高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性精選(九篇)

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第1篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

[關(guān)鍵詞]指數(shù)；冪；對(duì)數(shù)；大小比較

指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)指數(shù)y =ax（a>0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。y是因變量，函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）.注意：⒈指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。⒉指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。3.當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸；當(dāng)01時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0

比較指數(shù)的大小的方法主要有：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；（3）當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；（4）對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較（5）采用平移法，在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。 在f（x）后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。（6）采用數(shù)形結(jié)合的方法去比較。

比較數(shù)的大小在高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要地位，尤其在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之后冪與冪的比較，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的比較后更加突顯。因此尋找一種比較方法迫在眉睫，由特殊到一般的思想，尋找這兩類數(shù)的比較，冪的比較可以分為三大類：一為底數(shù)相同，指數(shù)不同；二為底數(shù)不同，指數(shù)相同；三為底數(shù)和指數(shù)都不相同。通常是指數(shù)和底數(shù)都限定在 到 之間的實(shí)數(shù)，針對(duì)第一類問題，我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)冪值的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，指數(shù)越大，值越大。當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，指數(shù)越大，值越小。對(duì)于第二類問題，可以引入中間橋梁“1”或是從圖像中觀察并得出結(jié)果。第三類問題的解決需要選擇適當(dāng)?shù)闹虚g變量來進(jìn)行比較，如 0.80.6與 0.60.8，需要尋找0.60.8 或是 0.80.6來作為中間量來進(jìn)行比較。

本文主要討論第二類問題，通過對(duì)冪的探究，得出了“冪的左異右同”，既不借助橋梁，又不借助函數(shù)圖像，直接得出判斷結(jié)果。左異是當(dāng)指數(shù)取值為 軸左邊的實(shí)數(shù)，即 ，當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，冪值反而小。當(dāng)?shù)讛?shù)越小時(shí)，冪值反而越大。左異因此而得名，右同是當(dāng)指數(shù)取值為 軸右邊的實(shí)數(shù)，即 。當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，冪值越大。當(dāng)?shù)讛?shù)越小時(shí)，冪值越小。右同因此而得名。這里的這里的左右分界線是y軸。

例如：比較 0.5-0.3與0.4-0.3 的大小。先畫圖像如下：

由圖像可知 ，0.5-0.3 0.4-0.3 ，由于-0.30，a≠1）的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=logax（a>0，a≠1）.，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?，+∞），所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)椋?∞，+∞）. 設(shè)y1=logax y2=logbx其中a>1，b>1（或01時(shí)“底大圖低”即若a>b則y1>y2（2）當(dāng)0y2。比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有：（1）若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.（2）若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.（3）若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.（4）若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較。 同樣地，對(duì)于對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的比較，同樣可以分為三類：一為對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同；二為對(duì)數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)相同；三為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不同。對(duì)于第一類問題，當(dāng)a >1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（x>0） 隨著 x的增大而增大，當(dāng)x

從圖像可知，log0.5 0.6 > log0.3 0.6， log0.5 6 log0.3 0.6。log0.5 6 與log0.3 6 的真數(shù)都是6，因?yàn)?6>1，所以是右異，底數(shù)越大，則對(duì)數(shù)值反而小.因?yàn)?.3 0，a≠1，b≠1）試比較ax 與bx 的大小。

解：對(duì)ax 與bx分別取自然對(duì)數(shù)可得xln a 和 xln b

xln a - xln b=x（xln a -xln b） = xlnbA

a>b>0， ab>1 則ln ab>0

當(dāng) X≧0時(shí)，有 xlnbA ≧0，則 ax ≧bx

第2篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

摘 要： 抽象函數(shù)集函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性和圖像等性質(zhì)于一身，題型豐富多樣，方法靈活巧妙，是高考的常客.學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感覺無從下手，思路受阻，尤其是高一新生，答題正確率很低.作者就抽象函數(shù)這類問題，根據(jù)高一學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，談?wù)剬?duì)抽象函數(shù)的看法.

關(guān)鍵詞： 抽象函數(shù) 高一新生 函數(shù)性質(zhì)

對(duì)于剛剛步入高中的新生而言，在各科學(xué)習(xí)中，以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為最難，而數(shù)學(xué)中又以函數(shù)為最難，而函數(shù)中又以抽象函數(shù)最為難.學(xué)生普遍感覺抽象函數(shù)實(shí)在是太“抽象”了，無法捕捉住它的性質(zhì)和特點(diǎn)規(guī)律，解題是往往會(huì)感覺無從下手，障礙重重.本文將從七個(gè)方面對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行分析，概括高一階段對(duì)常考的抽象函數(shù)的一些基本性質(zhì)和基本題型.

一、定義域

解決抽象函數(shù)的定義域問題，一定要明確定義域的含義，通常采用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法予以解決.

例1：若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)椋繐u？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?，1），所以x+1整體的范圍也為（0，1），從而x∈（-1，0），所以函數(shù)f（x++1）的定義域?yàn)椋?1，0）.

例2：若函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

分析：因?yàn)閒（x+1）的定義域?yàn)椋?，1），所以x+1整體的范圍也為（1，2），所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2）.

二、值域

解決抽象函數(shù)的值域問題，通常抓住函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則，進(jìn)而確定值域，有時(shí)也可借助圖像的平行移動(dòng)進(jìn)行分析.

例3：若函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)?？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：（法1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的x與函數(shù)f（x+1）的x+1的范圍是一樣的，且對(duì)應(yīng)法則也相同，所以函數(shù)f（x+1）的值域也是（0，1）.

（法2）將f（x）的函數(shù)圖像水平向左移動(dòng)1個(gè)單位，會(huì)得到函數(shù)f（x+1）的圖像，因此函數(shù)的值域相同.

三、解析式

觀察條件中變量的形式，尋找關(guān)聯(lián)性，采用賦值等形式建立方程組，從而解出解析式.

例4：若函數(shù)f（x）滿足：f（x）+2f（■）=x，則函數(shù)f（x）的解析式為？搖？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖.

分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程組

f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.

四、利用某些函數(shù)為背景，類比遷移

某些抽象函數(shù)可以尋找出相應(yīng)的初等函數(shù)作為背景，從而起到啟發(fā)思維的作用，進(jìn)而成功地解決函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).

冪函數(shù)：f（xy）=f（x）f（y） 正比例函數(shù)：f（x+y）=f（x）+f（y）

指數(shù)函數(shù)：f（x+y）=f（x）+f（y） 對(duì)數(shù)函數(shù)：f（xy）=f（x）+f（y）

例5：若函數(shù)f（x）滿足以下條件：①當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0；②對(duì)任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析：（這類抽象函數(shù)，可以用正比例函數(shù)為背景，如f（x）=x，啟發(fā)思維.）

任取x■，x■∈R，且x■

因?yàn)閤■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）

五、對(duì)稱性、周期性

1.對(duì)稱性重要結(jié)論

（1）y=f（-x）與y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

（2）y=-f（x）與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

（3）y=-f（-x）與y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=m對(duì)稱；

（5）若f（a+x）=f（b-x），對(duì)任意x∈R恒成立，則y=f（x）的圖像關(guān)于x=■對(duì)稱.

2.周期性重要結(jié)論

（1）對(duì)于非零常數(shù)A，若函數(shù)y=f（x）滿足f（x+A）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）必有一個(gè)周期為2A；

（2）對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)y=f（x）滿足f（x+A）=±■，則函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期為2A；

（3）函數(shù)y=f（x）有兩根對(duì)稱軸x=a，x=b時(shí)，那么該函數(shù)必是周期函數(shù)，T=2|a-b|.

高一數(shù)學(xué)教材知識(shí)量比起初中明顯增加，理論性明顯增強(qiáng)，尤其是抽象函數(shù)內(nèi)容，對(duì)理解要求很高，不動(dòng)一番腦子，就難以掌握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別.所以，對(duì)于高一新生而言，在學(xué)習(xí)這一塊內(nèi)容時(shí)，一定要多學(xué)多練多想多問，這樣，才能更好地掌握抽象函數(shù)的常見性質(zhì)及基本解題思路和方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡親鵬.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江：浙江大學(xué)出版社，2008.10.01.

第3篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

一、應(yīng)用遞推公式引出隱含條件

在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性這一章節(jié)時(shí),有時(shí)會(huì)涉及到題目的條件比較隱蔽,直接應(yīng)用,往往不能一步到位。因此,必須采取相應(yīng)地變化手段來揭示題中的隱含條件。

例1.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-2)=-f(x),在[0,1]上的解析式為f(x)=■,求f(5π)的值。

分析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,1]上有解析式,x=5π不在函數(shù)的定義區(qū)間上,因此無法代入求值,而這奇函數(shù)的性質(zhì)看上去又起不到多少作用,所以我們?cè)O(shè)想變化一步由f(x-2)=-f(x)的整體圖象向左平移2個(gè)單位就可以得到這樣的一個(gè)等量關(guān)系f(x)=-f(x+2),所以就有等式f(x-2)=f(x+2)得到函數(shù)的周期性。從而可以解決問題。

解:由已知條件f(x-2)=-f(x)知,用 x+2去替換x,得f(x)=-f(x+2),因此得到 f(x-2)=f(x+2)。所以函數(shù)f(x)的周期為T=4。

因此f(5π)=f(5π-16),又5π-16∈[-1,0]是在[0,1]的對(duì)稱區(qū)間上,又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù),所以,f(5π-16)=-f(6-5π),而5π-16∈[-1,0],因此16-5π∈[0,1]。

所以f(5π)=f(5π-16)=-f(16-5π)=-■=■。

本題通過式子的遞推變換,導(dǎo)出等式 f(x-2)=f(x+2),從而得出函數(shù)的隱含條件周期性,即周期為4。從而結(jié)合函數(shù)的奇偶性把f(5π)轉(zhuǎn)化為f(6-5π)使得函數(shù)在有解析式的范圍內(nèi)求解。

二、應(yīng)用特殊值法尋求隱含條件

仍然在函數(shù)的奇偶性這一章節(jié)中,所給出的條件看上去與例1非常相似但在解題過程中,發(fā)現(xiàn)情況定全不同,請(qǐng)看下例。

例2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x)+f(2),f(1)=■,求f(5)的值。

分析:由已知條件可以得到f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2),這里f(1)已知,而f(2)未知,也沒有明顯的等量關(guān)系。而題中奇函數(shù)這一條件又好像是多余的條件,如何我們重新審視等量關(guān)系式,變式可得f(2)=f(x+2)-f(x)。給x賦予特殊值,從而就能通過奇函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

解:因?yàn)閒(x+2)=f(x)+f(2),所以f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2),

又令x=-1時(shí),f(2-1)=f(-1)+f(2),f(2)=f(1)-f(-1),根據(jù)f(x)是奇函數(shù),

所以f(-1)=-f(1),從而得到f(2)=2f(1)=2×■=1。

因此,f(5)=f(1)+2f(2)=■+2×1=■

本例通過特殊值x=-1的代入,等式的一部分出現(xiàn)隱含條件f(1)=f(-1)+f(2)奇函數(shù)的關(guān)系,通過奇函數(shù)f(-1)=-f(1)的性質(zhì),求出關(guān)鍵值f(2),從而由f(5)=f(1)+2f(2)求出f(5)的值。

三、從已知信息中探求隱含條件

在函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中,最常見的隱含條件是函數(shù)的定義域,而學(xué)生在解題過程中往往最容易忽略的就是函數(shù)的定義域。所以在涉及到函數(shù)的性質(zhì)問題時(shí),必須強(qiáng)調(diào)定義域優(yōu)先原則,即優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。

例3.已知函數(shù)f(x)=loga(2-ax)是在[0,1]上的減函數(shù),求a的取值范圍。

分析與解答:a是對(duì)數(shù)的底數(shù),所以a>0,a≠1,設(shè)g(x)=2-ax,則g(x)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)。

設(shè)u=2-ax,由于f(x)=1oga(2-ax)是區(qū)間[0,1]上的減函數(shù),所以logau是增函數(shù),故a>1。

還要使2-ax>0在區(qū)間[0,1]上總成立,即g(x)在區(qū)間[0,1]上總成立,由于g(x)是減函數(shù),x=1時(shí),g(x)有最小值。只要g(1)>0,即2-a>0,得a

所以a∈(1,2)。

本題由對(duì)數(shù)底數(shù)a的條件入手,不斷延伸與拓展,從而得出一次函數(shù)g(x)=2-ax的單調(diào)性,又從復(fù)合函數(shù)logau的單調(diào)性,進(jìn)一步落實(shí)a的準(zhǔn)確范圍,再通過函數(shù)的定義域g(x)>0,只要得出g(x)的最小值是正數(shù)時(shí),那么對(duì)所有g(shù)(x)的值都滿足。因此,從g(1)>0找出a

在高一數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中,揭示題目中隱含條件是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重大突破。是從初中數(shù)學(xué)過渡到高中數(shù)學(xué)的思維的躍升。

第4篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

對(duì)高一新生來講，學(xué)習(xí)環(huán)境是全新的，新教材、新同學(xué)、新教師、新集體，學(xué)生需要有一個(gè)由陌生到熟悉的適應(yīng)過程。另外，經(jīng)過緊張的中考復(fù)習(xí)，考取了自己理想中的高中，必有些學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“松口氣”的想法，入學(xué)后無緊迫感。也有些學(xué)生有畏懼心理，他們?cè)谌雽W(xué)前就耳聞高中數(shù)學(xué)很難學(xué)，高中數(shù)學(xué)課一開始也確有些難理解的抽象概念，如映射、集合等，使他們從開始就處于被動(dòng)局面。

二、課時(shí)的變化

在初中，由于內(nèi)容少，題型簡單，課時(shí)較充足。因此課容量小，進(jìn)度慢，對(duì)重難點(diǎn)內(nèi)容均有充足時(shí)間反復(fù)強(qiáng)調(diào)，對(duì)各類習(xí)題的解法，教師有足夠的時(shí)間進(jìn)行舉例示范，學(xué)生也有足夠的時(shí)間進(jìn)行鞏固。而到高中，由于知識(shí)點(diǎn)增多，靈活性加大，課時(shí)(自習(xí)輔導(dǎo)課)減少，課容量增大，進(jìn)度加快，對(duì)重難點(diǎn)內(nèi)容沒有更多的時(shí)間強(qiáng)調(diào)，對(duì)各類題型也不可能講全講細(xì)以及鞏固強(qiáng)化。這也使高一新生開始不適應(yīng)高中學(xué)習(xí)而影響成績的提高。

三、教學(xué)內(nèi)容的銜接

首先，初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容通俗具體，多為常量，題型少且簡單；而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，多研究變量、字母，不僅注重計(jì)算，而且還注重理論分析，與初中數(shù)學(xué)相比增加了難度。其次，由于近幾年教材內(nèi)容的調(diào)整，雖然初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中階段由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，便造成了高中數(shù)學(xué)實(shí)際難度沒有降低的現(xiàn)實(shí)。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。此外相對(duì)初中數(shù)學(xué)所富有“生活趣味” 來講，高中數(shù)學(xué)則更有“數(shù)學(xué)味”。高中數(shù)學(xué)第一章就是集合、簡易邏輯等知識(shí)，緊接著就是函數(shù)問題。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個(gè)難點(diǎn)，立體幾何對(duì)空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格，論證要求又高。初中刪減的內(nèi)容都需要在高中階段補(bǔ)充上，因而增加了高中學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，這些都是升入高中后學(xué)生數(shù)學(xué)成績下降的客觀原因。

四、教學(xué)方法的銜接

初、高中教學(xué)方法上的差異也是高一新生成績下降的一個(gè)重要原因。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視直觀、形象教學(xué)，每學(xué)習(xí)一道例題，都要進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生板演的機(jī)會(huì)較多。

一些重點(diǎn)題目學(xué)生可以反復(fù)練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果。而高中數(shù)學(xué)教學(xué)則更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下工夫。高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)往往采用粗線條模式，為學(xué)生構(gòu)建一定的知識(shí)框架，講授一些典型 例題，以落實(shí)“三基”培養(yǎng)能力。 剛進(jìn)入高中的學(xué)生不容易適應(yīng)這種教學(xué)方法．聽課時(shí)存在思維障礙，難以適應(yīng)快速的教學(xué)推進(jìn)速度，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，影響學(xué)習(xí)成績。因此，新高一數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的講授，盡量以形象、直觀的方式講解抽象的數(shù)學(xué)慨念。 中國論比如講映射時(shí)可舉“某班5O名學(xué)生安排到50張單人課桌的分配方法” 等直觀例子，為引入映射概念創(chuàng)造階梯。由于初中學(xué)生尚未形成嚴(yán)格的論證能力，所以在高一證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)可進(jìn)行系列訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)行板演，從而及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。又比如在《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 的教學(xué)中，可以從學(xué)生初中所學(xué)過的“二次函數(shù)的圖像是拋物線”入手，利用學(xué)生的已有的知識(shí)存量，引導(dǎo)學(xué)生找到聯(lián)系與區(qū)別，這樣便于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解。 通過上述方法，能夠降低教材難度，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。

五、學(xué)習(xí)方法的銜接

第5篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)教學(xué)；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；銜接；教師

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-0078

升入高中，往往有很多學(xué)生不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)懷有恐懼感。高一階段反映高中數(shù)學(xué)難學(xué)、學(xué)起來吃力的學(xué)生不在少數(shù)；學(xué)得似懂非懂、不能消化的學(xué)生大有人在；在小學(xué)、初中階段數(shù)學(xué)成績優(yōu)異，進(jìn)入高中后成績不理想的學(xué)生，也不乏其數(shù)。以前游刃有余、引以為豪的數(shù)學(xué)，一下子變成了攔路老虎，形成較大落差。課堂上跟不上教師的進(jìn)度，課后達(dá)不到自己的期望，種種的不適應(yīng)嚴(yán)重打擊了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心和積極性。如不及時(shí)加以引導(dǎo)，會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)成績的整體滑坡，甚至影響學(xué)生的一生。因此，高一數(shù)學(xué)教師應(yīng)特別關(guān)注初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。

高中數(shù)學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，有著顯著的變化。一是數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。初中數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運(yùn)算語言、函數(shù)語言、圖像語言等。二是思維方法向理性層次躍遷。高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個(gè)原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段很多教師將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢(shì)方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語言抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。三是知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)內(nèi)容的“量”急劇增加了，單位時(shí)間內(nèi)接受知識(shí)信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)減少了。四是知識(shí)的獨(dú)立性更強(qiáng)。初中知識(shí)的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，給我們的學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因?yàn)樗阌谟洃?，又適合于知識(shí)的提取和使用。但高中的數(shù)學(xué)卻不同了，它是由幾塊相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)拼合而成（如高一有集合、命題、不等式、函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)和對(duì)數(shù)方程、三角比、三角函數(shù)、數(shù)列等），經(jīng)常是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)剛學(xué)得有點(diǎn)入門，馬上又有新的知識(shí)出現(xiàn)。因此，注意它們內(nèi)部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時(shí)必須花力氣的著力點(diǎn)。

針對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和高一學(xué)生的思維特點(diǎn)，筆者就如何幫助學(xué)生完成初、高中數(shù)學(xué)銜接這一問題，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了一些摸索和總結(jié)。以下提出幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)，僅供大家參考。

一、抓“重點(diǎn)”

所謂抓“重點(diǎn)”，就是對(duì)每一知識(shí)點(diǎn)都要突出它的重點(diǎn)，甚至提煉精髓，幫助學(xué)生更好、更深刻地理解和掌握。隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)教材發(fā)生了很大的變化，高中數(shù)學(xué)新課程恰當(dāng)精簡了傳統(tǒng)課程的內(nèi)容，更新了知識(shí)和教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)靈活性和綜合性，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用。但是我們不能否認(rèn)，初高中教材的銜接不是非常緊密。以前初中教材中十分重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，如因式分解、代數(shù)公式、一元二次方程、指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、二次函數(shù)、十字相乘法、配方法、待定系數(shù)法等在現(xiàn)行的初中教材中已經(jīng)淡化。而像三角形的全等和相似在高中有所淡化?？墒牵诟咭唤滩闹斜仨氂玫竭@些知識(shí)，并且對(duì)學(xué)生的要求很高，這就形成了一個(gè)知識(shí)上的落差。與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)對(duì)概念、定義、定理、公式、公理的理解與運(yùn)用的要求更高，所以教師應(yīng)該在教授新知時(shí)提煉知識(shí)精髓，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)。如在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時(shí)，可從三種語言的角度來讓學(xué)生體會(huì)單調(diào)性的重點(diǎn)，自然語言“隨著自變量x的增加因變量y也增加”，圖形語言“從左向右圖像逐漸上升”，數(shù)學(xué)語言“當(dāng)時(shí)，若f（x1） < f（x2）”，則函數(shù)是增函數(shù)。再如必修二中的線線平行、線面平行、面面平行的證明，可提煉三者的關(guān)系，并強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵在找平行，而現(xiàn)有的找平行的方法只限于三角形中位線、平行四邊形、對(duì)應(yīng)邊成比例等，這樣就可使學(xué)生降低恐懼感，過好“入門關(guān)”。如能先對(duì)知識(shí)點(diǎn)有一個(gè)整體把握，就能在一定程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)高一數(shù)學(xué)的臺(tái)階。

二、巧“引導(dǎo)”

高中數(shù)學(xué)教材采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，因此，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想一般可分為兩步進(jìn)行：一是揭示數(shù)學(xué)思想內(nèi)容規(guī)律，即將數(shù)學(xué)對(duì)象具有的屬性或關(guān)系抽取出來，二是明確數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)的聯(lián)系，抽取解決全體的框架。但這對(duì)高一新生來講確實(shí)困難較大。因此，在教學(xué)中，應(yīng)從高一學(xué)生實(shí)際出發(fā)，采取“低起點(diǎn)、小梯度、巧引導(dǎo)、多訓(xùn)練”的方法，將教學(xué)目標(biāo)分解成若干遞進(jìn)層次逐層落實(shí)。在速度上，放慢起始進(jìn)度，逐步加快教學(xué)節(jié)奏。在知識(shí)導(dǎo)入上，多由實(shí)例和已知引入。在難點(diǎn)知識(shí)講解上，從學(xué)生理解和掌握的實(shí)際出發(fā)，對(duì)教材作必要層次處理和知識(shí)鋪墊，并對(duì)知識(shí)的理解要點(diǎn)和應(yīng)用注意點(diǎn)作必要總結(jié)及舉例說明，簡要概括。如學(xué)習(xí)必修Ⅱ公理三時(shí)，可把書本上的抽象概念，用具體模型概括為“公共點(diǎn)在公共棱上”，這樣便于學(xué)生在證明點(diǎn)共線問題和線共點(diǎn)問題上尋找恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)平面。又如，在學(xué)習(xí)線面平行的判定定理時(shí)，可使教學(xué)設(shè)計(jì)多樣化，讓學(xué)生既有感官上的認(rèn)識(shí)，又有動(dòng)手實(shí)踐的體會(huì)，還有理論上的概括，三位一體引導(dǎo)學(xué)生理解基本模型。這樣可使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)從懂的層次進(jìn)入會(huì)的層次。除了在教法上注重引導(dǎo)，還應(yīng)加強(qiáng)學(xué)法的引導(dǎo)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)要把對(duì)學(xué)生加強(qiáng)學(xué)法引導(dǎo)作為教學(xué)的重要任務(wù)之一。以培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力為重點(diǎn)，狠抓學(xué)習(xí)基本環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生“怎樣預(yù)習(xí)”“怎樣聽課”“怎樣處理習(xí)題”等。

三、重“主體”

在教學(xué)過程中，教師是主導(dǎo)，學(xué)生才是主體。教師一定要注意一切從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，千萬不能越俎代庖、先入為主。中國古代教育家孔子曾說：“不憤不啟，不悱不發(fā)。舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也。”意思是說，一個(gè)人不到他傾全力去嘗試了解事理，但卻仍然想不透的程度，我是不會(huì)去啟示他的。不到他盡全力想要表達(dá)其內(nèi)心的想法，卻想不到合適言詞的程度，我是不會(huì)去開導(dǎo)他的。如果學(xué)生不能舉一反三、觸類旁通，教師再怎么教也是無濟(jì)于事的。匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”。波利亞認(rèn)為教師在學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)中，僅僅是“助產(chǎn)士”，他的主導(dǎo)作用在于引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西；引導(dǎo)學(xué)生積極地參與提出問題、解決問題。他認(rèn)為科學(xué)的提出問題需要更多的洞察力和創(chuàng)造性，而學(xué)生一旦提出了問題，那么他們解決問題的注意力更集中，主動(dòng)性會(huì)更強(qiáng)烈。因此，教師的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

在以學(xué)生為主體的教學(xué)中還應(yīng)注意，課堂回答問題活躍不等于思維活躍，不等于教學(xué)設(shè)計(jì)合理，還要看是否存在為活動(dòng)而活動(dòng)的傾向，是否適用于所有學(xué)生等問題。教師必須圍繞教學(xué)目的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)水平精心設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生積極有效的思維，從而保持課堂張力。設(shè)法由學(xué)生自己提出問題，然后再將學(xué)生的思考引向深入。學(xué)生只有經(jīng)過思考，教學(xué)內(nèi)容才能真正進(jìn)入他們的頭腦，否則容易造成學(xué)生對(duì)教師的依賴，不利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和新方法的形成。有時(shí)，我們?cè)谏险n、評(píng)卷、答疑解難時(shí)，自以為講清楚明白了，學(xué)生受到了一定的啟發(fā)，但思考后發(fā)現(xiàn)，自己的講解并沒有很好地針對(duì)學(xué)生原有的知識(shí)水平，從根本上解決學(xué)生存在的問題，只是一味地想要他們按照某個(gè)固定的程序去解決某一類問題，學(xué)生當(dāng)時(shí)也許明白了，但并沒有理解問題本質(zhì)性的東西。還有，教師在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情時(shí)，也應(yīng)妥善地加以管理，使課堂教學(xué)秩序有利于教師“教”和學(xué)生的“學(xué)”，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽，并加強(qiáng)學(xué)生合理表達(dá)自己觀點(diǎn)的訓(xùn)練。

四、善“反思”

某一項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容完成后，教師要及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反思。要根據(jù)學(xué)生反饋的信息，思考“出現(xiàn)這樣的問題，如何調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，采取怎樣有效的策略與措施，需要在哪方面進(jìn)行補(bǔ)充”，從而順著學(xué)生的思路組織教學(xué)，確保教學(xué)過程沿著最佳的軌道運(yùn)行，這種思考能使教學(xué)高質(zhì)高效地進(jìn)行。

第6篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

一、導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在障礙的原因

1、初中與高中知識(shí)不能有效鏈接。初中教材偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算,缺少對(duì)概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全,如函數(shù)的定義,三角函數(shù)的定義就是如此;對(duì)不少數(shù)學(xué)定理沒有嚴(yán)格論證,或用公理形式給出而回避了證明,比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的;教材坡度較緩,直觀性強(qiáng),對(duì)每一個(gè)概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代數(shù)知識(shí),緊接著就是函數(shù)的分類問題。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個(gè)難點(diǎn)。教材概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格,論證要求又高,高一新生學(xué)起來相當(dāng)困難。此外內(nèi)容也多,每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)。

2、初中與教師的教學(xué)方法有很大差異。初中教師重視直觀、形象教學(xué),老師每講完一道例題后,都要布置相應(yīng)的練習(xí),學(xué)生到黑板表演的機(jī)會(huì)相當(dāng)多。為了提高合格率,不少初中教師把題型分類,讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三,重點(diǎn)題目反復(fù)做過多次,而高中教師在授課時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法,注重舉一反三,在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán),教高一課程的教師剛帶完高三,他們往往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的難度來對(duì)待高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距,中間又缺乏過渡過程,致使高一學(xué)生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。

3、在學(xué)習(xí)方法上,初中與高中有很大不同。高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課注意聽講,盡力完成老師布置的作業(yè),但課堂上滿足于聽,沒有做筆記的習(xí)慣,缺乏積極思維;遇到難題不是動(dòng)腦子思考,而是希望老師講解整個(gè)解題過程;不會(huì)科學(xué)地安排時(shí)間,缺乏自學(xué)、看書的能力,還有些學(xué)生考上了高中后,認(rèn)為可以松口氣了,放松了對(duì)自己的要求。

4、部分初中生沒有很好的掌握系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。對(duì)比初中數(shù)學(xué),高中數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的邏輯性、系統(tǒng)性更強(qiáng)。首先表現(xiàn)在教材知識(shí)的銜接上,前面所學(xué)的知識(shí)往往是后邊學(xué)習(xí)的基礎(chǔ);其次還表現(xiàn)在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的技能技巧上,新的技能技巧形成都必須借助于已有的技能技巧。因此如果學(xué)生對(duì)前面所學(xué)的內(nèi)容達(dá)不到規(guī)定的要求,不能及時(shí)掌握知識(shí)形成技能,就造成了連續(xù)學(xué)習(xí)過程中的薄弱環(huán)節(jié),跟不上集體學(xué)習(xí)的進(jìn)程,導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績兩極分化。

5、初中與高中的數(shù)學(xué)思維方式不相同。高二階段是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兩極分化最明顯的階段,一個(gè)重要原因是高中階段數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生抽象邏輯思維能力要求有明顯提高,而高二學(xué)生正處于由直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主過渡的又一個(gè)關(guān)鍵期,沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式,而且學(xué)生個(gè)體差異也比較大,有的抽象邏輯思維能力發(fā)展快一些,有的則慢一些,因此表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)接受能力的差異。教師沒有根據(jù)學(xué)生的實(shí)際和教學(xué)要求去組織教學(xué)活動(dòng),指導(dǎo)學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法,促進(jìn)學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展,提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)適應(yīng)性。

二、解決方法

1、提高教師隊(duì)伍素質(zhì),制訂相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃。高中教師應(yīng)聽初中數(shù)學(xué)課,了解初中教師的授課特點(diǎn)。開學(xué)初,要通過摸底測(cè)驗(yàn)和開學(xué)生座談會(huì),了解學(xué)生掌握知識(shí)的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清三個(gè)底(初中知識(shí)體系,初中教師授課特點(diǎn),學(xué)生狀況)的前提下,根據(jù)高一教材和大綱,制訂出相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)計(jì)劃,確定應(yīng)采取的教學(xué)方法,做到有的放矢。

2、針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)降低難度,注重教學(xué)內(nèi)容和方法的銜接。高一課時(shí)數(shù)量要增加基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué),教學(xué)時(shí)注意形象、直觀。由于高一學(xué)生缺乏嚴(yán)格的論證能力,所以證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)可進(jìn)行系列訓(xùn)練,開始時(shí)可搞模仿性的證明。要增加學(xué)生到黑板上演練的次數(shù),從而及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,章節(jié)考試難度不能大,降低教材難度,提高學(xué)生的可接受性,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心,讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。

3、打牢學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),改正學(xué)生不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)伊始,教師應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)的五大環(huán)節(jié)提出具體可行要求。如:作業(yè)的規(guī)范化,獨(dú)立完成,訂正錯(cuò)題等。對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的弊病,應(yīng)限期改正。嚴(yán)格要求貴在持之以恒,貫穿在學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程,成為學(xué)生的習(xí)慣。考試的密度要增加,用以督促、檢查、鞏固所學(xué)知識(shí)。

第7篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

【關(guān)鍵詞】高一數(shù)學(xué) 教學(xué)策略 探究教學(xué) 數(shù)學(xué)史 數(shù)形結(jié)合 學(xué)困生轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）01B-0135-03

完高一的第一感覺是：學(xué)生把數(shù)學(xué)當(dāng)成了“猛虎”。作為高一的數(shù)學(xué)教師收到的投訴是所有學(xué)科中最多的。學(xué)生覺得高中和初中的知識(shí)跨度大，學(xué)習(xí)難度大，老師的講課速度相對(duì)于他們的理解能力來說太快，回家哭訴的有，討厭老師的有，說要放棄的更有。那么，作為承上啟下的高一數(shù)學(xué)教學(xué)者，面對(duì)如此的情況應(yīng)該注意什么呢？以下是筆者一些不太成熟的想法，供同行一起探討。

一、注重初高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的銜接

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，初步分析發(fā)現(xiàn)有以下顯著特點(diǎn)：從直觀到抽象，從單一到復(fù)雜，從淺顯至深入，從定量到定性。必修1一來就是集合與函數(shù)，教材一開始就引入了大量的符號(hào)和字母，對(duì)學(xué)生的抽象、概括和數(shù)學(xué)符號(hào)的理解力有很大的要求，很多題目都涉及分類討論，對(duì)學(xué)生的邏輯和嚴(yán)謹(jǐn)性提出了挑戰(zhàn)。比如：“集合集合 ， 若 ，求 a 的取值范圍?！睂W(xué)生對(duì)此題中集合 B 是否為空集常忘了討論，對(duì)于包含關(guān)系下什么時(shí)候取等號(hào)常常搞不清楚。為了解決這樣的問題，教師要不停地變化條件讓學(xué)生來做題和體會(huì)，才能慢慢地讓學(xué)生掌握此類內(nèi)容。因此，教授集合時(shí)要從一開始就耐心細(xì)致地引導(dǎo)，放低臺(tái)階，放慢腳步，讓學(xué)生習(xí)慣數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)和書寫，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)符號(hào)代替自然語言的描述習(xí)慣，并學(xué)會(huì)將抽象的符號(hào)和直觀的圖形相結(jié)合進(jìn)行理解和學(xué)習(xí)。

高一開始時(shí)，在適當(dāng)放慢進(jìn)度，降低難度的同時(shí)，在新課的引入中，要盡量從初中的角度切入，注意新舊對(duì)比，前后聯(lián)系。比如，函數(shù)的引入可以從初中熟悉的一次函數(shù) y=x，二次函數(shù) y=x2，反比例函數(shù) 著手。這要求教師必須熟悉初中數(shù)學(xué)教材和課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)初中數(shù)學(xué)概念和知識(shí)的要求，把高中教材研究的問題與初中教材研究的問題在文字表述、研究方法、思維特點(diǎn)等方面進(jìn)行對(duì)比，明確新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與差異，然后在講授高中數(shù)學(xué)時(shí)，在復(fù)習(xí)初中內(nèi)容的基礎(chǔ)上引入新內(nèi)容。高一數(shù)學(xué)的每一節(jié)內(nèi)容都是在初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，故在引入新知識(shí)、新概念時(shí)，注意舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，用學(xué)生已熟悉的知識(shí)做鋪墊和引入。如講任意角的三角函數(shù)時(shí)，要先復(fù)習(xí)初三學(xué)過的銳角三角函數(shù)的概念，進(jìn)而提出任意角的三角函數(shù)概念，從而引入坐標(biāo)定義法。教師在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生以舊知識(shí)同化新知識(shí)，使學(xué)生掌握新知識(shí)，順利達(dá)到知識(shí)的遷移，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、注重?cái)?shù)學(xué)史教學(xué)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》關(guān)于課程的基本理念中，明確指出要“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)?shù)胤从硵?shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，提出設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。由此可見，新課標(biāo)理念下把數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的載體有多么重要的作用。幾乎所有學(xué)科都強(qiáng)調(diào)“興趣是最好的老師”，在調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性方面，筆者發(fā)現(xiàn)通過講一講數(shù)學(xué)家的一些小故事帶來的效果不錯(cuò)，比如，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾，從小游手好閑，偶遇一次街頭數(shù)學(xué)問題懸賞解答，強(qiáng)烈的興趣使他對(duì)數(shù)學(xué)入迷，此時(shí)他已經(jīng)近二十歲。數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題也對(duì)學(xué)生有相當(dāng)大的吸引力，比如，歐拉研究的七橋問題，阿基米德的分牛問題，等等，都是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的好素材。

筆者在高一第一節(jié)《集合的概念和表示方法》給學(xué)生講了集合的創(chuàng)始人―― 康托爾，學(xué)生感嘆他的英俊養(yǎng)眼同時(shí)，也記得了他的“連續(xù)統(tǒng)”假設(shè)（CH，Continuum Hypothesis）―― 在自然數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間存在不存在一種“集合”，其元素比實(shí)數(shù)集合少一些，但是，卻又比自然數(shù)集合多一些？學(xué)生的眼球一下被吸引住了，他們會(huì)思考，無窮多的數(shù)如何比較大小呢？在講授必修1第二章《函數(shù)的概念》時(shí)，筆者給學(xué)生講了函數(shù)的由來，從萊布尼茨對(duì)“function”函數(shù)一詞的提出，到貝努利認(rèn)為函數(shù)是必須有表達(dá)式，到歐拉認(rèn)為圖形也可以表示為函數(shù)，再到柯西提出“自變量”一詞，完善到與課本接近的概念，最后到德國數(shù)學(xué)家狄利克雷對(duì)函數(shù)一詞本質(zhì)的理解。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)不斷補(bǔ)充和發(fā)展的過程，認(rèn)識(shí)這些知名的數(shù)學(xué)家，并且對(duì)課本為何在函數(shù)概念前放 3 個(gè)不同的列子作了很好的詮釋。

在高一教學(xué)中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容還有很多，筆者大概做了以下的歸類：

筆者在數(shù)學(xué)史這方面的知識(shí)儲(chǔ)備相對(duì)來說很少，視野也不夠開闊。筆者查了一些圖書資料，覺得有兩本書值得推薦，即李文林的《數(shù)學(xué)史概論》和美國數(shù)學(xué)家克來茵的《古今數(shù)學(xué)思想》，大家可以去看看。

三、合理選擇探究教學(xué)形式

高中階段的教學(xué)模式應(yīng)該多元化，但其主要手段莫過于“啟發(fā)式”“探究式”“灌輸式”教學(xué)。對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)上由探究學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)兩部分組成，這二者除了獲取知識(shí)的途徑不同之外，還主要存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的思維活躍程度上的差異。筆者用 venn 圖表示兩者間的關(guān)系如下：

這是否說明探究式教學(xué)明顯高于傳統(tǒng)的接受式教學(xué)呢？答案是否定的。其實(shí)很多基礎(chǔ)性的對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維要求不高的知識(shí)內(nèi)容，采用傳統(tǒng)的接受式教學(xué)方式更容易使學(xué)生掌握。啟發(fā)式和探究式教學(xué)對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和能力都有很高的要求，探究的數(shù)學(xué)問題在具有必要性和可行性的前提下才能實(shí)施。因此對(duì)什么知識(shí)點(diǎn)用什么樣的手段，老師要仔細(xì)考慮清楚，切不可將探究流于表面的形式，更多的要上升到內(nèi)部的數(shù)學(xué)思維操作上，積極引導(dǎo)學(xué)生做出進(jìn)一步的探究思考，從而努力實(shí)現(xiàn)向更高層次過渡。

例如，在一節(jié)關(guān)于等差數(shù)列概念及其性質(zhì)的教學(xué)中，有一位好問的學(xué)生提出：“既然有等差數(shù)列，是不是應(yīng)該存在等和數(shù)列？”雖然這個(gè)問題和本節(jié)教學(xué)無關(guān)，但此時(shí)卻是為學(xué)生創(chuàng)造探究學(xué)習(xí)的最佳時(shí)機(jī)。通過學(xué)生的探究，學(xué)生舉出了“1，2，1，2，1，…”等多個(gè)等和數(shù)列的例子，還仿照等差數(shù)列概念得出等和數(shù)列的概念，并指出了它的兩個(gè)性質(zhì)：（1）等和盜幸歡ㄊ侵芷謔列；（2）等和數(shù)列也一定是等積數(shù)列。

這樣的例子在數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常遇到，教師應(yīng)該抓住這樣的“題外話”，甚至故意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的“題外話”借題發(fā)揮，從真正意義上調(diào)動(dòng)學(xué)生探究欲望與積極性。蘇霍姆林斯基指出：“有許多聰明的，天賦很好的學(xué)生，只有當(dāng)他的手和手指尖接觸到創(chuàng)造性勞動(dòng)的時(shí)候，他們對(duì)知識(shí)的興趣才能覺醒起來?！?/p>

四、注重?cái)?shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解題，既可體現(xiàn)數(shù)量與空間圖形的辯證統(tǒng)一關(guān)系，又快捷簡便，直觀易懂。

例如，在集合的運(yùn)算基本上，要借助數(shù)軸和 venn 圖來直觀形象地表示交、并、補(bǔ)的部分。

在函數(shù)的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合更為重要，例如 2015 年廣東高考題最后一題：

21.（本小題滿分 14 分）

設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）。

（1）若 ，求 a 的取值范圍；

（2）討論 f（x） 的單調(diào)性；

（3）當(dāng) 時(shí)，討論 在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

這完全可以用畫圖的方式解決。筆者讓所帶的高一的學(xué)生做，數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的學(xué)生基本能拿到 10 分。學(xué)生告訴筆者，他們認(rèn)為和平時(shí)做的“x2-4|x|+3=m 有四個(gè)互相不相等的實(shí)數(shù)根，求 m 的取值范圍”的方法是類似的，只是帶有變量 a 的討論而已，此類題目用畫圖方式容易解決。

像這樣的例子在高一教學(xué)中實(shí)在太多了，基本初等函數(shù)（尤其是帶參數(shù)的二次函數(shù)）、三角函數(shù)都對(duì)學(xué)生的作圖能力提出了很高的要求，在高一教學(xué)中一定要給學(xué)生灌輸這樣的思想。在作業(yè)上嚴(yán)格要求，在解題中畫圖與書寫都不能少。只有在平時(shí)經(jīng)常提醒，讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣，這樣才能使學(xué)生在考試中靈活運(yùn)用，進(jìn)行變形遷移。

五、注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難生的轉(zhuǎn)化

筆者認(rèn)為教學(xué)和教育從來都是分不開的。筆者每年都會(huì)帶到一些“讓我心疼”的學(xué)生，他們乖巧聽話，上課認(rèn)真做筆記，課后作業(yè)認(rèn)真完成，學(xué)習(xí)也很用功，課外的輔導(dǎo)書也是標(biāo)注得密密麻麻，但是一考起試來總是在 70 分左右，有甚者是全班的倒數(shù)第一。對(duì)這樣的孩子，筆者通過接觸發(fā)現(xiàn)她們把數(shù)學(xué)學(xué)不好歸結(jié)于自己不行，老師講的東西總是記不住，解決數(shù)學(xué)問題的方法不太靈活，腦子不好用，太笨了，不如別的同學(xué)聰明，不是學(xué)數(shù)學(xué)的料。這樣的孩子喜歡做一些程序化的題目，但是題目稍微發(fā)生變化就不知道如何下手，即使做對(duì)了，也常常懷疑自己做錯(cuò)了。面對(duì)這樣的學(xué)生，筆者做了以下的轉(zhuǎn)化策略：

1.適時(shí)表揚(yáng)，增強(qiáng)自信

平時(shí)分析問題時(shí)，抽查問一下他們有什么好思路，只要他們的想法有理就給予肯定和表揚(yáng)，樹立他們的信心，提高他們的個(gè)人數(shù)學(xué)自我效能感。另外，在講解題目時(shí)，筆者也多方面展示自己的思路和想法，讓學(xué)生明白老師也不是立刻就有正確的解法的，當(dāng)他們下次遇到一下子不能正確求解的題目時(shí)不要輕易放棄。 （下轉(zhuǎn)第162頁）

（上接第136頁）

2.鼓勵(lì)做學(xué)習(xí)方法不佳的歸因

學(xué)習(xí)成績不理想一定是方法不佳，比如，總記一些結(jié)論和解題類型，沒有對(duì)概念和解題思路理解好。多鼓勵(lì)他們與其他同學(xué)交流學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)心得，把做錯(cuò)的題和不會(huì)做的題目一步步整理下來，把當(dāng)時(shí)為什么不會(huì)解的各種類型的題的原因記下來，也要把之后如果再碰到這類題目應(yīng)該怎么辦寫在旁邊。讓他們自己去逐漸認(rèn)識(shí)到初中和高中的不同，不再是機(jī)械的模仿而是需要自己多嘗試和探索，學(xué)會(huì)獨(dú)立運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

3.引導(dǎo)進(jìn)行合理的外部歸因

其實(shí)，除了內(nèi)因外，也有一些外在的因素，如家庭環(huán)境，人際關(guān)系，身體因素等。多方面對(duì)他們進(jìn)行關(guān)心和引導(dǎo)，這樣做也取得預(yù)想不到的效果。

【參考文獻(xiàn)】

第8篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；銜接；內(nèi)容；課時(shí)；基礎(chǔ)；補(bǔ)充；復(fù)習(xí)；反饋

在推行新課程的今天，由于教材內(nèi)容、教師觀念、課時(shí)、學(xué)法等原因，造成初高中教學(xué)脫節(jié)是高中教學(xué)中存在的一個(gè)嚴(yán)重問題，也是個(gè)老大難問題。特別是對(duì)意志品質(zhì)薄弱和學(xué)習(xí)方法不妥的那部分學(xué)生更是使他們過早地失去學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，甚至打擊他們的學(xué)習(xí)信心。如何讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，使之能夠敢于學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，以至敢于思考、樂于思考，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，是擺在高一數(shù)學(xué)教師面前的首要問題。本人結(jié)合自己多年教學(xué)中所積累的經(jīng)驗(yàn)和在教學(xué)中所采用的方法，從教材、教法、過程、結(jié)果等方面談一談個(gè)人的體會(huì)，以期對(duì)教學(xué)有所幫助。

一、初高中數(shù)學(xué)的差異

1.教材內(nèi)容

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的依據(jù)，在結(jié)構(gòu)上，初中數(shù)學(xué)采用連貫、整體、螺旋上升的結(jié)構(gòu)；高中數(shù)學(xué)則采用模塊的結(jié)構(gòu)，將內(nèi)容分為必修的五個(gè)基本模塊和選修部分。在內(nèi)容上，初中注重基礎(chǔ)，講求知識(shí)的廣度；高中則注重推理、應(yīng)用，講求知識(shí)的深度。同時(shí)從內(nèi)容的連貫性上看：高中把“平行線等分線段定理、十字相乘法、立方和與立方差公式等”內(nèi)容作了淡化處理，把它們放到了選修或者直接刪去，但習(xí)題中卻大量出現(xiàn)。所有的這些都說明初高中數(shù)學(xué)存在著顯著的區(qū)別，從而使學(xué)生產(chǎn)生許多的不適應(yīng)，直接影響了今后的學(xué)習(xí)。

2.教學(xué)課時(shí)

初中階段我們用6個(gè)學(xué)期的時(shí)間學(xué)6本書，其中的內(nèi)容多是重復(fù)、提升的形式出現(xiàn)；高中階段我們用4個(gè)學(xué)期學(xué)8本（文科7本），其中的內(nèi)容基本沒有重復(fù)，難度更是初中無法比擬的。就拿高一來說吧：高一第一學(xué)期有兩本書共72學(xué)時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，這些并不包括單元測(cè)試與講解、復(fù)習(xí)等所用的時(shí)間。此外，高一學(xué)生一般報(bào)到較遲（9月4～5日左右），還有一周至十天的軍訓(xùn)，再加上國慶節(jié)、元旦等正常假日。真正能用于上課的時(shí)間非常有限，也就不可能有什么補(bǔ)缺補(bǔ)差的時(shí)間，連完成正常教學(xué)任務(wù)也感到十分困難。這就注定了教師的教和學(xué)生的學(xué)不可能再照搬初中了。

3.教學(xué)方法

在學(xué)習(xí)方法及思維方式上，高初中數(shù)學(xué)的脫節(jié)并不僅僅在教材內(nèi)容上，在思維方式上也產(chǎn)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍。如果說初中數(shù)學(xué)是一個(gè)幼童的話，那么高中數(shù)學(xué)則是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的成人，這是從思維能力上說的，二者根本就不在同一級(jí)別上，且從高中一開始就沒有緩沖區(qū)的直接產(chǎn)生這樣一個(gè)質(zhì)的飛躍，這讓絕大多學(xué)生難以接受，也讓多數(shù)學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的一套學(xué)習(xí)方法到高中很難奏效，大大地增加了他（她）們的困惑，也給教師的教學(xué)帶來了不小的挑戰(zhàn)。

二、銜接措施

1.依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)

這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、貫穿始終的過程，因?yàn)閷W(xué)生是不斷發(fā)展的個(gè)體，不能用固定的眼光去看，否則就容易產(chǎn)生誤解、不信任。首先我查詢了入學(xué)成績，了解一個(gè)大概的情況；然后我讓學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，以消除試卷、臨場發(fā)揮等方面的影響。我還根據(jù)學(xué)生上課的反應(yīng)定期找學(xué)生談話，從中了解學(xué)生的接受、消化情況，這樣能更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的狀態(tài)，不會(huì)出現(xiàn)被單純考試分?jǐn)?shù)所蒙蔽的現(xiàn)象。

2.注意相關(guān)內(nèi)容的及時(shí)復(fù)習(xí)與補(bǔ)充

由于初高中數(shù)學(xué)在內(nèi)容上的脫節(jié)，教師在教學(xué)中應(yīng)及時(shí)的對(duì)相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)復(fù)習(xí)與補(bǔ)充，只有這樣才能使學(xué)生順利的度過難關(guān)。例如在高一數(shù)學(xué)《函數(shù)》一章中，對(duì)初中數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容涉及的不少。象一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，關(guān)于y值范圍（函數(shù)值域）、單調(diào)性的討論、最大（?。┲档那蠓ǖ?，有的當(dāng)時(shí)不作要求，有的要求不深，現(xiàn)在學(xué)生感到模糊，就應(yīng)當(dāng)及時(shí)作適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)。為此，可在初中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，作適當(dāng)?shù)囊?，可不作太高要求，能解決一些問題就可以了?？梢愿鷮W(xué)生明確指出，這些以后還要學(xué)的，不熟練不要緊。

3.及時(shí)比較和總結(jié)，注重學(xué)習(xí)中的信息反饋

與初中數(shù)學(xué)相比較，在解題方法上，高中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的要求更高。分情況討論、數(shù)形結(jié)合、合情推理、邏輯推理等等數(shù)學(xué)思想和方法要求都比較高。對(duì)于一個(gè)高一學(xué)生來說，這些思想方法雖不陌生，但距離熟練應(yīng)用還是很有差距的。因此，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)及時(shí)總結(jié)、比較現(xiàn)在的分析問題、解決問題的方式方法與初中有何共同點(diǎn)，有何不同點(diǎn)。從而確定應(yīng)當(dāng)掌握哪些，注意哪些。經(jīng)常性的分析與比較，學(xué)生就會(huì)不斷調(diào)整方向，明確目標(biāo)，逐漸形成一整套的正確的學(xué)習(xí)方法。

三、銜接的體會(huì)與反思

1.注意學(xué)生的學(xué)習(xí)情況的改變

知道學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)過了什么，學(xué)到什么程度，什么沒有學(xué)，學(xué)習(xí)要求如何等等。針對(duì)與高中相關(guān)的每一部分內(nèi)容，都要分析學(xué)生現(xiàn)有的水平，具體知識(shí)結(jié)構(gòu)，高中階段所要達(dá)到的目標(biāo)。要了解每一名學(xué)生，關(guān)注其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的狀態(tài)變化。從課堂教學(xué)，到課后練習(xí)、鞏固，到單元測(cè)試等。注意個(gè)別學(xué)生的特殊變化，上升快的要及時(shí)鼓勵(lì)，給予肯定；出現(xiàn)下降幅度大的，應(yīng)及時(shí)談話，幫助學(xué)生分析原因，采取措施，不要錯(cuò)失良機(jī)。這樣做能收到事半功倍的效果。

2.注意學(xué)生所用的學(xué)習(xí)方法

數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為主體，充分考慮學(xué)生的思維方式，接受能力，個(gè)人興趣、愛好等。鑒于此，應(yīng)當(dāng)針對(duì)不同的學(xué)生使用不同的教學(xué)方法、指導(dǎo)方法。這在課堂教學(xué)中不易做到，但可以利用課外輔導(dǎo)來處理，還要注意數(shù)學(xué)解題中通性通法的理解與掌握。一些常用方法如：歸納法、類比法、演繹法、算法或構(gòu)造性方法、統(tǒng)計(jì)方法、迭代法、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)模型法、猜想、直覺、靈感或頓悟等?！凹仁翘岢鰡栴}的方法，又是解決問題的方法?！备鼞?yīng)注意培養(yǎng)。

3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

第9篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性范文

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)的奇偶性

要研究函數(shù)的對(duì)稱性一定要先研究函數(shù)的奇偶性，因?yàn)槠婧瘮?shù)是最典型的點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)是最典型的軸對(duì)稱。奇函數(shù)：f（x）+f（-x）=0或f（x）=-f（-x），關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱；偶函數(shù)：f（x）-f（-x）=0或f（x）=f（-x）關(guān)于y軸對(duì)稱。在對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反。

二、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究

定理1.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P′（2a-x，2b-y）也在y =f（x）圖像上， 2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a -x）=2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f（x0），f （x）+f（2a-x）=2bf（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故點(diǎn)P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2. 函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3. ①若函數(shù)y=f（x） 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y=f（x） 圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c） 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c） 成中心對(duì)稱，

f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）

又函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對(duì)稱，

f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f [4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

三、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究

定理4. 函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱。

定理5. ①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱。

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱。

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0=f（x0）。記點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P′（x1，y1），則x1=a+y0，y1=x0-a，x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+ y1） 點(diǎn)P′（x1，y1）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上。

同理可證：函數(shù)x-a = f （y + a）的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f （x）的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關(guān)于直線x=y成軸對(duì)稱。

三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是（kπ+π/2，0），而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y=tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)是（kπ，0），這明顯是錯(cuò)的。

四、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（ ）

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：f（10+x）為偶函數(shù)，f（10+x）=f（10-x）.

f（x）有兩條對(duì)稱軸 x=5與x=10 ，因此f（x）是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，x=0即y軸也是f（x）的對(duì)稱軸，因此f（x）還是一個(gè)偶函數(shù)。

故選（A）

例2 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）、y=g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=g-1（x-2） 反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函數(shù)是：y=2+g（x）， f（x-1）=2+g（x）， 有f（5-1）=2+g（5）=2001。

故f（4） = 2001，應(yīng)選（C）

例3 設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=-x，則f（8.6 ）= _________。

解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)x=0是y=f（x）對(duì)稱軸；又f（1+x）=f（1-x），x=1也是y=f（x）對(duì)稱軸。故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3。

例4 函數(shù)y=sin （2x+）的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）

A.x=- B.x=-

C.x= D.x=

解：函數(shù) y=sin（2x+）的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是2x+=kπ+，

x=-π，顯然取k=1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x=-故選（A）。

例5 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）= -f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解：y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心；