勾股定理證明方法精選(九篇)

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第1篇：勾股定理證明方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內(nèi)容非常豐富，但現(xiàn)行的教材（以浙教版為例）只安排兩個(gè)課時(shí)，教學(xué)受課時(shí)的限制，不能充分利用勾股定理發(fā)展學(xué)生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養(yǎng)。本文以開發(fā)《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學(xué)校教研組為團(tuán)隊(duì)如何依托數(shù)學(xué)課本開發(fā)拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學(xué)生發(fā)展六大核心素養(yǎng)中有十八個(gè)基本要點(diǎn)，其中三個(gè)是問題解決、人文積淀、理性思維，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的前言中也有類似的表述。對應(yīng)三個(gè)基本要點(diǎn)確定三個(gè)課時(shí)的拓展性課程，在上完基礎(chǔ)性課程的兩個(gè)課時(shí)后進(jìn)行。因篇幅所限，只展示每個(gè)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求、課外作業(yè)。

第一課時(shí)：勾股定理在生活中的應(yīng)用

設(shè)置緣由：數(shù)學(xué)課最缺的是實(shí)踐課，學(xué)生非常喜歡實(shí)踐課，開發(fā)團(tuán)隊(duì)成員一致同意每學(xué)期開發(fā)一節(jié)實(shí)踐課。

教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界。

活動(dòng)內(nèi)容及要求：（1）帶學(xué)生參觀有人字梁結(jié)構(gòu)的農(nóng)村老宅，請當(dāng)?shù)厥炙嚤容^好的手藝人，一個(gè)木匠，一個(gè)泥水匠當(dāng)講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時(shí)要先奠基，在一百多平方米的地上要設(shè)置很多個(gè)直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個(gè)木樁，兩個(gè)木樁之間的距離為三尺，調(diào)整第三個(gè)木樁的位置，使它與前兩個(gè)木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調(diào)。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個(gè)例子。一個(gè)例子是如何預(yù)算建造斜屋頂結(jié)構(gòu)的房子用到的木料，特別是人字梁結(jié)構(gòu)中斜線部分的木料長度的計(jì)算方法。第二個(gè)例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學(xué)生的互動(dòng)，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)模型解釋實(shí)際應(yīng)用問題。

課外作業(yè)：找一個(gè)生活中實(shí)際用到勾股定理的例子，寫心得體會(huì)交流。

第二課時(shí)：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內(nèi)容多而雜。動(dòng)員團(tuán)隊(duì)所有成員參與，從網(wǎng)上和書本中搜集并整理。

教學(xué)目標(biāo)：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數(shù)學(xué)文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數(shù)學(xué)知識(shí)源遠(yuǎn)流長和數(shù)學(xué)價(jià)值的偉大。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）勾股定理的發(fā)現(xiàn)：公元前1100多年的《周髀算經(jīng)》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發(fā)現(xiàn)的。三國時(shí)的趙爽給出了證明，2002年北京國際數(shù)學(xué)大會(huì)的徽標(biāo)就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的。相傳畢達(dá)哥拉斯花了很多的精力才證明了這個(gè)定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。這個(gè)定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學(xué)生課前和課后整理出趙爽和畢達(dá)哥拉斯的相關(guān)成果，了解《周髀算經(jīng)》等中國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數(shù)與形結(jié)合的典范，啟發(fā)后人對函數(shù)的研究；②畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯利用勾股定理導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)；③勾股定理使數(shù)學(xué)在追求邏輯體系和數(shù)學(xué)美的過程中發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)；④勾股定理中的公式是一個(gè)最早的不定方程，引發(fā)了包括著名的費(fèi)馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學(xué)生例舉數(shù)形結(jié)合的例子；能描述三次數(shù)學(xué)危機(jī)；能舉例一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)；了解費(fèi)馬大定理的內(nèi)容及費(fèi)馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點(diǎn)很低，所以千百年來下至業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者、普通的老百姓，上至著名的數(shù)學(xué)家、國家總統(tǒng)都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個(gè)定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統(tǒng)”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個(gè)小孩的追問，開始對勾股定理證明進(jìn)行思考……后來他在繼承的基礎(chǔ)上反復(fù)思考終于找到了獨(dú)特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)，人們就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。要求學(xué)生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時(shí)：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標(biāo)準(zhǔn)：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學(xué)生的證法。

教學(xué)目標(biāo)：在勾股定理的探索過程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新能力，體會(huì)深層次的數(shù)形結(jié)合；發(fā)展形象思維，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)探索精神。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）趙爽證法。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽。如圖1，就是趙爽創(chuàng)造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細(xì)講。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法并非嚴(yán)密的演繹推理，如圖形中的內(nèi)外兩個(gè)正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統(tǒng)證法。如圖 3， 這個(gè)證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結(jié)BF、CD，過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，F(xiàn)AB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質(zhì)證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點(diǎn)C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因?yàn)椤螧CA=90°，點(diǎn)C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評析。中國證法的獨(dú)到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質(zhì)及平行線性質(zhì)的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發(fā)展的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法深受中國古代數(shù)學(xué)思想的影響。后三個(gè)證法追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學(xué)精神具有不可替代的地位。

第2篇：勾股定理證明方法范文

摘要：勾股定理及其逆定理的證法很多. 筆者運(yùn)用平面幾何中著名的托勒密定理，構(gòu)造出托勒密定理滿足的基本條件，再借助初中幾何的圓及四邊形等綜合知識(shí)，對兩個(gè)定理加以證明. 利用構(gòu)造的方法，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有拋磚引玉的功效.

關(guān)鍵詞：勾股定理；逆定理；另證；方法

勾股定理的證明方法多達(dá)四百余種，而它的逆定理的證法卻沒有那么多，筆者曾用同一法證過其逆定理. 大多數(shù)方法都是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)中常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法加以證明的. 筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐研究，運(yùn)用高中數(shù)學(xué)競賽綱要中所要求的一個(gè)重要的著名定理――托勒密定理，對勾股定理及其逆定理加以了證明，讓人耳目一新，既拓寬了學(xué)生的視野，啟迪了學(xué)生的思維，又引導(dǎo)了學(xué)生如何去拓展書本中的知識(shí)，豐富了學(xué)生的課外生活，激發(fā)了學(xué)生課外探究數(shù)學(xué)的熱情，增強(qiáng)了解決數(shù)學(xué)問題的能力. 下面，筆者將托勒密定理的證明及如何運(yùn)用它來證明勾股定理及其逆定理提供給同行們.

[⇩]托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形中，四邊形的兩組對邊的乘積之和等于對角線的積

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

圖1

求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD.

證明作∠BAG=∠CAD. 因?yàn)?，所以∠3=∠4. 因?yàn)椤螧AG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.

所以AB?CD=AC?BG.①

因?yàn)椤?+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因?yàn)?，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.

所以BC?AD=AC?DG. ②

①+②得AB?CD+BC?AD=AC?（BG+DG）=AC?BD.

[⇩]運(yùn)用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

已知：如圖2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.

求證：a2+b2=c2.

[B][C][O][A][D]

圖2

分析直角三角形ABC有且僅有一個(gè)以AB中點(diǎn)O為圓心，為半徑的外接圓. 如果再在圓O上找一點(diǎn)D，就可以構(gòu)造一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，便可以運(yùn)用托勒密定理得線段間的關(guān)系，從而得到勾股定理.

證明作出直角三角形ABC的外接圓O，連結(jié)OC并延長CO交圓O于點(diǎn)D，再連結(jié)BD，AD. 因?yàn)镃D為直徑，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因?yàn)椤螩=90°，所以四邊形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，所以a2+b2=c2.

2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

已知：如圖3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.

求證：∠C=90°.

[B][C][O][A][D]

圖3

分析三角形ABC有且僅有一個(gè)外接圓O，可將∠C放在圓中，得到一個(gè)圓周角. 要證明它為直角，只需要證明它所對的弦AB為直徑即可. 要證AB為直徑僅由a2+b2=c2得出談何容易？此路不通另尋他途，不妨在圓O上再找一點(diǎn)D，構(gòu)造出一個(gè)圓內(nèi)接四邊形看能否利用托勒密定理得出線段間的關(guān)系再結(jié)合已知條件a2+b2=c2來進(jìn)行證明. 那么D點(diǎn)如何找呢？過B點(diǎn)作BD∥AC交圓O于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，運(yùn)用托勒密定理即可達(dá)到目的.

證明作出三角形ABC的外接圓O，過B作BD∥AC交圓O于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD. 因?yàn)锽D∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.

所以BC=AD=a . 因?yàn)?，所以∠BCD=∠BAD. 因?yàn)锽D=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因?yàn)樗倪呅蜛CBD是圓O的內(nèi)接四邊形，

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，

所以a2+b?BD=c2. 因?yàn)閍2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四邊形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，從而命題得證.

第3篇：勾股定理證明方法范文

關(guān)鍵詞:勾股定理 故事 自學(xué) 引導(dǎo) 鞏固

時(shí)鐘隨著指針的移動(dòng)嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊(duì)行進(jìn)的兵士，“分”是士官，“小時(shí)”是帶隊(duì)沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當(dāng)你百無聊賴、胡思亂想的時(shí)候，請記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統(tǒng)帥。檢閱他們時(shí)，你不妨問問自己——他們是否在戰(zhàn)斗中發(fā)揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體作用，注重教學(xué)過程，改變被動(dòng)接受知識(shí)的局面，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)素質(zhì)化，才能真正提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率。下面說說我在教學(xué)中的做法，通過這個(gè)例子來具體地說明數(shù)學(xué)課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學(xué)目標(biāo):勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系;它可以解決直角三角形中關(guān)于邊的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要根據(jù)之一，在實(shí)際生活中用途很大。教材在編寫時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問題的能力，通過實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng)，使學(xué)生獲得較為直觀的印象;通過聯(lián)系和比較，理解勾股定理，以便正確地進(jìn)行運(yùn)用。

例如，勾股定理證明教學(xué)過程中，教師可這樣實(shí)施:

一、故事引入，激發(fā)興趣

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的興趣，可以由下列故事引入:三千多年前有個(gè)叫商高的人對周公說:把一根直尺折成直角，兩端連接得到一個(gè)直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

這樣引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢?

教師要善于激疑，使學(xué)生進(jìn)入樂學(xué)狀態(tài)。這樣做將學(xué)生的注意力吸引到課堂上來，學(xué)生全神貫注地聽課，課堂效率得到提高。

二、自學(xué)教材，主動(dòng)探究

教師將教材知識(shí)整合，制作成幻燈片，以此指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材。通過自學(xué)感悟、理解新知，體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，鍛煉了學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的能力，養(yǎng)成了學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣。

1.通過自主學(xué)習(xí)，教師設(shè)疑或?qū)W生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學(xué)，中等以上的學(xué)生基本都能掌握，這時(shí)能激發(fā)學(xué)生的表現(xiàn)欲。

2.通過合作探究，引導(dǎo)學(xué)生擺脫網(wǎng)格的限制，研究任意直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導(dǎo)學(xué)生按照要求進(jìn)行拼圖，觀察并分析;(學(xué)生每人準(zhǔn)備四個(gè)大小一樣的直角三角形)(1)這兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?(2)你能寫出這兩個(gè)圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結(jié)論?

這時(shí)教師組織學(xué)生分組討論，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的積極性，達(dá)到人人參與的效果，接著全班交流。先由某一組代表發(fā)言，說明本組對問題的理解程度，其他各組作評價(jià)和補(bǔ)充。教師及時(shí)進(jìn)行富有啟發(fā)性的點(diǎn)撥，最后，師生共同歸納，形成一致意見，最終解決疑難。

三、鞏固練習(xí)，強(qiáng)化提高

1.出示練習(xí)，學(xué)生分組解答，并由學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律。課堂教學(xué)中動(dòng)靜結(jié)合，以免引起學(xué)生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火，消防員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防員取來6.5米長的梯子，梯子的底部離墻基2.5米，請問消防員能否進(jìn)入三樓滅火?

2.出示例1:學(xué)生試解，師生共同評價(jià)，以加深對例題的理解與運(yùn)用。針對例題再次進(jìn)行鞏固練習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，對練習(xí)中出現(xiàn)的情況可采取互評、互議的形式，在互評互議中出現(xiàn)的具有代表性的問題，教師可以采取全班討論的形式予以解決，以此突出教學(xué)重點(diǎn)。

四、歸納總結(jié)，練習(xí)反饋

引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，梳理學(xué)習(xí)思路。分發(fā)自我反饋練習(xí)，學(xué)生獨(dú)立完成。

五、課后作業(yè)

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報(bào)刊、資料或上網(wǎng)查閱中外名人對勾股定理的證明方法以及勾股定理的發(fā)展史。

教學(xué)反思:本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，注重對知識(shí)形成過程的教學(xué)。但是在準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)還是不夠充分，比如引例比較簡單，可以適當(dāng)增加。在本節(jié)課后，我又搜集了一些關(guān)于勾股定理的典故，充實(shí)本節(jié)課的內(nèi)容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人，也知道這一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它來測定直角，之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部，四正四方，正對準(zhǔn)東西南北，可見方向測得很準(zhǔn)，四角又是嚴(yán)格的直角。而要量得直角，當(dāng)然可以采用作垂直線的方法，但是如果將勾股定理反過來用，也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5，或者符合的公式，那么弦邊對面的角一定是直角。

3.到了公元前540年，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個(gè)規(guī)律?反過來，三邊符合這個(gè)規(guī)律的，是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子，結(jié)果都對這兩個(gè)問題作了肯定的回答。他非常高興，殺了一百頭牛來祝賀。以后，西方人就將這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

另外，合作探究和拼圖部分給學(xué)生留的時(shí)間太少，應(yīng)該給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。

第4篇：勾股定理證明方法范文

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；勾股定理；創(chuàng)新

為了豐富課堂教學(xué)，教師需要通過多媒體技術(shù)來營造輕松活潑的課堂氛圍，學(xué)生在多媒體教學(xué)中，對學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握更加有序，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，不斷思考知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，并提升實(shí)際運(yùn)用的靈活度。在實(shí)踐教學(xué)中，多媒體技術(shù)已經(jīng)被大多數(shù)的學(xué)校和老師所認(rèn)可，要想有效創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)方法，就需要分析傳統(tǒng)的勾股定理教學(xué)內(nèi)容，這樣有利于更加靈活有效地使用多媒體技術(shù)。

一、利用多媒體切入勾股定理

初中數(shù)學(xué)教師要想提高課堂教學(xué)質(zhì)量，首先就要找好教學(xué)的切入點(diǎn)，尤其是課堂教學(xué)活動(dòng)開始的時(shí)候，如何設(shè)計(jì)教學(xué)方式才能吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生更加清晰的認(rèn)識(shí)是教師所要考慮的主要問題。初中生正處于身體和心理快速發(fā)展的階段，因此，對多媒體的好奇心較強(qiáng)，教師需要利用多媒體來調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，而后引入知識(shí)點(diǎn)，這樣學(xué)生就能自然而然地進(jìn)入角色中進(jìn)行學(xué)習(xí)。例如，教師可以播放兩組視頻，第一組視頻是：小剛持著一根兩米二的竹竿上火車，按照中國鐵路乘坐法規(guī)定，乘客在乘坐火車的時(shí)候，所攜帶的物品不能夠超過兩米，而乘警在發(fā)現(xiàn)小剛手持超過標(biāo)準(zhǔn)長度的竹竿上火車后卻“視而不見”

這是怎么回事呢？第二組視頻講述的是：小紅一家子準(zhǔn)備搬家，但是在搬運(yùn)過程中遇到了一個(gè)難題，由于櫥柜非常高，所以，在搬運(yùn)的時(shí)候無法垂直地抬進(jìn)去，那么斜著是不是就可以抬進(jìn)去了呢？小紅在經(jīng)過測量之后，準(zhǔn)確地得出了結(jié)論，可以搬運(yùn)，在實(shí)踐中順利地把櫥柜搬入家中。教師在播放完視頻后首先問學(xué)生：“同學(xué)們，在視頻中的兩位主人公都是與我們同齡的同學(xué)，他們都非常聰明，你們知道他們運(yùn)用的是什么知識(shí)原理呢？我們接下來學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是視頻中出現(xiàn)的知識(shí)原理，只要大家積極學(xué)習(xí)，也能像視頻中的同學(xué)一樣厲害?！蓖ㄟ^視頻的觀看和教師的引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)對接下來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大的熱情，更加認(rèn)真地學(xué)習(xí)接下來的

內(nèi)容。

二、利用多媒體將抽象的勾股定理具體化

現(xiàn)如今大多數(shù)人評定一名學(xué)生的優(yōu)劣都是依據(jù)考試成績來判斷的，但是在初中實(shí)踐教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更加重要，教師不能只重視學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，只有調(diào)動(dòng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中對學(xué)習(xí)內(nèi)容的熱情，才能促進(jìn)學(xué)生積極地學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，并且努力掌握學(xué)習(xí)方法，最終有效提高成績，因此，教師需要重視培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。勾股定理知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中較為抽象的理論知識(shí)，具有較強(qiáng)的靈活性特征，因此，該知識(shí)點(diǎn)能夠與其他知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來，綜合地解決數(shù)學(xué)問題，因此，學(xué)生要想充分地掌握具有一定的難度。要想幫助學(xué)生突破知識(shí)點(diǎn)束縛，就可以將勾股定理具體化和形象化。教師在實(shí)際教學(xué)中，可以利用多媒體技術(shù)有機(jī)地將數(shù)學(xué)計(jì)算公式與聲音、圖像等融合起來，更為形象地表現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，有利于幫助學(xué)生更加深入地理解勾股定理的相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用得更加靈活，在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步地進(jìn)行積累，豐富自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)。例如，利用勾股定理證明垂直問題的時(shí)候，教師就先提出問題：已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB垂直于AD，證明：BC垂直于BD。

在傳統(tǒng)的教學(xué)中教師在黑板上板書，將計(jì)算過程演算出來，學(xué)生只需要跟著教師的腳步走就行，該教學(xué)方法十分枯燥，時(shí)常遇到學(xué)生聽不懂，但是也不敢打斷教師提問，所以教師在課堂上利用多媒體教學(xué)時(shí)，就可以具體地將驗(yàn)算過程顯示出來，通過播放Flash引導(dǎo)學(xué)生一步步地理解勾股定理怎么計(jì)算，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生對勾股定理的學(xué)習(xí)積極性。

隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，電子信息技術(shù)逐漸深入到生活的方方面面，互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的到來促使多媒體技術(shù)快速發(fā)展，要想有效創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)方法，就需要應(yīng)用多媒體技術(shù)，不僅能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)具體化，還能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且有效利用多媒體技術(shù)還能夠擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)范圍，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到除課本知識(shí)以外的知識(shí)內(nèi)容，鍛煉自身的自學(xué)能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中勾股定理是教學(xué)的重難點(diǎn)，教師利用多媒體技術(shù)展開教學(xué)方法的創(chuàng)新，更有利于學(xué)生掌握該知識(shí)，并靈活地運(yùn)用到實(shí)際中，為學(xué)生初中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾喜萍.淺談多媒體在高校數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（1）.

第5篇：勾股定理證明方法范文

【摘要】文章以“簡單是真理的標(biāo)志”為準(zhǔn)則，用明白易懂的語言對費(fèi)爾馬大定理進(jìn)行證明。提出了“勾股性質(zhì)定理”，并且用“一分為二”的觀點(diǎn)審視乘方數(shù)，用“綱舉目張”的成語解釋直角三角形。拳拳匠心圓，足足創(chuàng)意方。

【關(guān)鍵詞】勾股性質(zhì)定理 一分為二 乘方數(shù) 綱舉目張 直角三角形

Prove Fermat’s Theorem and make it transpicuous

Ma Jianzhong Ma Zhengxing

【Abstract】The writers have proved Fermat’s Theorem using transpicuous words with the sentence that simpleness is the symbol of the truth as the guide line. They have brought forward the “Pythagorean quality proposition”, surveyed the number of the power with the view that one divides into two and explained the right-angled triangle using the idiom that when the headrope of a fishing net is pulled up, all its meshes open. In the article, the writers have great originality sincerely.

【Keywords】Pythagorean quality proposition One dividing into two Number of power When the headrope of a fishing net is pulled up All its meshes open Right-angled triangle

勾股性質(zhì)定理：任何直角三角形，設(shè)勾為x，股為y，弦為z，正整數(shù)為n，長度方面，當(dāng)n=1時(shí)，xn+yn>zn（兩邊之和大于第三邊）；面積方面，當(dāng)n=2時(shí)，xn+yn=zn（勾股定理）；體積方面，當(dāng)n>2時(shí)，xn+yn

已知：x2+y2=z2（勾股定理），其中z>x，z>y（斜邊大于直角邊）。

求證：當(dāng)正整數(shù)n>2時(shí)，xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。

證明：當(dāng)n>2時(shí)，假設(shè)xn+yn=zn （1）

根據(jù)指數(shù)法則，對指數(shù)“稀釋”來提高透明度和增強(qiáng)可比性，（1）式可寫成

x2xn-2+y2yn-2=z2zn-2 （2）

已知x2+y2=z2，代入（2）式可寫成

x2xn-2+y2yn-2=（x2+y2）×zn-2 （3）

（3）式去括號(hào)可寫成

x2xn-2+y2yn-2=x2zn-2+y2zn-2 （4）

已知z>x,z>y，因?yàn)橥瑯又笖?shù)的兩個(gè)乘方數(shù)其底數(shù)較大者較大，所以zn-2> xn-2，zn-2>yn-2。

又因?yàn)橐驍?shù)較大者較大，所以

x2zn-2>x2xn-2（只有z=x，才能x2 zn-2=x2xn-2）

y2zn-2>y2yn-2（只有z=y，才能y2zn-2=y2yn-2）

如上所證，（4）式其實(shí)等號(hào)兩邊不相等，即該方程不成立，應(yīng)當(dāng)寫成x2xn-2+y2yn-2

（5）式的理由是“兩個(gè)較小的數(shù)相加之和小于兩個(gè)較大的數(shù)相加之和”。

如上所證進(jìn)行正本清源，由于（5）式的小于號(hào)兩邊是從（1）式的等號(hào)兩邊轉(zhuǎn)化而來的，所以（5）式可寫成

xn+yn

如（6）所示，假設(shè)的（1）其實(shí)等號(hào)兩邊不相等，即該方程不成立而理所當(dāng)然沒有正整數(shù)解。

費(fèi)爾馬大定理證畢。

如上所證可說：費(fèi)爾馬大定理的命題正是勾股性質(zhì)定理的推論。

直角三角形的普遍意義：取值范圍的廣泛性：直角三角形的斜邊，其長度可以是任何正整數(shù)。也就是說，以任何正整數(shù)作為底數(shù)的乘方數(shù)（如1n、2n、3n、4n…無窮無盡，當(dāng)然，n為取值2、3、4之類的正整數(shù)），都可以根據(jù)這個(gè)底數(shù)的長度作為三角形的斜邊從而作出一個(gè)直角三角形（即在該斜邊的兩端端點(diǎn)向不同方向作互相垂直的兩條直線從而相交成三角形便構(gòu)成直角三角形）。如此這般，便由斜邊引出了兩條直角邊，就可以把一個(gè)乘方數(shù)分解為指數(shù)相同的兩個(gè)乘方數(shù)（當(dāng)然，這兩個(gè)乘方數(shù)的底數(shù)就是兩條直角邊的長度）。當(dāng)指數(shù)n=2時(shí)，x2+y2=z2；當(dāng)指數(shù)n>2時(shí)，x2+y22時(shí)，不可能將一個(gè)正整數(shù)的乘方數(shù)分解為指數(shù)相同的兩個(gè)正整數(shù)的乘方數(shù)。

第6篇：勾股定理證明方法范文

為使學(xué)生學(xué)好當(dāng)代社會(huì)中每一位公民適應(yīng)日常生活、參加社會(huì)生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、發(fā)展思維能力和空間觀念，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。

二、教材內(nèi)容分析

本學(xué)期數(shù)學(xué)內(nèi)容包括第一章《勾股定理》、第二章《實(shí)數(shù)》，第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》，第四章《四邊形性質(zhì)探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數(shù)》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數(shù)據(jù)的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內(nèi)容是勾股定理的探索和應(yīng)用。其中勾股定理的應(yīng)用是本章教學(xué)的重點(diǎn)。

第二章《實(shí)數(shù)》主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算。本章的內(nèi)容雖然不多，但在初中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位。本章的教學(xué)重點(diǎn)是平方根和算術(shù)平方根的概念和求法，教學(xué)難點(diǎn)是算術(shù)平方根和實(shí)數(shù)兩個(gè)概念的理解。

第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》主要內(nèi)容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉(zhuǎn)。簡單幾何圖形的平移是本章教學(xué)的重點(diǎn)，簡單圖案的設(shè)計(jì)是本章的難點(diǎn)。

第四章《四邊形性質(zhì)探索》的主要內(nèi)容是四邊形的有關(guān)概念、幾種特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質(zhì)和判定以及三角形、梯形的中位線，其中幾種特殊四邊形的性質(zhì)和判定是本章教學(xué)的重點(diǎn)，推理證明是本章的難點(diǎn)。

第五章《位置的確定》主要講述平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的確定，會(huì)找出一些點(diǎn)的坐標(biāo)。

第六章《一次函數(shù)》的主要內(nèi)容是介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。其中一次函數(shù)的圖像的表達(dá)式是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

第七章《二元一次方程組》要求學(xué)會(huì)解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實(shí)際的問題。

第八章《數(shù)據(jù)的代表》主要講述平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)的概念，會(huì)求平均數(shù)和能找出中位數(shù)及眾數(shù)。

三學(xué)生情況分析：

初二（1）班共有學(xué)生44人，從上學(xué)期期未統(tǒng)計(jì)成績分析，及格人數(shù)分別為5人，優(yōu)秀人數(shù)分別為0人，與其他幾個(gè)平行班比較，優(yōu)秀生及格生都少，另外這兩個(gè)班的學(xué)生中成績特別差的比較多，成績提高的難度較大。在這樣一個(gè)以少數(shù)民族為主的學(xué)生群體中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和空間思維能力普遍較差，大部分學(xué)生的解題能力十分弱，特別是幾何題目，很大一部分學(xué)生做起來都很吃力。從上學(xué)期期末統(tǒng)測成績來看，成績最好是78分，差的只有幾分，這些同學(xué)在同一個(gè)班里，好的同學(xué)要求老師講得精深一點(diǎn)，差的要求講淺顯一點(diǎn)，一個(gè)班沒有相對較集中的分?jǐn)?shù)段，從幾分到70多分每個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)都差不多，這就給教學(xué)帶來不利因素。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運(yùn)算，并能熟練地進(jìn)行二次根式的化簡。

2、掌握二次根式加、減、乘、除的運(yùn)算法則，能夠進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。掌握二次根式的化簡，進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

3、理解四邊形及有關(guān)概念，掌握幾種特殊四邊形的性質(zhì)定理及判定。

4、理解相似一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。

五、教學(xué)措施及方法

1、成立學(xué)習(xí)小組，實(shí)行組內(nèi)幫輔和小組間競爭，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心及自學(xué)能力。

2、注重雙基和學(xué)法指導(dǎo)。

3、積極應(yīng)用嘗試教學(xué)法及其他新的教學(xué)方法和先進(jìn)的教學(xué)手段。

4、多聽聽課，向其它老師借簽學(xué)習(xí)一些優(yōu)秀的教學(xué)方法和教學(xué)技巧。

六、本學(xué)期教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃

第一周：第一章《勾股定理》

第二周：第二章《實(shí)數(shù)》

第三周：第二章《實(shí)數(shù)》的復(fù)習(xí)和第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》

第四、五周：第四章《四邊形性質(zhì)探索》。

第六周：第五章《位置的確定》。

第七周：第六章《一次函數(shù)》，介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式，學(xué)會(huì)用一次函數(shù)解決一些實(shí)際問題。

第八周：第七章《二元一次方程組》，要求學(xué)會(huì)解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實(shí)際的問題。

第九周：第八章《數(shù)據(jù)的代表》和總復(fù)習(xí)。

第十周：綜合復(fù)習(xí)和訓(xùn)練。

七、本學(xué)年教學(xué)成績目標(biāo)：

第7篇：勾股定理證明方法范文

一、數(shù)學(xué)模式轉(zhuǎn)換的常見類型

1。數(shù)學(xué)模式的語言類別轉(zhuǎn)換

語言類別轉(zhuǎn)換是從一種語言轉(zhuǎn)換為另一種語言表征形式的模式轉(zhuǎn)換方式。它既可以是不同數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換，也可以是不同數(shù)學(xué)分支之間的語言轉(zhuǎn)換，甚至還可以是數(shù)學(xué)語言與其他語言之間進(jìn)行的轉(zhuǎn)換。比如用自然語言敘述的完全平方和公式“兩個(gè)數(shù)的和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的二倍”，可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)符號(hào)語言，即為（a+b）2=a2+2ab+b2。再比如數(shù)學(xué)命題“橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所張開的角被過這一點(diǎn)的法線所平分”，用物理學(xué)語言可以描述為“從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓的反射必過橢圓的另一焦點(diǎn)”。

2。數(shù)學(xué)模式的語言句法轉(zhuǎn)換

語言句法轉(zhuǎn)換是在保持意義不變的前提下改變句子的句法結(jié)構(gòu)的一種模式轉(zhuǎn)換方式。在數(shù)學(xué)中，人們常常出于嚴(yán)密性的考慮而在句子中增添上很多限定詞、修飾語，這樣所造成的結(jié)果是出現(xiàn)很多長句、復(fù)合句，這就必然在無形之中增加了學(xué)生理解的困難。為了促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模式的理解，可以在保持句子意義不變的前提下對句子的結(jié)構(gòu)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，比如將復(fù)合句轉(zhuǎn)換為簡單句、將被動(dòng)句轉(zhuǎn)換為主動(dòng)句，或刪掉一些多余的限定詞、修飾語等，甚至在不影響理解的情況下可以用簡化的語句來表達(dá)復(fù)雜的句子。比如平面幾何中的一個(gè)數(shù)學(xué)命題“如果一個(gè)三角形中有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等”，就可以簡化為“等邊對等角”這樣高度概括的語句。

3。數(shù)學(xué)模式的語言邏輯轉(zhuǎn)換

邏輯轉(zhuǎn)換是利用邏輯等價(jià)性來進(jìn)行模式轉(zhuǎn)換的一種方式。我們平時(shí)常見函數(shù)式、等式或不等式的恒等變形、問題等價(jià)轉(zhuǎn)化、求一個(gè)命題的逆否命題等都屬于模式的邏輯轉(zhuǎn)換。通過邏輯轉(zhuǎn)換往往有助于簡化問題，促進(jìn)問題的迅速解決。如有這樣一個(gè)問題：“已知關(guān)于x的三個(gè)方程x2+4mx－4m+3=0，x2+（m－1）x+m2=0，x2+2mx－2m=0中至少有一個(gè)存在實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痹S多學(xué)生往往對其中“至少有一個(gè)方程存在實(shí)根”這句話感到難以理解，因?yàn)樗ㄆ叻N情況，對它們分別進(jìn)行討論，顯然很麻煩。但如果把這個(gè)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從問題的反面或?qū)α⒚鎭磉M(jìn)行思考，那么只需要考察“三個(gè)方程都沒有實(shí)根”這一情況，從而就可以將問題的求解轉(zhuǎn)換為求由三個(gè)不等式Δ1=16m2－4（－4m+3）＜0，Δ2＝（m－1）2－4m2＜0，Δ3＝4m2+8m＜0組成的關(guān)于m的不等式組的解集的補(bǔ)集。

4。數(shù)學(xué)模式的辯證對立轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)中到處都充滿辯證法，在數(shù)學(xué)模式的理解過程中通過辯證轉(zhuǎn)換可以促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)模式的本質(zhì)。比如將切線看成是割線無限變化的極限，本質(zhì)上就是“有限”與“無限”的辯證對立轉(zhuǎn)化。再比如微積分中求曲線的長度和曲邊梯形的面積時(shí)常常要用到“以直代曲”的思想，這實(shí)質(zhì)上就是“直與曲”的辯證對立轉(zhuǎn)化。另外諸如“相等與不等”、“靜”與“動(dòng)”、“升”與“降”、“分”與“合”的轉(zhuǎn)化等都體現(xiàn)了辯證對立轉(zhuǎn)化的思想，通過這種辯證對立轉(zhuǎn)化不僅可以改變對數(shù)學(xué)模式單一的、片面的理解方式，而更重要的意義則在于它可以從不同角度、不同方面對數(shù)學(xué)模式進(jìn)行更加全面、更加深刻的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)模式的本質(zhì)。

5。數(shù)學(xué)模式的不同視角轉(zhuǎn)換

在數(shù)學(xué)模式的理解過程中，我們常常有這樣的感覺，僅僅局限于某個(gè)特定的視角往往很難理解模式，而如能適當(dāng)轉(zhuǎn)換視角則可能會(huì)產(chǎn)生“柳暗花明”的感覺。這方面最常見的視角轉(zhuǎn)換有“整體與局部”的轉(zhuǎn)換、“特殊與一般”的轉(zhuǎn)換以及“常量”與“變量”的轉(zhuǎn)換等。比如，求集合{1，2，3，…，n}所有子集的所有元素和這一問題，雖然看上去是局部的問題，但如果僅僅著眼于先求所有集合元素的和，然后再求和的和就非常煩瑣，而如果立足于整體分別求含元素1，2，3，…，n集合的個(gè)數(shù)，采用整體化方法就易如反掌。又比如對命題2011?。?0062011的理解，如果僅僅只是局限于1006和2011這兩個(gè)具體的數(shù)值就很難真正理解這一命題，而如果能將1006看成是2011+12，并將所理解的命題看成命題（1+2+…+nn）n＞n！即一般性命題的特殊形式，那么就能對命題產(chǎn)生較好的理解。甚至還可以創(chuàng)造性地利用高斯方法來解決這一問題，即將不等式2011！＜10062011看做是一系列同向不等式1×2011＜10062，2×2010＜10062，…，1005×1007＜10062與等式1006=1006之積。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模式轉(zhuǎn)換能力的主要教學(xué)策略

1。通過數(shù)學(xué)模式語言間的等價(jià)互換化“數(shù)”為“形”策略

任何數(shù)學(xué)模式的表述都離不開數(shù)學(xué)語言（自然語言），數(shù)學(xué)模式的轉(zhuǎn)換往往需要在不同的數(shù)學(xué)語言之間進(jìn)行靈活地互換。如在解方程組x+y+z=1，①x2+y2+z2=13，②x3+y3+z3=13，③時(shí)若用常規(guī)的消元法求解，將相當(dāng)煩瑣，而采用數(shù)形結(jié)合法將會(huì)有意想不到的效果。如圖1。可見方程①、②有實(shí)數(shù)解的幾何意義是：

直線x+y=1－z與圓x2+y2=13－z2有公共點(diǎn)，其充要條件是圓心O（0，0）到該直線的距離不大于半徑，即|1－z|姨2≤13－z2姨?；喌茫?z－1）2≤0，即z=13。從而，解得x=y=z=13。因此，要能成功地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，首先掌握如幾何語言、代數(shù)語言、符號(hào)語言等幾種常用數(shù)學(xué)語言，很難想象一個(gè)不懂幾何語言的人能夠?qū)⒋鷶?shù)語言轉(zhuǎn)化為幾何語言。另外，要能成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，還需要熟悉不同數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系，并能熟練地在不同數(shù)學(xué)語言之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，這需要依靠平時(shí)的語言互譯訓(xùn)練，并大力進(jìn)行數(shù)學(xué)模式的多元表征訓(xùn)練。

第8篇：勾股定理證明方法范文

為了使習(xí)題能更好地為教學(xué)服務(wù)，習(xí)題教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)新能力，不僅要啟發(fā)學(xué)生多角度思考，教給多種解題方法和技巧，還要以習(xí)題為出發(fā)點(diǎn)，要求學(xué)生對同類問題舉一反三，觸類旁通，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括、分析綜合、求異創(chuàng)新，從而達(dá)到提高學(xué)生思維能力的目的。

一、由典型到一般

一個(gè)典型習(xí)題，能反映同類問題的思維方法和解題技巧，以此拓展開去，發(fā)揮其舉一反三、觸類旁通的潛在功能，由一棵樹木，而看見整片森林。

例1 已知：如圖1，在ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，求AF、BD、CE的長。

此題就是一個(gè)特例，它的結(jié)論反映出一個(gè)較為一般的規(guī)律，但教師不宜將這個(gè)規(guī)律直接告訴學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，并抽象、概括出來。

分析：由題意結(jié)合圖形聯(lián)想到“切線長定理”，即“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等”，感知這一問題可轉(zhuǎn)化為方程組來解決。于是，設(shè)AF=x，BD=y，CE=z，得方程組

x+y=13 （1）

x+z=9 （2）

y+z=14 （3）

由（1）+（2）+（3）得2x+2y+2z=

36，則x+y+z=18 （4），再由（4）式分別減去（1）（2）（3）得z=5（cm），y=9（cm），x=4（cm）。至此，老師要提出以下幾個(gè)問題讓學(xué)生解答。

問題1：觀察2x+2y+2z=36中的數(shù)據(jù)，想一想36相當(dāng)于ABC的什么？（周長）

問題2：那么，18是36的多少？（1/2）意味著周長的多少？（一半）

問題3：x+y相當(dāng)于哪一條邊？是哪一個(gè)角的對邊？z是哪一個(gè)頂點(diǎn)引出的切線長？z是怎樣求出的？（（4）-（1），周長的一半減對邊）

問題4：y和x的求出是不是也符合以上結(jié)論？是不是所有這類問題的結(jié)論都有這種規(guī)律？（指導(dǎo)學(xué)生把題中的數(shù)據(jù)改為BC=a，AC=b，AB=c，將問題由特殊推向一般）

學(xué)生通過對各題結(jié)論的觀察、比較，不難概括出已知三角形的內(nèi)切圓，求某一頂點(diǎn)引出的切線長問題的基本規(guī)律：某一頂點(diǎn)引出的切線長等于三角形周長的一半減對邊。

得出以上基本規(guī)律后，再引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用、推廣，可讓學(xué)生解答如下問題：

問題1：解方程組：

x+y=13

x+z=9

y+z=14

問題2：已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊為3、4，求該直角三角形由直角頂點(diǎn)引出的切線長。

通過上述抽象概括、總結(jié)規(guī)律、推廣應(yīng)用等活動(dòng)，不但可以使學(xué)生弄清以上基本規(guī)律的來龍去脈，而且能使學(xué)生的思維創(chuàng)新能力得到發(fā)展。

二、結(jié)合階梯性綜合習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生深化習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的分析綜合能力

一切事物和周圍事物都有著有機(jī)的聯(lián)系，我們要啟發(fā)學(xué)生從事物的聯(lián)系上去分析問題，由表及里，深層次挖掘知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到使學(xué)生既掌握知識(shí)，又訓(xùn)練思維，并形成技能的目的。

例2已知：如圖2，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形，AN交CM于E，CN交BM于F，求證：①AN=BM，②CE=CF，③EF∥AB。

分析：此題可以與全等變換中的旋轉(zhuǎn)模型類比，找出證明途徑，即通過證ACN≌MCB，得①AN=BM；思考②時(shí)，可考慮證ACE≌MCF，因?yàn)橛辛薃C=MC，∠ACM=∠MCN，而∠CAN=∠CMB能由①中的ACN≌MCB得出，從而可由CE=CF及∠MCN=60°得CEF為等邊三角形，第③問也就迎刃而解。

再比如，例1中的學(xué)生解答之問題2：RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，它的內(nèi)切圓O分別與AC、BC、AB切于點(diǎn)E、F、D，①求證：四邊形ECFO為正方形，②求O的半徑。（如圖3）

所以，對習(xí)題作適當(dāng)?shù)囊?，提出漸進(jìn)式的多個(gè)問題，環(huán)環(huán)相扣，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)變能力的途徑之一。

三、結(jié)合可變性發(fā)散習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

數(shù)學(xué)各部分之間相互聯(lián)系，相互滲透。若能充分利用一題多解開展習(xí)題教學(xué)，不但可以加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，鞏固已學(xué)知識(shí)，而且能培養(yǎng)發(fā)散思維能力，擦燃思維火花，找到最佳解題技巧，收到事半功倍的效果。

例3 如圖4，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC。

通過作業(yè)交流，課堂討論等活動(dòng)分析小結(jié)得出：證法一，用勾股定理的逆定理證得∠ADB=90°之后，可又用勾股定理求出AC的長度，與AB的長度相比較，得出AB=AC；證法二，用勾股定理的逆定理證明∠ADB=90°之后，又可以通過證ADB≌ADC，得出AB=AC。

一題多解存在于很多的習(xí)題解答之中，如果我們的習(xí)題教學(xué)注重教育學(xué)生破除“為解題而解題”的思想，對持有創(chuàng)造性解法的學(xué)生給予表揚(yáng)，加以鼓勵(lì)，他們就能逐步養(yǎng)成從多角度觀察、思考問題、解決問題的習(xí)慣，從而發(fā)展立體思維和發(fā)散思維的能力。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，思維能力的提高，創(chuàng)新能力的發(fā)展，在課堂教學(xué)中大多是以習(xí)題為載體的。這就要求教師要善于引申和拓展課外習(xí)題，使學(xué)生通過獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程。

第9篇：勾股定理證明方法范文

類型一： 圖形折疊型動(dòng)手操作題

圖形折疊型動(dòng)手操作題，就是通過圖形的折疊來研究它的相關(guān)結(jié)論．

例1 （2012浙江省·衢州）課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請思考解決下列問題：

（1） 將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請給予證明.

（2） 在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進(jìn)行如下操作：

第一步： 沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2甲）；

第二步： 沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG（如圖2乙） .此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；

第三步： 沿直線DM折疊（如圖2丙），此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.

請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由.

（3） 不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝■，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.

【解析】

（1） 證明矩形ABEF長與寬之比為；

（2） 利用ABE≌AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為；

（3） 利用第（1）的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索.

解 （1） 是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：

矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，■=■

由對開的含義知：AF＝■BC

■=■=2g■=■=■

矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙.

（2） 是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：設(shè)AB＝CD＝a

由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a，DGEM

由圖形折疊可知：ABE≌AFE

∠DAE＝∠BAD＝45°

ADG是等腰直角三角形

在RtADG中，AD＝■=■

■=■=■

矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙

（3） 對開次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次第六次…周長2（1+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+…

第5次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：■

第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：■

【點(diǎn)評】 本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規(guī)律探索問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力．找規(guī)律的題目，應(yīng)以第一個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第一個(gè)圖形之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，從中找出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.

同步測試

（2012四川·內(nèi)江）如圖4，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D■處，則陰影部分圖形的周長為

A． 15 B． 20

C． 25 D． 30

【解析】 由折疊，知陰影部分圖形的周長＝EA■＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）＝AB＋AD＋BC＋CD＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30．

類型二： 圖形拼接型動(dòng)手操作題

圖形拼接問題，就是將已知的若干個(gè)圖形重新拼合成符合條件的新圖形．

例2 （2012四川·成都）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

第一步： 如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；

第二步： 如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；

第三步： 如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．

？搖？搖（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）

？搖？搖則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長的最小值為 cm，最大值為 cm．

【解析】 通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來矩形的邊AD=6，左右兩邊的長等于線段MN的長，當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長度最短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4，于是這個(gè)平行四邊形的周長的最小值為2（6+4）=20；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN最長，等于■=2■，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長最大，其值為2（6+）=12+2■）=12+4■.

答案： 20；12+4■.

【點(diǎn)評】 本題需要較好的空間想象能力和探究能力，解題時(shí)可以邊操作邊探究.將最終的四邊形的一周的線段分成長度不變的和可以變化的，然后研究變化的邊相關(guān)的邊的變化范圍，這是一種轉(zhuǎn)化思想.

類型三： 圖形分割型動(dòng)手操作題

圖形分割型動(dòng)手操作題就是按照要求把一個(gè)圖形先分割成若干塊，然后再把它們拼合一個(gè)符合條件的圖形．

例3 （2012廣安·中考試題）現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm.若把這個(gè)三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個(gè)四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對角線長的和.

思路導(dǎo)引： 動(dòng)手操作，注意分類討論，進(jìn)行長度計(jì)算問題，聯(lián)系平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分別對每一種情況進(jìn)行解答

【解析】 設(shè)AB=AC=x cm，則BC=（x+2）cm，根據(jù)題意得出x＋2＋2x=32，解得x=10.因此AB=AC=10cm，BC=12cm，過點(diǎn)A做ADBC于點(diǎn)D，

AB=AC，ADBC，BD=CD=6cm，AD=■=8cm，

可以拼成4種四邊形，如圖所示：圖（1）中兩條對角線之和是10＋10=20（cm），

圖（2）中兩條對角線之和是（2■+6）（cm），

圖（3）中，BO=■=■=2■

兩條對角線之和是（4■+8）（cm），

圖（4）中，SABC=■AC×BC=■AB×OC，所以O(shè)C■=■，

兩條對角線之和是■×2＋10=19.6（cm）；

【點(diǎn)評】：幾何圖形的有關(guān)剪切、拼接的動(dòng)手操作問題，往往多解，因此應(yīng)當(dāng)分類討論，分類個(gè)數(shù)根據(jù)得出的幾何圖形的判定方法以及性質(zhì)進(jìn)行，圖形的有關(guān)計(jì)算，往往聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)進(jìn)行.

類型四： 作圖型動(dòng)手操作題

作圖型動(dòng)手操作題，就是通過平移、對稱、旋轉(zhuǎn)或位似等變換作出已知圖形的變換圖形．

例4 （2012·山西）實(shí)踐與操作：如圖1是以正方形兩頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，畫兩段相等的圓弧而成的軸對稱圖形，圖2是以圖1為基本圖案經(jīng)過圖形變換拼成的一個(gè)中心對稱圖形．

（1） 請你仿照圖1，用兩段相等圓?。ㄐ∮诨虻扔诎雸A），在圖3中重新設(shè)計(jì)一個(gè)不同的軸對稱圖形．

（2） 以你在圖3中所畫的圖形為基本圖案，經(jīng)過圖形變換在圖4中拼成一個(gè)中心對稱圖形．

【解析】 解：（1）在圖3中設(shè)計(jì)出符合題目要求的圖形．？搖

（2） 在圖4中畫出符合題目要求的圖形．