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關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);解題技巧;解題思維
在新課標(biāo)的改革中,對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、加強學(xué)生的解題能力、加強學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中舉一反三的能力越來越受到重視。尤其是在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,以上各方面的能力培養(yǎng)就顯得更加重要。而能力的培養(yǎng)又非一朝一夕能實現(xiàn)的,這就需要教師不斷督促學(xué)生完成能力的培養(yǎng),在傳授基礎(chǔ)知識的過程中,注重學(xué)生應(yīng)變能力的培養(yǎng)。下面將介紹幾種常用的解題技巧。
一、換元法
在很多求最大值或者最小值的題目中,如果利用尋常的不等式的解法,很難求出一些題目的答案,但是如果轉(zhuǎn)變思路,利用三角函數(shù)換元進行計算,或許能夠使計算過程簡便很多。
如,已知a2+b2=4,x2+y2=9,求ax+by的最大值。
解法如下:由a2+b2=4,可以聯(lián)想到(2cosα)2+(2sinα)2=4,因此可設(shè)a=2cosα,b=2sinα,由x2+y2=9,可以聯(lián)想到(3cosβ)2+(3sinβ)2=9,因此可設(shè)x=3cosβ,y=3sinβ.
于是ax+by=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β)≤6。又當(dāng)α-β=2kπ(k=1,2,3…)時,上式中等號成立,即ax+by的最大值是6。
二、比較系數(shù)法
比較系數(shù)法也就是教師們經(jīng)常說的觀察法。在運用這個方法的時候,需要學(xué)生的觀察力足夠敏銳,通過觀察恒等式左右兩邊的系數(shù),找出其中的聯(lián)系,從而建立若干個方程,將其聯(lián)立,從而解出未知數(shù)。
三、特殊值法
這是一種比較少用但卻很好用的方法,一般不建議使用。但對于對公式比較敏感的成績較好的學(xué)生來說,就是一種比較節(jié)省時間的方法。在恒等式中帶入特定的數(shù)字,令式子左右相等,從而得到系數(shù)間的關(guān)系,聯(lián)立方程組并求解。
在眾多高中學(xué)科中,數(shù)學(xué)可以說是相當(dāng)有難度的。為了不使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由于學(xué)習(xí)效果不佳而產(chǎn)生逆反心理,教師就要在此過程中注意培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方式,注重學(xué)生對解題技巧的把握,在教學(xué)中滲透多角度看問題的思想,讓學(xué)生能做到“舉一反三”。此過程中,教師適量地布置習(xí)題并及時地進行解答也是很有必要的。教師要積極跟隨時代的要求,積極引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動思考的習(xí)慣,這是新形勢下對教師提出的考驗。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)分析思想;解題技巧;應(yīng)用研究
數(shù)學(xué)分析思想是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵,能夠幫助學(xué)生合理運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,逐漸形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題,而目前很多高中學(xué)生只會做題,對題目背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法理解不夠透徹,同一題型盲目套用同一種解題方法,缺乏創(chuàng)新能力。所以,為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)有創(chuàng)新意識、邏輯思維能力強的人才,必須加強對學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的教育。
一、高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)學(xué)分析思想的意義
(一)開拓學(xué)生的思維潛能
通過運用數(shù)學(xué)分析思想,充分發(fā)散思維,靈活運用數(shù)學(xué)知識,解決引申、變通出來的習(xí)題,真正將知識為己所用,從而拓寬學(xué)生的解題思路,開發(fā)學(xué)生的思維潛能,讓學(xué)生的思維更靈活,更有創(chuàng)造性。
(二)提高學(xué)生的觀察能力
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要學(xué)生要有較強的觀察能力,數(shù)學(xué)分析思想能讓學(xué)生養(yǎng)成好的觀察習(xí)慣,透過數(shù)學(xué)習(xí)題表面,挖掘其中潛藏的數(shù)學(xué)原理,將理論知識與實踐聯(lián)系起來,繼而解決實際問題,認(rèn)清事物的本質(zhì)。
(三)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果
在高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)學(xué)分析思想能夠激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有效促進學(xué)生解題效率的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的進一步提高。
二、數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實踐運用
高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。
(一)類比與歸納思想
類比與歸納思想是指在解題時通過對比形式或本質(zhì)相近的事物,從中歸納、總結(jié)出共同點,訓(xùn)練解題技能,是高中數(shù)學(xué)解題最常用的一種數(shù)學(xué)思想。函數(shù)題計算中運用類比與歸納思想,可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律,避免學(xué)生盲目做題。比如題目cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/(2n?sinx/2n),分析題目可以發(fā)現(xiàn),等式的左邊有一定規(guī)律,符合2sinx/2cosx/2=sinx,再根據(jù)規(guī)律進一步分析,發(fā)現(xiàn)左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1,繼續(xù)替換、計算后,等式左邊與原等式右邊一樣,都是sinx/(2n?sinx/2n),可以證明出cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/(2n?sinx/2n)。
(二)逆向思維
逆向思維是數(shù)學(xué)思維中最重要的思維方式之一,適用于題型比較復(fù)雜,正面解題困難,運算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c,2a2-2a+c=0,2b2-2b+c=0,求解c的值”為例,學(xué)生在解這道題時往往會通過配方消元的方法來解出c的值,但這道題目含有許多未知元素,用配方消元來解的話需要大量運算,運算過程也相對比較復(fù)雜,這時可以運用逆向思維分析題目,提高解題效率。題目中已經(jīng)有了a,b,c的等量關(guān)系,從逆向思考一元二次方程的定義,2a2-2a+c=0,2b2-2b+c=0,得出方程的解就是a和b,然后再通過韋達定理可以得出a與b的和為1,a與b的積為-c/2,題干中已經(jīng)給出條件a-b=c,此時就能快速計算出這道題的答案。高中數(shù)學(xué)題中也比較常遇見這種題型:求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結(jié)果,在計算此類型題目時,一個數(shù)一個數(shù)的計算既浪費時間,也很容易算錯,而運用逆向思維, 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規(guī)律來計算,可以快速得出結(jié)果,大大提高做題效率。
(三)化歸思想
化歸思想是指在解題時將一些復(fù)雜的、難解決的問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題,其核心觀點就是化難為易,將未知的問題轉(zhuǎn)換為已知的?;瘹w思想最重要的就是如何尋求化歸方法,確定明確化歸目標(biāo),以2010年江蘇理科高考數(shù)學(xué)題“設(shè)實數(shù)x,y滿足3≤xy2≤8,4≤x2/y≤9,求x3/y4的最大值”為例,直接解題時會發(fā)現(xiàn)問題形式不易構(gòu)造,計算很花時間,所以需要等價轉(zhuǎn)化,將x3/y4轉(zhuǎn)換為(x2/y)2?1/xy2,由題目可知,3≤xy2≤8,4≤x2/y≤9,所以1/8≤1/xy2≤1/3,16≤(x2/y)2≤81,可以得出2≤x3/y4≤27,x3/y4的最大值為27。也就是指,化歸思想要將高次轉(zhuǎn)為低次,多元轉(zhuǎn)為一元,三維轉(zhuǎn)向二維,以實現(xiàn)由難到易的轉(zhuǎn)換。
(四)整體思想
高中數(shù)學(xué)題經(jīng)常會整合課本知識,從另一角度考察學(xué)生對知識的掌握情況,整體思想就是讓學(xué)生立足整體,綜合運用已經(jīng)學(xué)到的知識解決未知問題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值,課本沒有直接給出tan15°的值是多少,但根據(jù)三角函數(shù)公式,可以計算將題目整體變形,計算出答案。
三、總結(jié)
高中數(shù)學(xué)題看似復(fù)雜,計算困難,但歸根究底仍是對課本知識的變相考察,這就需要學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)分析思想,并在解題時能綜合運用整體思想、化歸思想、類比與歸納思想、逆向思維等數(shù)學(xué)分析思想,加快解題速度,提高學(xué)習(xí)效率。
【⒖嘉南住
[1]麥康玲.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 科教文匯(下旬刊),2015.05:110-111
[2]李明銳.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航(中旬),2016.10:16
關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);選擇題
【中圖分類號】G633.6
高中數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要階段,學(xué)生的很多重要基礎(chǔ)都開始在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段開始掌握,與初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相比,高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求更高,已經(jīng)脫離了小學(xué)、初中階段直來直去的思維方式,開始出現(xiàn)思維方法上的要求,很多高中題型,存在著一題多解的現(xiàn)象,簡便的方法可以讓學(xué)生節(jié)約答題時間,提高成績,而如何尋找到簡便方法,就牽涉到了數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維,其中,數(shù)形結(jié)合法就是高中階段學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)方法,也是高中階段考察的重點,尤其是在選擇題中容易出現(xiàn)需要學(xué)生特別的掌握。
有效地運用圖形結(jié)合法,可使問題由復(fù)雜變得簡單,抽象變得具體,進而便于學(xué)生們接受和理解[1]
一、以數(shù)助形,簡潔直觀
對于一些比較復(fù)雜的圖形,若果單純從幾何的方面去考慮,可能繞來繞去,陷入了困境,這時候可以考慮將圖形條件適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)化,根據(jù)題意要求,把“形”的特征正確的表達成為“數(shù)”的性質(zhì),進行解題。[2]
例1:(2010全國卷1文數(shù))已知圓 的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點,那么 的最小值為()
A. B.C. D.
思路解析:如圖所示:設(shè)PA=PB=,∠APO= ,則∠APB= ,PO= , ,
= = = ,令 ,則 ,即 ,由 是實數(shù),所以
, ,解得 或 .故 .此時 .
二、以數(shù)轉(zhuǎn)形,直觀深刻
在處理到代數(shù)問題時,并不像面對幾何問題那樣很容易的就想到數(shù)形的轉(zhuǎn)化,若不借助形的輔助往往會事倍功半,陷入題海無法自拔。[3]相反,如果善于借助圖形簡潔直觀的特點,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形,有助于尋找突破口。
例2:方程 的實根的個數(shù)為()
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
畫出 在同一坐標(biāo)系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10,y=lgx在(0,+∞)內(nèi)遞增, ,所以 和 的圖象應(yīng)該有三個交點。
例3. 定義在 上的函數(shù) 在 上為增函數(shù),且函數(shù) 的圖象的對稱軸為 ,則()
A. B.
C. D.
解: 的圖象是由 的圖象向左平移2個單位而得到的,又知 的圖象關(guān)于直線 (即 軸)對稱,故可推知, 的圖象關(guān)于直線 對稱,由 在 上為增函數(shù),可知 在 上為減函數(shù),依此易比較函數(shù)值的大小。
實際上,在高中數(shù)學(xué)里面,經(jīng)常會遇到關(guān)于方程(組)解的個數(shù)問題,如果通過正面不好計算,都可以考慮數(shù)形結(jié)合去求解。
例4. 函數(shù)u= 的最值是().
A. 最大值為2 ,最小值為2 B. 最大值為3 ,最小值為2
C. 最大值為6 ,最小值為3 D. 最大值為10 ,最小值為2
分析:觀察得2t+4+2(6-t)=16,若設(shè)x= ,y= ,則有x2+2y2=16,再令u=x+y則轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的關(guān)系問題來解決.
解:令 =x,=y, 則x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再設(shè)u=x+y, 由于直線與橢圓的交點隨著u的變化而變化,易知,當(dāng)直線與橢圓相切時截距u取得最大值,過點(0,2 )時,u取得最小值2 , 解方程組 ,得3x2-4ux+2u2-16=0,
令=0, 解得u=±2 .
所以u的最大值為2 ,最小值為2選A
例5. 已知A(1,1)為橢圓 =1內(nèi)一點,F(xiàn)1為橢圓左焦點,P為橢圓上一動點
求|PF1|+|PA|的最大值和最小值是()
A.B.
C. D.
解:將原方程化為
,且
令 ,它表示傾角為 的直線系,
令 ,它表示焦點在 軸上,頂點為 的等軸雙曲線在 軸上方的部分,
原方程有解
兩個函數(shù)的圖象有交點,由下圖知 或
的取值范圍為 選A
例6:某單位共有員工50名,為了鍛煉員工的身體素質(zhì),單位組織員工參加體育活動小組,已知員工每人至少參加一個體育活動項目小組,參加跑步、跳高、羽毛球小組的人數(shù)分別為27、26、16,同時參加跑步、跳高小組的9 人,同時參加跑步、羽毛球小組的7 人,同時參加跳高、羽毛球小組的人數(shù)為8,問:同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有( )人
A.1B.2 C.3D.5
思路解析:本題屬于典型的集合問題,如果單純根據(jù)題意里面的數(shù)量關(guān)系去解答,非常容易出現(xiàn)混亂,但是如果借助于文氏圖,則關(guān)系一目了然。
我們用三個圓來表示跑步、跳高、羽毛球小組的人數(shù),分別是A、B、C,通過下圖我們可以觀察的到,三個圓兩兩相交,相交重合的的地方就是表示共同參加活動的人數(shù)部分,同時參加跳高、羽毛球小組的人數(shù)就是三個圓共同的交集。如果用n表示集合的元素,則有:
n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50
即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50;故n(A∩B∩C)=5, 同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有5人 選D
結(jié)語
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的一種思維方法,通過“數(shù)”與“形”,“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)換去解決問題,讓抽象的圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡潔明了的代數(shù)關(guān)系,讓復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀的幾何圖形關(guān)系,通過轉(zhuǎn)化,可以有效地開拓思路,找到簡明的解題思路,
參考文獻:
[1] 宋端坤. 淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究, 2013,(21) .
[關(guān)鍵詞]抽象函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性
1 前言
高中數(shù)學(xué)課程中抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是非常重要的章節(jié),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性掌握的要求也越來越高。因此,在學(xué)習(xí)過程中我們要不斷進行抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究,才能對單調(diào)性與奇偶性的掌握更加嫻熟。
2 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的重要性
函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學(xué)生在初中所學(xué)函數(shù)中曾經(jīng)了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言去刻畫它。這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫。單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,許多學(xué)生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調(diào)性的證明自然就是教學(xué)中的難點。
3 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性學(xué)習(xí)中存在的問題
3.1 學(xué)生沒有掌握數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。但大部分學(xué)生并沒有這種習(xí)慣和意識,沒有掌握數(shù)形結(jié)合的正確方法。而函數(shù)的單調(diào)性僅依靠學(xué)生的想象是難以理解的,沒有這種正確的學(xué)習(xí)方法會極大地阻礙學(xué)生的學(xué)習(xí)。
3.2 對定義域的理解較為抽象。定義域作為函數(shù)中非常重要的一個組成部分,在函數(shù)單調(diào)性中的作用不可忽視。定義域往往決定了函數(shù)的單調(diào)性,但學(xué)生對定義域的理解較為抽象,沒有深刻領(lǐng)悟到定義域的內(nèi)涵和其對于函數(shù)單調(diào)性的重要作用。例如:已知函數(shù)f(x2)的定義域為-1≤x≤1,求函數(shù)f(x)的定義域。在這種復(fù)合函數(shù)中,學(xué)生難以理解定義域,難以得到正確的答案,也就無法進一步確定函數(shù)的單調(diào)性。
3.3 奇偶性的判斷。若定義域不對稱,則為非奇非偶函數(shù);若定義域?qū)ΨQ,則有成為奇(偶)函數(shù)的可能,到底怎樣,取決于數(shù)量關(guān)系,f(-x)=±f(x)怎樣成立?若,f(-x)=f(x)成立,則為偶函數(shù);若,f(-x)=-f(x)成立,則為奇函數(shù);若,f(-x)=±f(x)成立,則為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù);若f(-x)=±f(x)都不成立,則為非奇非偶函數(shù)。
4 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究
4.1 判斷單調(diào)性和奇偶性。
4.1.1 判斷單調(diào)性。根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì),畫出函數(shù)的示意圖,以形助數(shù),問題迅速獲解。
例1:如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f(x)在區(qū)間[-7,-3]上是( )。
A、增函數(shù)且最小值為B、增函數(shù)且最大值為
C、減函數(shù)且最小值為D、減函數(shù)且最大值為
分析:畫出滿足題意的示意圖,易知選B。
4.1.2 判斷奇偶性。根據(jù)已知條件,通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換,尋求f(x)與,(-x)的關(guān)系。
例2:若函數(shù)y=f(x)(f(x)≠0)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,判斷:函數(shù)y=f(x)是什么函數(shù)。
解:設(shè)y=f(x)圖象上任意一點為P(x0,y0),y=f(x)與y=-f,(x)的圖象關(guān)于原點對稱,P(x0,y0)關(guān)于原點的對稱點(-x0,-Y0)在y=f(x)的圖象上,-Y0=-f(-x0) y0=f(-x0),又Y0=-f(x0)f(-x0)=f(x0)。即對于函數(shù)定義域上的任意x都有f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函數(shù)。
4.2 求參數(shù)范圍。這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中,關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性,去掉“f’符號,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解,但要特別注意函數(shù)定義域的作用。
4.3 不等式。①解不等式。這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值,再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f’,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。②討論不等式的解。求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化,脫去函數(shù)符號。
4.4 比較函數(shù)值大小。利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì),將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后,利用其單調(diào)性使問題獲解。
【關(guān)鍵詞】新課標(biāo);高中數(shù)學(xué);習(xí)題教學(xué);探析
數(shù)學(xué)習(xí)題作為數(shù)學(xué)知識要義、教師教學(xué)意圖以及教材目標(biāo)要求等方面的有效“承載”和生動“代言”,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進程中占據(jù)不可替代的重要地位,并在助推教學(xué)進程中發(fā)揮著積極顯著的深刻功效。課堂之中的習(xí)題教學(xué),表面看似解題思路和方法的探求過程,實際上貫徹著教學(xué)的目標(biāo)要求、滲透著先進的教學(xué)理念、體現(xiàn)著教者的教學(xué)技能、執(zhí)行著能力培養(yǎng)的要旨。讓學(xué)生在習(xí)題教學(xué)中提升解決問題的技能,在習(xí)題探析中實現(xiàn)能力素養(yǎng)的升華,是新課程改革背景下,高中數(shù)學(xué)課堂教師習(xí)題教學(xué)的出發(fā)點和落腳點。鑒于上述的認(rèn)知和感悟,本人現(xiàn)簡要闡述新課標(biāo)背景下的高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)活動的實施。
一、抓住教材知識要義,實施互動式習(xí)題教學(xué)
教師在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)進程中的重要目的之一就是鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識、強化已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗。具備堅實的數(shù)學(xué)知識根基、良好的數(shù)學(xué)知識素養(yǎng),是學(xué)生主體有效認(rèn)知數(shù)學(xué)問題、正確解決問題、提高解體技能的重要前提和知識保障。教育運動學(xué)認(rèn)為,教師與學(xué)生之間應(yīng)該是雙向、互動、交流的發(fā)展過程,師生只有深入其中、積極配合,才能實現(xiàn)學(xué)與教之間的科學(xué)融合,有機統(tǒng)一。筆者以為,教師習(xí)題教學(xué)應(yīng)成為師與生深入互動、深刻交流的“橋梁”,應(yīng)成為鞏固強化數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)的重要“階梯”。因此,高中數(shù)學(xué)教師習(xí)題教學(xué),不能好高騖遠,將解題技能培養(yǎng)作為唯一要務(wù),而應(yīng)該重視基礎(chǔ)工作和要點教學(xué),通過開展師與生之間的深刻互動活動,深入挖掘數(shù)學(xué)習(xí)題中隱含和呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識點,及時回顧和復(fù)習(xí)相關(guān)知識點內(nèi)容,實現(xiàn)問題有效解答和數(shù)學(xué)知識升華的完美統(tǒng)一。
如“兩條直線位置關(guān)系判定”一節(jié)課教學(xué)中,教師在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié),設(shè)置了“已知兩直線l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,試求θ的值,使得兩直線平行和垂直”習(xí)題,組織高中生開展習(xí)題解答活動。教師抓住鞏固練習(xí)習(xí)題在強化數(shù)學(xué)知識點方面的積極功效,將復(fù)習(xí)該節(jié)課數(shù)學(xué)知識點內(nèi)容作為重要任務(wù)之一,引導(dǎo)高中生開展該習(xí)題條件及要求的認(rèn)知和解析活動,高中生通過數(shù)學(xué)問題條件感知活動,認(rèn)識到該習(xí)題主要考察“對兩條直線的垂直和平行的判定”。此時,教師因勢利導(dǎo)進行相關(guān)數(shù)學(xué)知識點的回頭看活動,組織高中生對已學(xué)的“兩條直線的位置關(guān)系判定內(nèi)容以及已知三角函數(shù)值求角的大小”等相關(guān)數(shù)學(xué)知識點的要義以及注意事項等方面進行全面深刻的研習(xí)和鞏固,并結(jié)合問題條件獲取該習(xí)題的解題思路。教師針對高中生認(rèn)知相關(guān)知識點的實情進行及時的鞏固和強化補充。在此習(xí)題教學(xué)進程中,高中生不僅以題為媒,由此及彼,實現(xiàn)對所學(xué)知識點的及時鞏固強化,同時還對數(shù)學(xué)習(xí)題解析思路有了深刻認(rèn)知,效果顯著。
二、注重探究過程指導(dǎo),實施探究式習(xí)題教學(xué)
高中數(shù)學(xué)課程改革實施綱要強調(diào)指出:“學(xué)科教學(xué)的根本出發(fā)點和落點是學(xué)生主體能力素養(yǎng)的培養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生探究、思維、實踐等方面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,是教師課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一,教學(xué)工作者應(yīng)在教學(xué)進程中予以深入貫徹和有效落實?!绷?xí)題教學(xué)作為課堂教學(xué)不可或缺的實踐活動之一,就必須將學(xué)生主體的動手操作、推理分析等數(shù)學(xué)活動融入其中,在探究式習(xí)題教學(xué)中,實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題能力的提升和進步。教師講解高中數(shù)學(xué)習(xí)題,既要重視解題策略傳授,更要強化探究過程教學(xué),有意識的延伸習(xí)題思路探知、問題解題方法辨析、數(shù)學(xué)問題過程展示等環(huán)節(jié)進程,并讓高中生滲透和參與其中,親身參與、親自探知,成為現(xiàn)場“當(dāng)事人”,在深入有效探究解析中,實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題能力的錘煉和提升。
問題:已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=f(2x),試求出f(x)和f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值。
高中生分析習(xí)題條件,指出:“該問題主要考查關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值運用”。
教師組織高中生結(jié)合習(xí)題要求,進行合作探究分析活動,高中生探究獲取解題思路:“設(shè)f(x)=ax2+bx+c;則f(x+1)-f(x)=2ax+a+b,求出a,b,c相應(yīng)的值從而求出f(x)的解析式。要求最小值和最大值,可以對函數(shù)進行配方,結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性分別求出涵數(shù)的最值。
教師根據(jù)高中生解析思路予以評點,強調(diào)指出:“本題主要利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式以及最值的求解,要注意所給區(qū)間的單調(diào)性?!?/p>
高中生依據(jù)教師指點,補充完善進行解題活動。
三、凸顯評判促進功效,實施反思式習(xí)題教學(xué)
筆者在平時的習(xí)題教學(xué)課觀摩中發(fā)現(xiàn),有極少數(shù)教師習(xí)題講解往往止步于解題方法的規(guī)律,而沒有對學(xué)生主體在解析習(xí)題中的成效予以點評和指導(dǎo),不利于高中生良好解題方法和習(xí)慣的養(yǎng)成和形成。教育學(xué)認(rèn)為,教師的主導(dǎo)作用應(yīng)通過“導(dǎo)”的活動予以呈現(xiàn)。因此,高中數(shù)學(xué)教師開展習(xí)題教學(xué),要充分利用評價教學(xué)所表現(xiàn)出來的指導(dǎo)促進功效,將解題過程評價作為習(xí)題教學(xué)有效延伸和生動補充,通過評判手段,引導(dǎo)高中生深刻思考解題得失、思路優(yōu)劣、表現(xiàn)好差,從而促進高中生更加深入的自我反思和深刻剖析,在師與生的共同作用下形成良好解題習(xí)慣。
除此之外,高中數(shù)學(xué)教師開展習(xí)題講解,還要利用數(shù)學(xué)習(xí)題發(fā)散特性,舉一反三,設(shè)置多樣性、發(fā)散性的數(shù)學(xué)習(xí)題,引導(dǎo)高中生深入思考研習(xí),錘煉和培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。
【參考文獻】
關(guān)鍵詞:函數(shù);恒成立;轉(zhuǎn)化;最值
恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型,很多函數(shù)問題都需轉(zhuǎn)化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性,往往通過一道綜合試題即可全面考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的能力,考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和敏捷性。本文將探討解決恒成立問題的如下三種策略:二次函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問題(利用數(shù)形結(jié)合的方法解決);分離變量法――轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;構(gòu)造函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值。
一、二次函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問題(利用數(shù)形結(jié)合的方法解決)
二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中解決函數(shù)問題最重要的工具之一,在恒成立問題中,有許多問題本身就是或可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)恒成立問題。所以二次函數(shù)恒成立問題是恒成立問題中的一個重點。而解決二次函數(shù)恒成立問題的專屬方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想,根據(jù)已知畫二次函數(shù)圖象列代數(shù)式。雖然二次函數(shù)恒成立問題作為一類特殊的恒成立問題,也可以用后面總結(jié)的方法解決,但該方法體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想,所以在此將其作為一種方法介紹。
綜上所知,a的取值范圍是[-7,2]。
該方法的核心思想是數(shù)形結(jié)合,關(guān)鍵是根據(jù)已知畫出二次函數(shù)的圖象,而難點也是根據(jù)畫出二次函數(shù)的圖象,然后根據(jù)圖象一般從開口方向、判別式、對稱軸和特殊點函數(shù)值四個方面列式。要正確利用該方法解題,需做好以下兩方面:(1)畫圖一般要分類討論,而在分類時要做到“不重復(fù),不遺漏”,即盡量避免重復(fù),而絕不能少考慮情況;(2)數(shù)形結(jié)合要做利用好圖的直觀性和數(shù)的精確性,即畫圖要有代表性并且相對準(zhǔn)確。
二、分離變量法――轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值
分離變量法是將主變量和參數(shù)分離,用主變量表示參數(shù),一般將命題轉(zhuǎn)化為“在某個區(qū)間D上,a≤f(x)或a≥f(x)(其中x為主變量,a為參數(shù))”的形式,從而將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最大值或最小值”,則a小于等于函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最小值或a大于等于函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最大值。例如下題:
三、構(gòu)造函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值
構(gòu)造函數(shù)法是通過構(gòu)造含參函數(shù)y=f(x),將命題轉(zhuǎn)化為“在某個區(qū)間D上,f(x)≥0或f(x)≤0”的形式,從而將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最大值或最小值”,則通過解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解參數(shù)的范圍。
綜上所知,a的取值范圍是(-∞,e)
構(gòu)造函數(shù)法是解決此類問題的一般方法,在高中階段恒成立問題幾乎都可用構(gòu)造函數(shù)法解決,即通過構(gòu)造含參函數(shù),求其最值,然后解不等式。一般情況下它不如分離參數(shù)法簡便,因為求解最值時一般要對參數(shù)進行分類討論,操作更為復(fù)雜,例如例3,而例3也可用分離參數(shù)相對簡便一些。若將第(2)問的條件變?yōu)閤∈[-1,+∞),則分離參數(shù)就不易操作了,所以本方法更具一般性。
關(guān)鍵詞:填空題;解答效率;路徑
一、理論角度詮釋提升高中數(shù)學(xué)填空題的方法
一般來說解決的方法有:直接法:從問題出發(fā),利用學(xué)過的數(shù)學(xué)定理、公式、定義等,經(jīng)過問題處理或者知識遷移進行推理計算出問題的答案;特殊化法:在解答的時候就可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值進行解析,這樣也能得到答案。另外,還有一種數(shù)形結(jié)合思想,就是把含有數(shù)學(xué)幾何中的問題,依據(jù)給出的已知條件畫出相應(yīng)的圖形,實現(xiàn)問題解答中數(shù)中有形,做到以形助數(shù)。除上面論述外,還有等價轉(zhuǎn)化法/構(gòu)造法和分析法等。
二、提升高中數(shù)學(xué)填空題解答效率的經(jīng)典案例探究
經(jīng)典案例1:如下圖在坐標(biāo)系中表達的數(shù)量關(guān)系,A1,A2,B1,B2是■+■=1(a>b>0)這個橢圓的四個頂點,其中圖上點F表示的就是橢圓的右焦點,T點就是A1B2與B1F兩條直線的交點,線段OT與橢圓的交點恰為線段的中點,求離心率( )。
對于橢圓來說,高中數(shù)學(xué)對其考查的內(nèi)容和形式都是十分頻繁的,并且有的時候會牽扯到其他知識點,這需要學(xué)生必須給予重視。針對本案例考查的知識點來說,需要學(xué)生對橢圓有一個全面的認(rèn)知,因為此試題主要考查的內(nèi)容包括橢圓的基本性質(zhì),如頂點、焦點坐標(biāo)、離心率的計算以及直線的方程等,這就可以運用直接法進行解答。
直線A1B2的方程為:■+■=1;
直線B1F的方程為:■+■=1。
二者聯(lián)立解得:T(■,■),
則M(■,■)在橢圓■+■=1(a>b>0)上,
■+■=1,c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,
解得:e=2■-5。
經(jīng)典案例2:若AB=2,AC=■BC,求SABC的最大值。
從題干中可以看出,問題主要考查的知識點就是關(guān)于三角形的面積、余弦定理以及函數(shù)等,可以說是一道比較具有綜合性的考題。按照常規(guī)的解題思維來求解的話,計算量比較大,并且由于給出的數(shù)字關(guān)系量很難得出正確答案。我們就可以換個角度去思考,選擇轉(zhuǎn)換值代入法進行解析。高中數(shù)學(xué)考查的試題當(dāng)中,如果有的量是未知的或者是不確定的,不是觀察或者找到的,但問題的最終答案又是一個定值的話,不妨采取將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置等來處理,這樣就很容易找到問題的切入點來解答問題了。
設(shè)BC=x,則AC=■x,
根據(jù)面積公式得SABC=■AB?BCsinB=x■,
根據(jù)余弦定理得cosB=■=■=■,
代入上式得SABC=x■=■,
由三角形三邊關(guān)系有■,
解得2■-2
故當(dāng)x=2■時,SABC取得最大值2■。
經(jīng)典案例3:將邊長為1的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=■,則S的最小值是______。
針對高中的復(fù)雜填空題,特別是牽扯到一些較為繁雜的三角函數(shù)、幾何知識的時候。為了簡化計算過程,可以巧用圖形就行求解,圖形可以很直觀很簡單地呈現(xiàn)問題,然后依據(jù)圖形就可以很簡便地得出問題答案了。本題給出的已知條件較少,看上去問題很簡便,但是不易下手,這就可以勾畫相關(guān)的圖形來輔助解題。
如圖,ABC是邊長為1的正三角形,EF∥BC,四邊形BCFE為梯形;設(shè)AE=x(0
S=■=■ (0
對S(x)求導(dǎo),令S′(x)=0,聯(lián)系0
所以x=■時S(x)有最小值S(■)=■。
經(jīng)典案例4:已知3f(2x2-1)+2f(1-2x2)=4x2,求f(x)是( )
從題目來看,比較復(fù)雜,按照傳統(tǒng)的按部就班的思想解題的話,計算量較大并且不易求解。利用化歸思想,就可以化繁為簡,把復(fù)雜的問題簡單化,簡易問題的處理方法,從而求解。具體來說,從給出的已知信息來看,可以令2x2-1=y則原式就可以簡單地轉(zhuǎn)化為3f(y)+2f(-y)=2y+2,再由新條件等式中f(y),f(-y)的特殊關(guān)系,再等式以-y代y,會得到另一個關(guān)于f(y),f(-y)的等式,最后我們通過解方程組求得f(x)。這樣就可以實現(xiàn)問題的成功轉(zhuǎn)化,簡化了問題分析和計算的過程。
解:令2x2-1=y,
原式為:3f(y)+2f(-y)=2y+2,
以-y代y
得:3f(-y)+2f(y)=-2y+2,
則■
3×①-2×②,得f(y)=2y+■,
即f(x)=2x+■。
參考文獻:
一、運用化歸的思想和方法求解數(shù)列問題
數(shù)列的通項公式、前n項和公式和數(shù)列知識應(yīng)用是整個高中數(shù)列解題的核心問題。在數(shù)列問題的解題中,求通項公式對解決數(shù)列問題來說非常重要。其解題方法多種多樣,其中許多數(shù)列問題可以用化歸的思想方法,把問題轉(zhuǎn)化成等差(比)數(shù)列問題進行解決,這樣就能非常方便地進行求解。
例1.把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差型數(shù)列an-an-1=f(n)形式求通項公式。
已知a1=1,an-an-1=n-1。求:an。
解題分析:對于此類等差型數(shù)列,常采用疊加法進行求解。
an-an-1=n-1,a2-a1=1,a3-a2=2,
a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1,an= 。
解題要點:用該方法求通項公式,一是疊加后等式左邊能進行錯項相消,二是等式右邊要能容易求和。
例2.把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等比型數(shù)列 =f(n)形式求通項公式。
已知a1=1, = 求:通項公式an。
解題分析:對于等比型數(shù)列求通項公式,一般采用把若干等式的左右兩邊分別相乘的方法,即累乘方法來求通項公式。
= , = , = … = 。
把這些等式左右分別相乘可得: = ,an= 。
要求:運用累乘方法求通項公式,要求等式兩邊能夠化簡。
二、運用函數(shù)和方程的思想求解數(shù)列問題
運用函數(shù)的概念與性質(zhì)對數(shù)列問題進行分析轉(zhuǎn)化,從而使數(shù)列問題容易求解;運用方程的思想求解數(shù)列問題,就是從數(shù)列問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā),把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成方程或不等式的形式來使問題得到解決。運用這兩種方法求解數(shù)列問題,要注意挖掘問題中的隱含條件,建立函數(shù)解析式和方程式是其解題的重點。
例3.有等差數(shù)列an,其前n項之和是Sn,a3=12,S12>0,S13
(1)求公差d的取值范圍;(2)求S1,S2,S3…S12中的最大值,并講出原因。
解題分析:(1)在本題中利用方程(不等式)的思想就比較容易求解問題,通過利用通項公式an和前n項和公式Sn來構(gòu)建不等式就能方便求出公差的范圍。(2)對于在數(shù)列問題中求前n項和的最大值問題,利用函數(shù)的思想和方法,把Sn的表達式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù),這樣問題就變成求函數(shù)的最值問題,此題就容易解
決了。
解題思路:(1)a3=a1+2d,可求出a1=12-2d,S12=12a1+66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,S13=13a1+78d=13(12-2d)+78d=156+52d0156+52d
(2)求Sn的函數(shù)表達式,Sn=na1+ n(n-1)d=n(12-2d)+ n(n-1)d= n- (5- )2- (5- )2,d
對于本題還可以換另一種思路來求解,即通過求出an>0,an+1a3>…>a13,根據(jù)S13=13a70,可得出S6的值最大。
三、運用數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列問題
數(shù)學(xué)歸納法也是求解數(shù)列問題的常用基本方法之一,運用歸納法其關(guān)鍵是要證明n=k+1時命題成立,該方法也是由遞推來進行歸納的解題方法。
例4.假設(shè)有an= + + +…+ ,n∈N
證明: n(n+1)
解題分析:此題和自然數(shù)n相關(guān),可運用數(shù)學(xué)歸納法求解證明。當(dāng)n=1容易求證,重點在于求n=k+1時,ak+1=ak+ 式子成立,因此,在n=k的式子中加入 ,再與所證明的結(jié)論進行比較來求解。根據(jù)歸納法的步驟,其求解思路如下:
當(dāng)n=1時,an= , n(n+1)= , (n+1)2=2,n=1時結(jié)論成立。
假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有, k(k+1)
當(dāng)n=k+1時,只要證明下式成立即可:
k(k+1)+
可先證明結(jié)論左邊式子: k(k+1)+ > k(k+1)+(k+1)= (k+1)(k+3)> (k+1)(k+2)。
再證明結(jié)論右邊式子: (k+1)2+ = (k+1)2+ < (k+1)2+(k+ )= (k+2)2。
(k+1)(k+2)
關(guān)鍵詞: 平面向量 常規(guī)解法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)
平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具,是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁,是江蘇高考的必考內(nèi)容,其中向量的數(shù)量積還是高考的C級要求,同時也是學(xué)生比較感興趣而又有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢?我結(jié)合教學(xué)體會小結(jié)如下.
一、合理拆分法
例1:已知O為ABC的外心,AB=4,AC=2,∠BAC為鈍角,M是邊BC的中點,則■?■的值等于多少?
分析:只要把向量■拆分為■+■,然后根據(jù)外心定義及一個向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.
例2:在平面上,■■■■,|■■|=|■■|=1,■=■■+■■.若|■|
分析:只要把已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化成以O(shè)點為起點的向量即可解決問題.
解:■■■■,
■■?■■=(■■-■)?(■■-■)=■■?■■-■■?■-■?■■+■■=0,
■■?■■-■■?■-■?■■=-■■.
■=■■+■■.
■-■=■■-■+■■-■,
■=■■+■■-■.
|■■|=|■■|=1,
■■=1+1+■■+2(■■?■■-■■?■-■■?■)=2+■■+2(-■■)=2-2■■.
|■|
■
二、數(shù)形結(jié)合,建立坐標(biāo)系法
例3:
如圖,若a=■,b=■,a與b夾角為120°,|a|=|b|=1,點P是以O(shè)為圓心的圓弧■上一動點,設(shè)■=x■+y■(x,y∈R),求x+y的最大值.
分析:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以把向量的運算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算.
解:以O(shè)為原點,OD為x軸建立直角坐標(biāo)系,
則D(1,0),E(-■,■).
設(shè)∠POD=α(0≤α≤■),則P(cosα,sinα).
由■=x■+y■,得cosα=x-■y,sinα=■y,
所以y=■sinα,x=cosα+■sinα,
所以x+y=cosα+■sinα=2sin(α+■).
又0≤α≤■,故當(dāng)α=■時,x+y的最大值為2.
利用向量的坐標(biāo)運算解題,主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)進行求解;在將向量用坐標(biāo)表示時,要看準(zhǔn)向量的起點和終點坐標(biāo),也就是要注意向量的方向,不要寫錯坐標(biāo).
三、兩邊平方或同時點乘同一個向量法
例3的解法二:設(shè)∠POD=α(0≤α≤■),由■?■=x■?■+y■?■,■?■=x■?■+y■?■,
可得cosα=x-■y,cos(■-α)=-■x+y.
于是x+y=2[cosα+cos(■-α]=2sin(α+■).
又0≤α≤■,故當(dāng)α=■時,x+y的最大值為2.
例4:(2013?湖南改編)已知a,b是單位向量,a?b=0,若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是?搖 ?搖.
分析:對條件|c-a-b|=1兩邊平方,這樣可以很順利地打開解題思路,
解:a?b=0,且a,b是單位向量,|a|=|b|=1.
又|c-a-b|■=c■-2c?(a+b)+2a?b+a■+b■=1,
2c?(a+b)=c■+1.
|a|=|b|=1且a?b=0,|a+b|=■,
c■+1=2■|c|cosθ(θ是c與a+b的夾角).
又-1≤cosθ≤1,0
c■-2■|c|+1≤0,
■-1≤|c|≤■+1.
如正弦定理的證明就是用的兩邊同時點乘一個向量的方法,余弦定理的證明就是用的兩邊平方法,兩種證法參見蘇教版必修五課本.
四、基底法(運用平面向量基本定理、平行向量定理)
例5:(2012?湖州模擬)如圖,在ABC中,D為BC的中點,G為AD的中點,過點G任作一直線MN分別交AB,AC于M,N兩點,若■=x■,■=y■,試問:■+■是否為定值?請證明你的結(jié)論.
分析:以不共線的兩個向量■、■為一組基底,把其他向量用這個基底線性表示.
解:■+■為定值,證明如下:
設(shè)■=a,■=b,則■=xa,■=yb,
■=■■=■(■+■)=■(a+b),
所以■=■-■=■(a+b)-xa=(■-x)a+■b,
■=■-■=yb-xa=-xa+yb.
因為■與■共線,所以存在實數(shù)λ,使■=λ■,所以(■-x)a+■b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb,又因為a與b不共線,所以■-x=-λx■=λy,
消去λ,得■+■=4為定值.
方法總結(jié):
1.如果題目中已知兩個不共線的向量的模與夾角,一般都是以這兩個不共線的向量為一組基底,其他向量用它線性表示,這樣問題就可得以解決.
2.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系,既可以證明向量共線,又可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點.
3.對于向量的線性運算,不但要掌握幾何法則,還要掌握坐標(biāo)運算法則,使二者有機結(jié)合.
參考文獻:
[1]江蘇省考試說明.