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高中數(shù)學(xué)常見結(jié)論精選(九篇)

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高中數(shù)學(xué)常見結(jié)論

第1篇:高中數(shù)學(xué)常見結(jié)論范文

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我經(jīng)常被一些問(wèn)題所困惑:課堂上,教師講解概念及解題過(guò)程,學(xué)生能聽懂,但學(xué)生在作業(yè)和考試時(shí)常出現(xiàn)這樣的情境:許多題目明明知道教師在課堂上反復(fù)講解過(guò),即使明白題目的意思也感到無(wú)從下手;有些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間花不少,精力投入較多,學(xué)習(xí)刻苦認(rèn)真,但收效甚微;對(duì)許多學(xué)習(xí)上的易錯(cuò)問(wèn)題,盡管教師反復(fù)地講評(píng)和剖析,事后學(xué)生仍“舊病復(fù)發(fā)”,找不出問(wèn)題的癥結(jié).這些問(wèn)題表明學(xué)生缺乏反思意識(shí)或反思意識(shí)比較差.

究其原因大致為:學(xué)生沒有反思的意識(shí)或不知道如何反思;學(xué)生由于被大量的作業(yè)壓得喘不過(guò)氣來(lái),沒有時(shí)間進(jìn)行反思.其本質(zhì)原因是教師在教學(xué)中只注重知識(shí)的傳授與講解,忽視對(duì)學(xué)生反思能力的培養(yǎng);或教師反思意識(shí)不強(qiáng),不知道在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力.

二、高中學(xué)生應(yīng)該進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)

基于上述問(wèn)題,且不論新課程突出強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng),教師應(yīng)將反思性教學(xué)應(yīng)視為高中教學(xué)的新型教學(xué)方式,加強(qiáng)反思性教學(xué),使學(xué)生真正從學(xué)習(xí)中獲得能力.

(一)概念教學(xué)的反思活動(dòng)

概念是最基本的思維形式,數(shù)學(xué)中的命題都是由概念構(gòu)成的;數(shù)學(xué)中的推理和證明,又是命題構(gòu)成的.因此,正確地理解數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提.數(shù)學(xué)概念的理解包括概念的內(nèi)涵和外延,即牢固掌握概念和靈活運(yùn)用概念兩個(gè)方面.學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過(guò)程是一個(gè)認(rèn)識(shí)的過(guò)程,必須遵循認(rèn)識(shí)的規(guī)律,以唯物辯證法作指導(dǎo).抓住事物的本質(zhì),對(duì)概念作辯證的分析.并注意在實(shí)踐中運(yùn)用概念,在運(yùn)用中加深對(duì)概念的理解.

【例1】 與圓C:x2+(y+5)2=3相切,且在x、y軸上截距相等的直線有( ).

A.2條 B.3條 C.4條 D.6條

錯(cuò)解:A或D;正解:C.

本題錯(cuò)解的關(guān)鍵在學(xué)生對(duì)“截距”概念的理解不透徹.選(A)以為“截距”不能為零;選(D)以為“截距”為距離.實(shí)際上直線在x、y軸上的截距即為原點(diǎn)到直線與x、y軸的交點(diǎn)的有向線段的數(shù)量.

可見,在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生多次反思,挖掘概念的本質(zhì),研究概念形成的條件和形成的過(guò)程,這樣才能使學(xué)生更深刻理解概念,更準(zhǔn)確地掌握概念、運(yùn)用概念.同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的反思意識(shí),提高了學(xué)生的反思能力.

(二)解題教學(xué)的反思活動(dòng)

1.解題方法上的反思

在解題過(guò)程中,不同的題存在著不同的解題方法或者存在相同的解題策略.

(1)指導(dǎo)學(xué)生反思一題多解的差異性.

【例2】 在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目,如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變,再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目,求共有多少種安排方法?

解法一:添加的3個(gè)節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去:①3個(gè)節(jié)目連排,有C17A33種方法;②3個(gè)節(jié)目互不相鄰,有A37種方法;③有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排,有C13C17C16A22種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有C17A33+A37+C13C17C16A22=504種.

解法二:從結(jié)果考慮,排好的節(jié)目表中有9個(gè)位置,先排入3個(gè)添加節(jié)目有A39種方法,余下的六個(gè)位置上按6個(gè)節(jié)目的原有順序排入只有一種方法.故所求排法為A39=504種.

解法三:(消去順序)A99A66=504.

這里應(yīng)做三法優(yōu)化的反思,法一可視為分組插入法(將三個(gè)不同元素分成1組或2組或3組,再插入7個(gè)空隙),可取.法二抓住整體中的不變性和可變性,但思維要求較高;法三視為相同元素排列法,具有一般性,可取.

(2)指導(dǎo)學(xué)生反思多題一解的共通性.

【例3】 ①6個(gè)人并排站成一排,B站在A的右邊,C站在B的右邊,則不同的排法總數(shù)為多少種?

②書架上原有5本書,再放上2本,但要求原有書本的相對(duì)順序不變,則不同的放法有多少種?

③有一名同學(xué)在書寫英文單詞“error”時(shí),只是記不清字母的順序,那么他寫錯(cuò)這個(gè)單詞的概率為 .

以上幾個(gè)例子實(shí)際上應(yīng)用例2的法一和法三的解題思路就可以解答!

2.解題思維過(guò)程的反思

即思考在問(wèn)題解決的過(guò)程中,自己是否很好地理解了題意?是否弄清了題干和設(shè)問(wèn)之間的內(nèi)在聯(lián)系?是否較快地找到了解題的突破口?在解題過(guò)程中以前曾走過(guò)的彎路,犯過(guò)的錯(cuò)誤,以及所獲得的感悟,此時(shí)能否得到較好的聯(lián)想?

【例4】 (2005年浙江卷,理)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)=x2+2x.

(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

分析:由圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱聯(lián)想到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;含有一個(gè)絕對(duì)值聯(lián)想分段;函數(shù)值大小比較聯(lián)想函數(shù)圖像的上方或下方等,這些是否于本題解決有助呢?

進(jìn)行解題思維的反思,能達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)堅(jiān)持讓學(xué)生獨(dú)立思考,培養(yǎng)學(xué)生在解題后對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3.解題結(jié)果的反思

(1)指導(dǎo)學(xué)生反思答案的正確性和最佳性

【例5】 從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點(diǎn)P(2,3),向該圓引切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B,求直線AB的方程.

方法一:根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑,求得切線方程為x=2和3x-4y+6=0.再將切線方程與圓方程聯(lián)立求得切點(diǎn)A(2,1),B

(25,95)

.再由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法易被學(xué)生采用,但求切點(diǎn)運(yùn)算量較大,由此引導(dǎo)學(xué)生反思:如何求切點(diǎn)更簡(jiǎn)捷?

方法二:設(shè)已知圓的圓心為C(1,1),根據(jù)平面幾何知識(shí)可知,切點(diǎn)是以PC為直徑的圓與圓C的交點(diǎn),以PC為直徑的圓方程為

(x-32)2+(y-2)2=54

①,

又(x-1)2+(y-1)2=1②,由①-②得x+2y-4=0③,將③代入②,求得切點(diǎn)為A(1,2),B(25,95).再由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法充分運(yùn)用平面幾何性質(zhì),減少了運(yùn)算層次,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.是否仍有改進(jìn)之處?

方法三:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由方法二知,切點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程①和②,則也滿足③,這說(shuō)明方程③即為過(guò)切點(diǎn)A,B的直線方程.

此法避免了求切點(diǎn)的過(guò)程,過(guò)程更簡(jiǎn)捷,值得關(guān)注.通過(guò)上述不同角度的探討,學(xué)生開闊了視野,使學(xué)生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發(fā)展,這有利于提高學(xué)生靈活解題的能力.

(2)指導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤答案

【例6】 過(guò)點(diǎn)(1,2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ).

A.k>2

B.-3

C.k2D.都不對(duì)

錯(cuò)解:C;正解:D.

反思:當(dāng)二元二次方程中含參數(shù)時(shí)首先必須對(duì)參數(shù)予以關(guān)注.關(guān)鍵語(yǔ)句:“過(guò)點(diǎn)(1,2)總可作圓的切線”意味著點(diǎn)(1,2)恒在圓上或圓外.這樣對(duì)錯(cuò)解的“錯(cuò)”就釋然了.

4.立意的反思

通過(guò)完成解題,可否對(duì)題目進(jìn)行全方位審視?題目立意的目的是什么?它是否具有現(xiàn)實(shí)性或普遍性?比如對(duì)下列的演變可否作為對(duì)題目立意的反思的詮釋?

【例7】 點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求定點(diǎn)A(0,2)到動(dòng)點(diǎn)P的距離|AP|的最大值.

變式1:將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值.(變結(jié)論)

變式2:將橢圓改為雙曲線x2-y2=1,結(jié)論改為求|AP|的最小值.(條件、結(jié)論均變)

變式3:已知點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),定點(diǎn)A(0,a)(a>0),求|AP|的最大值.(變條件,且具一般性)

變式4:動(dòng)點(diǎn)Q在圓x2+y2-4y+3=0上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求|PQ|的最大值.(將點(diǎn)A以隱藏的方式給出)

(將圓方程化為x2+(y-2)2=1,則圓心A(0,2),問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為原題了.)

變式5:設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且離心率e=12,點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),若定點(diǎn)A(0,2)到動(dòng)點(diǎn)P的距離的最大值是45,求橢圓方程.并求|AP|取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).

(三)作業(yè)(或試卷)評(píng)講教學(xué)的反思活動(dòng)

作業(yè)(或試卷)評(píng)講的結(jié)束,并非以題目評(píng)講的終結(jié)為標(biāo)志,應(yīng)利用這一契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面進(jìn)行反思.

(1)學(xué)生應(yīng)依據(jù)教師提出的教學(xué)目標(biāo),結(jié)合自己實(shí)際達(dá)成的目標(biāo)進(jìn)行反思.這是測(cè)試后的反思的前提條件.

(2)學(xué)會(huì)正視自己.特別要正視自己在學(xué)習(xí)上存在的問(wèn)題,全面分析自己的現(xiàn)狀與自定目標(biāo)之間的差距.這是一種科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度,是進(jìn)行測(cè)試后的反思的思想基礎(chǔ).

(3)對(duì)每一次測(cè)試,首先是反思失分多寡之原因.計(jì)算自己在試卷中有哪些是不應(yīng)有的失分.如,筆誤、計(jì)算錯(cuò)誤、看錯(cuò)題目、當(dāng)時(shí)的遺忘等.其次是分類分析.高中數(shù)學(xué)考卷的題型一般分為①填空題、②選擇題、③解答題三類.對(duì)于填空選擇題,如有失誤往往是源于對(duì)基本概念理解上的偏差.學(xué)生要做的是在反思時(shí),細(xì)讀概念、定理以及相關(guān)的變式與圖形,理解老師總結(jié)出的常見結(jié)論.解答題中綜合題、探究題是讓學(xué)生感到頭痛的題型,反思的重點(diǎn)就是設(shè)法掌握解決此類問(wèn)題的步驟:①掃清障礙,先做好簡(jiǎn)單的問(wèn)題并得出一些有用的結(jié)論;②定性分析與定量分析相結(jié)合;③反思各類答題的經(jīng)驗(yàn)和技巧.