一個函數。

高中階段給學生講清楚“對應法則”與“函數解析式”的聯(lián)系與區(qū)別，無疑會加深高中學生對函數概念中函數概念的本質理解.

其實不僅很多中學生把“對應法則”與“函數解析式”混為一談，有些數學系畢業(yè)的大學生對這兩個概念也是模糊的，我們曾用這個問題問過某重點師范大學剛剛畢業(yè)的碩士生，她的回答竟然也是“不是同一個函數”，甚至有些教學多年的教師對這個問題的認識也是錯誤的.實際上，“對應法則”與“函數解析式”沒有搞清楚，對函數概念的理解就是不完整的，在后面函數的學習過程中也會引發(fā)出問題。

教學中需要通過練習鞏固概念，再從討論、反饋中深化概念，通過從具體到抽象的過程，使學生深入理解函數的實質，避免概念教學的抽象與枯燥，完成函數概念的內化。這方面可以借鑒國外的做法：英國教材由實際情景得到表達式，再得到數據，描點作出圖像，利用曲線解決實際問題，在實際問題的解決中引入函數概念。還可以利用其它手段加強對函數理解，比如德國初中由機器運算寄存器的有關知識展開所熟悉的簡單算法，讓學生在編寫簡單程序的同時開始學習變量、函數。

第2篇：函數概念范文

關鍵詞：運動 變化 思維轉化

函數是中學數學的核心內容。從常量數學到變量數學的轉變，是從函數概念的系統(tǒng)學習開始的。函數知識的學習對學生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從中學數學知識的組織結構看，函數是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式、數列、排列組合、極限和微積分等都與函數知識有直接的聯(lián)系。因此，函數的學習非常重要，應當給予充分的重視。

一、函數概念學習困難的原因分析

1．函數概念本身的原因

認知心理學認為，個體的心理發(fā)展過程是人類社會認識發(fā)展過程的簡約反映。因此，學生掌握函數概念的過程要簡約地重演數學科學發(fā)展中對函數的認識過程，普遍出現認識上的困難是比較自然的。另外，從函數概念本身看，以下特點會造成學生理解上的困難。

（1）“變量”概念的復雜性和辯證性。函數涉及較多的子概念：映射、非空數集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應、對應法則，等。其中，“變量”被當成不定義的原名而引入，是函數概念的本質屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復，于學生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關鍵在于“變”，而“變”在現實中與時、空相關，但數學中對時、空是沒有定義的。

另外，數學中的“變量”與日常生活經驗有差異。從日常經驗看，“變量”不可能與“確定”聯(lián)系在一起，而且變量的形式表示之間沒有可替代性。但數學中的“變量”具有形式的可替代性，因此，變量概念的形成是辯證法在數學中運用的典范。

（2）函數概念表示方式的多樣性。函數概念表示的多樣性，一方面表現在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式表示；另一方面表現在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數概念來。與其他數學概念相比，由于函數概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉換，因此容易造成學習上的困難。

能否正確地使用函數的不同表示形式，靈活地對不同的表示進行轉換，是考察函數概念形成水平的重要標準。

2．學生思維發(fā)展水平方面的原因

心理學認為，學生掌握概念的一般特點是：概念的識別優(yōu)于概念特征的說明，概念外延的掌握優(yōu)于概念內涵的掌握。對概念內涵的掌握，取決于概念本質特征的多少以及它們之間的關系。本質屬性越多、越鮮明，概念形成越容易；非本質屬性越多、越明顯，概念形成越難。對于所有概念，都是先掌握具體概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辯證概念。

函數概念的學習中，要求學生進行數形結合的思維運算，進行符號語言與圖形語言的靈活轉換。但在學生的認知結構中，數與形基本上是割裂的。理解函數概念時，需要學生在頭腦中建構一個情景（解析式的、表格的或圖形的），使得函數的對應法則能夠得到形象的、動態(tài)的反映；函數是對應法則、定義域、值域的統(tǒng)一體，學生應當領會它們之間的相互制約關系，對三者進行整體把握。像這種抽象地、動態(tài)地、相互聯(lián)系地、整體地認識研究對象，而且要在頭腦中把整個動態(tài)過程轉化為研究對象來研究，這就需要學生的思維在靜止與運動、離散與連續(xù)之間進行轉化。但是，學生的思維發(fā)展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學習任務。

總之，學生的辯證邏輯思維處于發(fā)展的初級階段，與函數概念的運動、變化、聯(lián)系的特點非常不適應，這是構成函數概念學習困難的主要根源。不過，正因為函數概念所具有的這種特性，才使它在促進學生思維發(fā)展中起著別的數學內容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉化的轉折點。

二、函數概念的教學

1.重視函數概念的形成過程

函數概念產生于研究變量之間關系的需要，函數是描述數學和現實問題的有效工具。學生已有經驗中存在許多可以用以說明函數產生過程的實例。例如：

通過引導學生對表格進行觀察，有的學生會注意到，邊數每增加1，內角和增加180°；通過歸納，有的學生會猜測到邊數與內角和之間存在下列關系：Sn＝180°（n－2）。這是一個一次函數。這個過程可以使學生建立起對變量之間變化關系的直觀感受，這對理解函數概念是很重要的。

為了使學生獲得關于猜想正確性的自信心，教師應該鼓勵學生采用不同方法來探索同一個問題。例如，上述問題還可以用畫圖的方法進行探索：從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180°。

另外，由圖還可以得到如下想法：從n邊形的一個定點畫出所有對角線，恰好得到（n－2）個三角形，于是內角和公式得到確證。

另外，循著“從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180°”，還可以用遞推的方法：“后繼數＝前數＋180°”。

之所以要鼓勵學生采用多種表示方式探索規(guī)律，目的是為了使學生由此體驗函數關系的產生過程，為后面的抽象概念學習打下基礎。實際上，在探索過程中，學生可以獲得變量之間相互依賴關系的切身感受，這種感受對于理解抽象的函數概念是非常重要的。因此，教學中，教師應當多采用學生熟悉的具體實例，引導學生認識其中的變量關系。另外，在上述過程中，學生所使用的主要是歸納的思維形式：通過歸納，探尋規(guī)律。歸納之重要性，不僅在于由它可以猜想結論，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，而且還在于它采用了由具體到抽象、由特例到一般的形式，這就可以使推理建立在學生已有經驗的基礎上，這是符合學生的認知規(guī)律的。

2．重視對變量概念的理解

“變量”是函數概念的核心，但發(fā)展學生對變量概念的理解需要一個較長的過程。在學習函數概念之前，學生從代數式、方程等內容的學習中獲得了關于變量的一定理解。例如，他們已學會解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程組；能夠作恒等變形；會使用公式S＝πr2求圓的面積；另外，通過解二元一次方程，他們體驗到對于方程y＝2x＋1，可以有無數多個有序數對（x，y）滿足它，等等。這些是學生學習“變量”概念的基礎。教師應當以此為基礎，使學生認識“變量可以在某種約束條件下取不同的值”，以及在這個約束條件下變量之間的對應關系，從而發(fā)展學生的變量概念。

3．重視不同表示方式之間的轉換

通常，在人們頭腦中，函數的表示主要使用解析式，但實際上各種表示（語言的、圖像的、表格的、符號的）之間的相互轉換，可以加深學生對函數概念的理解。

4.重視函數概念的實際應用

抽象的函數概念必須經過具體的應用才能得到深刻理解。在數學內部，可以通過用函數性質比較大小、求解方程、求解不等式、證明不等式等活動，深化對函數概念的理解。還要注意用函數知識解決實際問題的訓練。實際上，函數是非常重要的“數學建?！惫ぞ?，現實中的許多問題都是通過建立函數模型而得到解決的。同時，在解決實際問題的過程中，學生對函數概念以及與它相關的變量、代數式、方程等知識都能夠加深理解。

第3篇：函數概念范文

從數學角度看，函數是數學中最基本的重要概念，它既是數學研究的對象，同時也是數學研究中經常采用的一種思想方法。在引入函數概念之前，數學研究的是靜態(tài)的數學問題，當課程引入函數概念以后，使研究的內容增添了運動變化的問題；基本初等函數使中學生的數學頭腦更為靈活；函數圖像是使中學生體會數形結合的典范；三角函數成為中學生研究三角形以及周期變化的主要用具；解析幾何中曲線的方程f（x，y）=0實際上是隱函數，可以使學生了解解析式與幾何圖形的緊密關系；歸納中學數學內容，得到的結論是：函數是個綱，綱舉目張。學生第一次認識函數是在初中階段。初中數學中要學習函數的概念、正反比例函數、一次函數、二次函數和銳角三角函數等知識，這些知識在初中數學中無論數量還是影響力都居于重要位置，函數概念屬于最基本的知識?，F在初中數學里對函數定義的描述是：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值y都有唯一的一個值與它對應，則稱x為自變量，y為x的函數。對于函數概念的內涵只要稍加分析，不難發(fā)現它著重強調了近代函數定義中的“對應”，而且確定了y對x的單值對應關系，這一點恰恰是現代函數對“映射”的要求，但是它卻沒有從“集合”范圍來描述函數，所以沒有明確地涉及到定義域及值域。因此觀之，現在初中數學中函數定義只是函數概念三個要素中的“單值對應”關系而已。

函數是一個抽象的概念，需要學生逐步深入地了解，初中時期對函數的了解應是初步的。學生如果沒有“集合”“映射”等知識基礎時，要了解函數只有通過一些具體例子來實現，主要體會變量間的“單值對應”關系。而對于自變量的定義域、值域等，教師可以先不去過多探討，以避免分散學生對概念的了解。因為初步接觸函數概念時只強調關注變化中的對應關系，所以對于常值函數y=f（x）=c（常數），不宜過早涉及。學生剛剛接觸到常量與變量的概念，還不十分理解常值函數y是一個特殊的變量，不可能提高到映射的高度上領會函數概念中的“對應”存在“多對一”的關系（這時并不強調y一定是變量）。這些知識都可以在今后的學習中逐步掌握，操之過急，反而會造成“欲速則不達”的結果。運用函數圖像的直觀性認識函數的性質，是研究函數的重要手段，體現出數形結合這一至關重要的數學理念。如正比例函數y=kx（k是常數），是中學生正式學習的第一類具體函數，如何引導學生熟悉它的圖像呢？人教版教科書的做法是先用描點法畫出函數y=x和y=-x的圖像，然后啟發(fā)學生從中尋找規(guī)律，得出結論：正比例函數的圖像是一條直線，且過原點，當k>0時，直線經過第一、第三象限；當k

（遵義縣鴨溪鎮(zhèn)中學）

第4篇：函數概念范文

【關鍵詞】 初中數學 函數概念 教學

1. 概念滲透階段，初步認識變量之間的相互關系

函數與我們每個人的生活息息相關，函數關系充斥著我們的生活，函數概念是中學數學中的核心概念，函數思想貫穿中學教材的始終。首先，從初一代數“對字母表示數的認識”開始，學生體驗、認識到了“變量”，在教學中教師要促使學生感受到變量的意義，體驗變量的概念.其次，在“代數式的值”、“數軸和坐標”的教學中再滲透變量的含義，讓學生通過對代數式中字母取值之間的相互關系，滲透關于“對應”概念的初步思想，感受到變量之間的相互聯(lián)系。最后，隨著代數式、方程的研究滲透這一觀念，特別是“二元一次方程”的教學環(huán)節(jié)中，進一步促進學生感受兩個變量之間是彼此關聯(lián)的。通過這樣的鋪墊，經過一定量的知識累積，引導學生體會變量之間的相互依存的關系。

2. 概念認知階段，逐步感知變量之間的內在聯(lián)系

在初二幾何部分教學中，教材中涉及函數關系的例子非常多。比如“角的平分線的定義”、“中點的定義”、“角度之間的互余、互補”等都揭示了兩個變量之間的聯(lián)系。另外像“平行線四邊形的性質”、“中位線定理”等等都蘊涵著函數關系。一方面，教師在傳授這些知識點的 過程中要有不斷滲透變量的意識，即在現實生活中存在著大量的變量，且變量之間并不是獨立的，而是相互聯(lián)系的；另一方面，要指導學生在學習這些知識的過程中熟悉把“幾何問題代數化”的方法，為函數的代數和幾何方法的相結合打好必要的基礎，為后續(xù)函數概念的學習作好充分的鋪墊。

函數概念的形成用物理上的知識點滲透變量意識，是非常直觀而且有效的方法。物理書中的很多知識點都是促成學生形成函數概念的較好素材。比如速度計算公式v=st中的速度、時間和路程，壓強計算公式P=F/S中壓力、受力面積和壓強之間的關系都是典型的函數關系。從多方面、多學科進行滲透，強化變量之間是相互聯(lián)系的觀念。

3. 概念引入階段，順利形成函數概念的感知認識

“建構主義學習理論”認為：“應把學生看成是學生主動的建構活動，學習應與一定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進行學習，可以使學生利用已有的知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。”

在學生對變量意識以及變量之間相互依存關系有了初步認識以后，函數概念的教學前期準備工作已經基本完成，接下來就可以開始函數概念的講授了。教師在教授函數概念時，一定要合理設置教學情境，要讓學生清醒地感受到變量意識，然后再講清楚“自變量”、“函數”的名稱及含義，并引導學生學會運用這些名詞來敘述變量間的依存關系，從而熟悉函數概念。

當然學生這時對函數的理解還并不太清晰，正比例函數、一次函數都是比較簡單的函數，在實際生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中對應邊之間的比例關系是正比例函數等等。具體例子可以使學生清楚地認識到兩個變量之間的聯(lián)系及共性，函數的概念就會逐漸在學生的腦海中留下印記，在以后的反比例函數和二次函數的教學中，可以進一步促進學生深入理解函數概念的內涵與實質。教師在實際教學中能從整體上把握教學，就可以挖掘出最適宜的教學方法，使學生深刻理解函數的實質。

4. 概念延伸階段，逐漸適應函數的學習方法

函數的學習方法與以前代數和幾何的學習方法有著明顯的不同。進入函數表達式開始，由于函數的表達是多樣化的，有圖像法、列表法、解析式法等，許多學生很不適應，怎樣在教學函數時使學生逐漸適應這種多樣化呢？在函數概念的實際教學中，我一般采用教師引導式：先從實際問題引入概念，鼓勵學生以討論的方式，注重分析啟發(fā)、鞏固反饋，使學生一點點地認識到函數概念的共同特性；了解不同的方法表示函數的方法在不同情況下的使用情況。

另外，“數形結合法”是函數學習的最重要的學習方法，它和代數方法、幾何方法有著明顯的不同。

學生對“數形結合法”的適應需要一定的時間，因為學生對代數解析式與幾何圖形之間的對應還不適應，從正比例函數到反比例函數，最后進入二次函數的學習過程中，要使學生認識到幾種函數的直觀對應關系：一次函數對應直線，反比例函數對應雙曲線，二次函數對應拋物線.通過對圖像的認識與感知，學生體會到“數形結合法”的優(yōu)點：“準確簡潔的解析式，直觀形象的圖像?！?/p>

總之，學習函數概念首先要有觀念上的轉變，其次要具備抽象思維能力，提高學生的抽象思維能力和學生的認識能力是使學生形成函數思想的基礎。所以教師在進入函數概念的教學過程中，要把傳授知識和培養(yǎng)思維能力有機結合起來，實現觀念上的轉變。這就要求教師要從整體上處理好教材，使函數概念的教學活動成為一個有機整體，這樣才能在教學活動中真正有效地提高學生的素質。

參考文獻：

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[2] 劉運宜.平面幾何代數化背景探源[J].中學數學雜志（初中版），2009（1）.

[3] 薛國鳳，王亞暉.當代西方建構主義教學理論評析[J].高等教育研究，2003（1）.

第5篇：函數概念范文

關鍵詞：函數；對應；映射；數形結合

1要把握函數的實質

17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數符號。關于函數概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍內變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域。它的優(yōu)點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關系相悖，究竟函數是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學生不易區(qū)別三者的關系。

迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數集的映射稱為函數”，函數是映射概念的推廣。對應說的優(yōu)點有：①它抓住了函數的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函數。函數由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數的實質。

對于集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函數的定義里的“對應”卻是一個外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用。

2加強數形結合

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類函數都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數y=log0.5|x2-x-12|單調區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函數y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點個數，作出圖像交點個數便一目了然。

3將映射概念下放

就前面三種函數概念而言，能提示函數實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優(yōu)點：⑴體現數學知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數學內容的生活化和現實性，函數是刻畫現實世界數量變化規(guī)律的數學模型。⑶變抽像內容形像化，替換后學生會感到函數概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數。學生就會感到函數不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數？”這樣的問題。

第6篇：函數概念范文

關鍵詞：函數；概念教學；觀察法；討論法

以下是一個函數概念教學的案例與分析。

首先，回顧舊知識，導入新知識。以提問的方式，讓學生回顧初中函數概念及正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數的解析式，并在此基礎上提出問題，課件顯示：

對學生來講，解決這些問題是一個挑戰(zhàn)，因為這些函數例子的判定與學生已有的函數概念理解容易發(fā)生沖突，需要對函數概念進行深入理解。學生的主要錯誤可能會集中在：問題1：y=1（x∈R）不是函數，因為式子中沒有自變量x；問題2：兩個函數是同一函數，因為經過約分兩式是相同的。

其次，發(fā)揮學生自主、探究式的學習方式。進入新授部分，教師不急于直接講授知識，而是放開手，請學生關注書本開頭部分的自學導引：

1.同學們進入新學校學習，開學初要分配座位，每一位同學指定這個班的教室里唯一一把椅子。

2.住校的同學要分配宿舍，給我們班每一位住校生指定學生宿舍區(qū)里唯一一個寢室。

3.A乘2B

4.A平方B

5.A求導數B

要求學生觀察、討論這五個例子的特點，并說說有什么共同的地方，同桌之間交流自己的想法。學生通過觀察、思考、討論，最終快速的找到答案，教師作為引導者，把學生所說的答案作圖示分析，以加深學生對一一對應的理解。接著直接用文字表述出函數概念及函數三要素定義域、值域、對應法則；并指出兩個函數當且僅當他們的定義域、值域、對應法則完全相同時才是同一函數。至此，順利地引出了函數的概念。

在探究學習中，學生必須綜合所學得的知識，并把它應用于新的、未知的情景中去，這就需要學生使用恰當的方法和策略，需要探索和猜想。因此，在教學中數學思想，數學方法和策略的運用顯得尤為重要。數學問題的解決，作為創(chuàng)造性思維活動過程，其重要特點是思維的變通性和流暢性。當問題難于如手，那么思維不應停留在原問題上，而應將原問題轉化為一個比較熟悉或比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到對原問題的解決。當然，這就需要有正確的解題策略，而策略的培養(yǎng)最好的辦法就是對知識的探究，自己去認識他們間的聯(lián)系。但是現代心理學家傾向于認為僅僅在嘗試錯誤中學習是不夠的，正確的解題策略的產生有時還需要頓悟。

再次，鞏固練習，舉一反三。在做練習時，讓二位同學到黑板寫出“正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數的定義域、值域和對應法則”。一位學生：“正比例函數定義域是正比例函數、值域是y=kx、對應法則是k≠0；反比例函數定義域是反比例函數、值域是y=k/x，對應法則是k≠0”。學生明顯對函數的概念了解的不夠深刻，有必要對函數的定義再鞏固一下。于是，利用準備好的課件，幫助學生理解函數概念的本質：

① 函數是非空數集到非空數集的一種對應關系。

② 符號“f：AB”表示A到B的一個函數，他的三要素：定義域、值域、對應法則三者缺一不可。

③ 集合A中數的任意性，集合B中數的唯一性。

④ f表示對應關系，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。

第7篇：函數概念范文

關鍵詞 高一 函數概念 有效教學

一、高一學生對函數概念學習的理解水平

（一）對基本概念、基本知識掌握不牢固

數學概念、基本知識的學習是數學學習的基礎，需要正確理解概念，正確、靈活運用概念、公式解決數學問題。在這方面絕大多數教師在教學中已經作了很大努力，但考生對數學概念望文生義、臆造公式和法則，忽視雙基，導致基礎題丟分，成績不理想。函數概念學習中有許多錯誤表現為學生認知的“慣性”。這種思維導致學生在數學概念中不知不覺地犯某種錯誤，表現為不恰當的推廣、擴大，不恰當的方法遷移，或者在過于限制的領域內建立聯(lián)系，而沒有整體地去看問題，或者是對某一數學方法的偏好，而忽略其對立的方法，或者思考問題時思維的單向性、單一性。思維慣性影響低層次認知水平向高層次認知水平遷移，影響著新的認知結構的建立和發(fā)展。

（二）知識的掌握不扎實、方法不熟練

由于學習進度快，前面學習的內容沒能得到及時再鞏固，使大多數學生知識的掌握存在漏洞，不扎實、不系統(tǒng)、不牢固，在考試短時間內綜合運用顯得力不從心，考慮到這就忽略那，從而造成答題不完整，步驟不全、條件不全等情況。

學生在學習新概念時，常常按過去的經驗、結論、方法對概念作“合理”的推廣，由于沒有清楚新的概念層次與原來概念層次之間的差異，所以大多數“合理”推廣是錯誤的。但是推廣是數學研究與學習極為重要的途徑，是學生在同化與順應過程中的思維構造，它可以擴展學生思維、培養(yǎng)學生探索能力。學生自身具有探索、創(chuàng)新的潛能與欲望，他們時刻自覺地在作嘗試、推廣工作。但他們掌握的知識畢竟有限，有時在推廣時考慮不那么全面，往往會導致出錯。特別是在函數概念學習中，他們同樣會這樣做，這種推廣是人類天性與潛能，有時會導致錯誤，但是只要教給學生一定的方法，錯誤還是能盡量避免的。

（三）基本運算能力不過關

運算能力的考察在平時的考試和學習中中占有一定分量，試卷中具有非常明顯的比例。由于運算不過關導致不能正確地對試題作答的情形在考生中十分普遍。計算和式子變形出錯很多，公式不熟，步驟、格式不規(guī)范，該寫的步驟不寫，該加的條件不加，符號表達不準確等現象，造成該得到的結論沒有得到，這對下一步的思考帶來了障礙，使學生被一些表面現象所迷惑，對概念的理解也會出現失誤，從而影響正常的判斷。

二、對高一函數概念有效教學的建議

函數概念多元表征情景的創(chuàng)設是函數概念多元表征教學的前提。與實驗教材相比，新課標中函數概念更注重多元表征情景的創(chuàng)設。譬如，函數具體實例表征由過去的“兩個數集對應”，換成了 “解析式”、“圖象”、“列表”三種對應。另外，時下數學課堂，雖注重多元表征教學情景的創(chuàng)設，但總體來看，很多教師只是照本宣科地由情景到情景，并沒有注意或意識到函數概念多元表征情景的優(yōu)化。本研究依據數學多元表征學習視角，認為優(yōu)化函數概念多元表征教學情景，可以遵循以下原則。

（一）導入遵循“變量說一對應說”

函數概念經過了 200多年的發(fā)展，在演進過程中衍生多種界定，形成了不同的表征?？偟膩砜矗覈踔械礁咧袑瘮蹈拍罱缍?，主要遵循。變量說一對應說。因此，對于高中函數概念的教學，應該在變量說的基礎上再現函數概念的發(fā)生、發(fā)展與形成過程。

（二）具體表征實例包含“式、圖、表”三種表征

解析式是函數的符號表征，具有抽象性、簡潔性、運算性等特點，是形成函數概念言語化表征的學習材料。圖象、列表是函數的圖象表征，具有直觀、形象，是形成函數概念視覺化表征的必要學習材料。有關多元表征功能的研究表明，言語表征與心象表征具有互補、限制解釋以及深度理解等功能，函數概念三種不同的表征形式，可以建構多元表征的學習平臺，有利于促使學生學習函數概念的多元表征，并在多元表征的轉換與轉譯中實現對函數概念本質的理解。

（三）“聽、說、看、寫”相結合

多次實際課堂觀摩發(fā)現，許多課堂注重關注學生的“聽”和“看”，這樣的“填鴨式”課堂，學生極度缺乏“說”和“寫”的機會，無法促進學生深度加工各種表征，多元表征的教學與學習最終只能流于形式。

雙重編碼理論認為，言語碼和心象碼可以通過不同的感覺通道獲得，各種編碼形式可以是視覺的、聽覺的、甚至觸覺的。因此，課堂上要求學生聽、說、看、寫等，可以促使他們從多元渠道學習函數概念，從而把握函數的多元屬性。

（四）深度解釋策略

從“解釋策略”的角度看，目前數學概念教學中主要存在著兩個缺陷：其一，以教師的解釋為主，甚至許多教師獨攬了解釋權；其二，許多概念的解釋過于形式化，。一個定義，幾點注意。常常淹沒了概念的本質屬性。概念解釋的缺乏或解釋過于膚淺，都不利于多元表征的轉換與轉譯操作的產生以及實現。

深度解釋策略，主要包括教師的解釋與學生的解釋兩個方面，而且更突出后者。這是因為，通過深度解釋，學生使自己的編碼外顯化，通過對他人解釋的內容批判性考察，學生間的個體數學知識可以相互補救，以促進和增強深層碼、整合碼的建構。

在函數概念的教學中，我們可以設計看圖說話、積極回答問題、積極參與討論、主動交流與分享等活動，促使學生對函數概念進行深度解釋。譬如，在學習完函數的定義表征后，我們可以創(chuàng)設這樣的深度解釋機會：從宏觀看，函數概念包含了哪些主要因素？從微觀看，函數概念主要因素間應該滿足什么條件？張同學通過觀察，認為函數概念就像“加工廠”，他的這個比喻是否合理？為什么？這些問題的深度解釋，能引導學生從文字表征、符號表征、圖象表征等各方面進行加工、轉換、轉譯，有利于學生整合各種表征，從而抓住函數的本質屬性。

參考文獻：

[1]談雅琴."高一學生對函數概念的理解"的調查研究[J].中學數學教學參考，2007，1-2：119-121.

第8篇：函數概念范文

關鍵詞：函數，概念，性質

 

首先是初等函數相關問題分析:

1.絕對值函數的概念及性質

絕對值函數是個很廣的概念，可分為兩大部分，一部分是絕對值施加在X上的，另一部分是絕對值號施加在Y上的，如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據哪一個軸做軸對稱變換，記住這一點，不管多復雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數可以看作初等函數。

1.1絕對值函數的定義域，值域，單調性

例如f(x)=a|x|+b是

定義域：即x的取值集合，為全體實數；

值域： 不小于b的全體實數

單調性：當x<0，a>0時，單調減函數；

> > 增 ；

< < 增 ；

< < 減 ；

1.2絕對值函數圖象規(guī)律：

|f(x)|將f(x)在y軸負半軸的圖像關于x軸翻折一下即可，在y軸正半軸的圖像不變。

f(|x|)將f(x)在x軸負半軸的圖像關于y軸翻折一下即可，在x軸正半軸的圖像不變。。

1.3帶絕對值的函數求導，即將函數分段。

2.取整函數的概念與性質

2.1取整函數是：設x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，并用'{x}'表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為取整函數，也叫高斯函數。任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，+∞）稱為小數部分函數。

2.2取整函數的性質：a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(高斯函數)是一個不減函數,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數.e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x].　g 若n∈N+,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.h 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

3.導數的概念與性質

3.1導數，是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分?？蓪У暮瘮狄欢ㄟB續(xù)。。不連續(xù)的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導數另一個定義：當x=x0時，f‘(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函數，我們稱他為f(x)的導函數（簡稱導數）。

3.2求導數的方法

（1）求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限，得導數.

（2）幾種常見函數的導數公式： ① C'=0(C為常數函數)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx；④ (cosx)' = - sinx；⑤ (e^x)' = e^x；⑥ (a^x)' = a^xlna （ln為自然對數）;⑦ (Inx)' = 1/x（ln為自然對數;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

補充:上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函數，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。

（3）導數的四則運算法則： ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

（4）復合函數的導數

復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

4.高等函數的概念以及含義問題

4.1一元微分

1）一元微分是設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) −f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變?yōu)閄+X時，相應地函數值由f(X)改變?yōu)閒(X+X)，如果存在一個與X無關的常數A，使f(X+X)-f(X)和A·X之差是X→0關于X的高階無窮小量，則稱A·X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

2）其幾何意義為：設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

4.2多元微分

1）多元微分的概念：與一元微分同理，當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。

2）多元微分的運算法則

dy=f'(x)dx

d(u+v)=du+dv

d(u-v)=du-dv

d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

3）微分表

d(x^3/3)=x^2dx

d(-1/x)=1/x^2dx

d(lnx)=1/xdx

d(-cosx)=sinxdx

d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

高等函數中還有值定理與導數應用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程、向量代數與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數等，本文就簡單的函數問題做一總結。

【參考資料】

1.復變函數論.高等教育出版社,2004,01.

2.實變函數簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

3.高等學校教材——實變函數論. 高等教育出版社,2002,8.

4.華羅庚.高等數學引論.高等教育出版社,2009,2.

第9篇：函數概念范文

【關鍵詞】高中數學；函數；函數概念與基本初等函數

一、引言

新課改的深入發(fā)展，對高中數學提出了更高的教學要求，加上學習即將接受高考，而數學是重要的考核指標，這就深化了數學在高中教學的重要性。函數是高中數學的重難點，教師在函數教學中，必須從宏觀上正確把握函數教學策略，建立切實可行的函數教學手段。

二、研究典型，準確理解函數性質

充分理解函數的性質，掌握函數的概念是學生學習好函數的重要支撐，這也是教師在教學中首要解決的教學難題。在本章節(jié)中有關基本初等函數性質的教學上，教師應該對分段函數、指數函數、對數函數和冪函數等初等函數類型的基本性質進行明確，并通過研究典型問題的方法來準確理解函數性質。如在“對數函數”的教學中，教師可以以y=log2x和y=log0.5x為代表，采用研究典型問題的方法，明確了函數的性質后，將問題慢慢過渡到對數函數y=logax的一般情況，其中a大于，且不等于1。在例題“f（x）=x+b/x（b>0）”的研究中，可以延伸出以下6個概念性質問題。即函數f（x）的定義域、值域、奇偶性、單調性、圖像以及該函數圖像與一次函數y=x和數軸y之間的位置關系。

通過開展這樣的教學，學生清楚的了解和掌握了函數f（x）=x+b/x（b>0）的性質和圖像，并將其推廣到雙勾函數f（x）=ax+b/x（x≠0）。在高中數學中，雙勾函數被廣泛的應用到其他數學知識中，如不等式、復數、數列、解析幾何等。在高中數學教學中，通過研究典型問題，不僅能準確理解該函數性質，還能良好的掌握一類函數，進而提高教學效果，幫助學生更好的理解和掌握數學知識。

三、數形結合，提高學習解題能力

在中學階段，高中數學的抽象性要遠遠高于初中，而在高一數學學習中，學生剛從初中升入高中，抽象思維還不夠豐富，給數學學習增加很大難度。函數知識更具抽象，必須使用科學的教學方法才能更好的提高教學質量。數形結合的教學方法，是高中數學教師在函數教學中常見的方法，教師可以使用圖表法、圖像法等將一個抽象函數具體化，這在函數題目的解答中也是有重要作用的。如在“函數的奇偶性”相關知識的教學中，教師可以使用數形結合的方法進行教學。如圖1所示，曲線是函數y=f（x）所對應的圖像，設它關于數軸y對稱，點A是函數f（x）圖像上的任意一點。

由此，引出四個問題，即點A（x，f（x））有關y軸所對稱點A?的具體坐標是什么？點A?是否在函數y=f（x）圖像上？點A?的坐標還能以什么形式表現出來？除了上述三個問題，你還能發(fā)現出什么？上述4個問題構成了對函數的探究，第一個問題顯示出了點A?的坐標是（-x，f（x）），第二和第三個問題顯示出了點A?的坐標是（-x，f（-x）），問題四就是對上述三個問題的延伸，引導學生找出f（x）=f（-x）的結果，找出偶函數的基本含義?？梢姡瑘D像在引導學生學習函數知識過程中，能很好的將抽象問題直觀化和具體化。采用數形結合的方法，雖然能很好的提高學生的解題能力，但是要注意學生在解題中可能會使用幾何直觀來替代邏輯證明，所以教師要時刻觀察，以免學生產生這一的錯誤解題思路。

四、整合技術，提高數學教學質量

數學是一門極具邏輯性和技術性的學科，教師在實際教學中，可以將一些信息技術整合到課堂教學中，在豐富教學方法的同時，也能以新技術來吸引學生的學習興趣。如在指數、對數和冪函數的圖像、方程根存在性、數據擬合等教學活動中，教師可以將Excel、幾何畫板等信息技術融入教學中，引導學生使用計算器、計算機等對教學難點進行發(fā)現和探索，讓學生能更好的理解函數知識，提高數學教學質量。

如在“指數函數性質”的教學中，教師可以設計一個這樣的教學活動，即已知函數y=（1/2）x，y=2x，y=10x。問：從上述解析式中能得出什么性質？是否能確定這些解析式圖像在平面直角坐標系中的區(qū)域？這些解析式在平面直角坐標系中的具體圖像？對這些解析式的相同點和不同點進行歸納？怎么把這些相同點和不同點進行推廣？函數y=（1/2）x和y=2x有什么樣的圖像關系？在對上述問題進行教學時，教師要利用Excel、幾何畫板等信息技術把函數的圖像畫出來，幫助學生能從具體函數和對圖像的比較得到指數函數的性質。通過將信息技術整合到教學中，有效提高了數學教學質量。

五、結語

總之，為了提高高中“函數概念與基本初等函數”的教學質量，教師在實際教學中，可以通過研究典型問題，來幫助學生更好的理解函數的概念和性質，可以采用數形結合的方法和將信息技術整合到教學中，來提高教學質量。

參考文獻：

[1]許俊.高中教學策略研究――以“函數概念與基本初等函數”為例[J].文理導航（中旬），2014，34（02）：19-20

[2]沙紀忠.高中“函數概念與基本初等函數”教學策略[J].上海中學數學，2012，11（06）：22-23