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正方形性質(zhì)
邊:兩組對(duì)邊分別平行;四條邊都相等;鄰邊互相垂直。
內(nèi)角:四個(gè)角都是90°,內(nèi)角和為360°。
對(duì)角線:對(duì)角線互相垂直;對(duì)角線相等且互相平分;每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
對(duì)稱性:既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形(有四條對(duì)稱軸)。
特殊性質(zhì):正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形,對(duì)角線與邊的夾角是45°;正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。
一、驗(yàn)證平方差公式
例1從邊長(zhǎng)為的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形紙板后,將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖1-1),然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖1-2),那么通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證成立的公式為_(kāi)________.
解析:從邊長(zhǎng)為的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形,則圖1-1陰影部分的面積為22;每個(gè)等腰梯形的高為,則每個(gè)等腰梯形的面積為×.
兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等,
22 = 4××.
可以驗(yàn)證成立的公式為
22 = ( + )().
例2 如圖2,在邊長(zhǎng)為的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形(>),然后將陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,分別計(jì)算這兩個(gè)陰影部分的面積,驗(yàn)證的公式是_______.
解析:從邊長(zhǎng)為的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形,則左圖面積表示為22.將陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,則右圖的面積表示為( + )().因?yàn)檫@兩個(gè)陰影部分的面積相等,所以22 = ( + )().
即驗(yàn)證的公式為22 = ( + )().
二、驗(yàn)證完全平方公式
例3 如圖3,將邊長(zhǎng)為 + 的正方形割成四個(gè)部分:兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 和的正方形,兩個(gè)長(zhǎng)為 、寬為的長(zhǎng)方形,請(qǐng)你分別計(jì)算分割前和分割后的圖形的面積,寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式__________.
解析:利用分割前與分割后的圖形面積相等的關(guān)系,
可列出( + )2 = 2 +++ 2 = 2 + 2 + 2.
代數(shù)恒等式為( + )2 = 2 + 2 + 2.
三、驗(yàn)證其它代數(shù)恒等式
例4閱讀材料并解答問(wèn)題:
我們已經(jīng)知道,完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來(lái)表示,實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示,例如(2 + )( + )= 22 + 3 + 2就可以用圖4-1或圖4-2等圖形的面積表示.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖4-3所表示的代數(shù)恒等式__________.
(2)試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形,使它的面積能表示( + )( + 3)= 2 + 4 + 32.
(3)請(qǐng)仿照上述方法另寫(xiě)一個(gè)含有、的代數(shù)恒等式,并畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形.
解析:(1)仿照例題,結(jié)合圖4-3可知:( + 2)(2 + )= 22 + 5 + 22.
(2)如圖4-4,畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)為+ 3,寬為+的長(zhǎng)方形,然后把它分割成1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形,4個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形和3個(gè)邊長(zhǎng)為 的小正方形.
(3)按題目要求可寫(xiě)出一個(gè)與上述不同的代數(shù)恒等式,畫(huà)出與所寫(xiě)代數(shù)恒等式對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形即可(具體過(guò)程略).
例5如圖5-1是一個(gè)邊長(zhǎng)為( + )的正方形,小穎將圖5-1中的陰影部分拼成圖5-2的形狀,則由圖5-1和圖5-2能驗(yàn)證的式子是().
A.( + )2()2 = 4 B.( + )2(2 + 2) = 2
C.()2 + 2 = 2 + 2 D.( + )() = 22
解析:由題意可知,拼圖前后陰影部分的面積保持不變.
一個(gè)小直角三角形的斜邊長(zhǎng)的平方為2 + 2,
小正方形的面積為2 + 2.
又圖5-1中大正方形的面積為( + )2,
拼圖前陰影部分的面積為( + )2(2 + 2).
拼圖后形成的菱形(即圖5-2)的面積為2,
蘇教版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)學(xué)》三年級(jí)(下冊(cè))
教學(xué)目標(biāo)
1.理解長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程,掌握運(yùn)用公式計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的面積。
2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作、概括和解決問(wèn)題的能力。
3.通過(guò)比較正方形和長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法的異同,滲透事物間相互聯(lián)系的辯證唯物主義觀念。
教學(xué)重點(diǎn)
讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、交流發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算方法,掌握面積計(jì)算公式。
教學(xué)難點(diǎn)
長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)舊知,引入新課
1.復(fù)習(xí)面積單位
師:同學(xué)們,上節(jié)課我們學(xué)習(xí)有關(guān)面積的知識(shí),常用的面積單位有哪些呢?(平方厘米、平方分米、平方米)
2.出示一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形,它的面積是l平方厘米,再出示一個(gè)長(zhǎng)方形,問(wèn):這個(gè)長(zhǎng)方形含有()個(gè)1平方厘米的正方形,它的面積是()。(多媒體演示過(guò)程)
3.小結(jié):剛才我們通過(guò)用數(shù)面積單位的方法,知道長(zhǎng)方形的面積。
多媒體出示:姚明照片。問(wèn):他是誰(shuí)呀?再出示籃球場(chǎng),如果想知道籃球場(chǎng)的面積是多少,也運(yùn)用這樣的面積單位去量,會(huì)有什么感覺(jué)?(學(xué)生說(shuō)太麻煩了)所以有沒(méi)有一種更好、更簡(jiǎn)便的方法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積呢?今天我們這節(jié)課就一起來(lái)研究長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算。(揭示課題)
(設(shè)計(jì)意圖:聯(lián)系學(xué)生熟悉的生活環(huán)境,以舊引新,激發(fā)認(rèn)知沖突。同時(shí)感受到數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活,數(shù)學(xué)能解決實(shí)際問(wèn)題,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。)
二、動(dòng)手操作,探究新知
1.多媒體出示一個(gè)長(zhǎng)方形,進(jìn)行圖形變化,得到四個(gè)大小不同的長(zhǎng)方形。通過(guò)這個(gè)長(zhǎng)方形的變化,猜一猜:長(zhǎng)方形的面積大小可能與什么有關(guān)?(學(xué)生說(shuō)與長(zhǎng)和寬有關(guān))長(zhǎng)方形的面積是不是與長(zhǎng)和寬有關(guān)呢?我們來(lái)做一個(gè)小小的實(shí)驗(yàn)。
(設(shè)計(jì)意圖:“猜一猜”有利于活躍課堂氣氛,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。放手讓學(xué)生大膽地猜想,是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的前提。)
2.動(dòng)手操作,驗(yàn)證猜想
(1)師:請(qǐng)每小組拿出準(zhǔn)備好的1平方厘米的正方形,小組合作擺出長(zhǎng)方形,然后一起看一看擺成的每個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是多少厘米,寬是多少厘米,用了多少個(gè)1平方厘米的正方形,面積是多少。
(2)由每組的小組長(zhǎng)匯報(bào)結(jié)果,老師板書(shū):
(設(shè)計(jì)意圖:兒童天性好動(dòng),在活動(dòng)中容易使他們集中注意力誘發(fā)學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)動(dòng)手操作,使學(xué)生能真正參與知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,能更深刻地理解長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式。培養(yǎng)了學(xué)生的操作能力,促進(jìn)學(xué)生動(dòng)作思維的發(fā)展,同時(shí)滲透了學(xué)習(xí)方法。)
(3)請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)地觀察記錄表中的數(shù)據(jù),你發(fā)現(xiàn)了什么?
生:長(zhǎng)方形的面積所含的平方厘米數(shù)就是它的長(zhǎng)與寬所含的厘米數(shù)的乘積。
師:我們簡(jiǎn)單地記為(板書(shū)):長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬
(4)驗(yàn)證。
師:這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否準(zhǔn)確無(wú)誤呢?我們還要對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行驗(yàn)證。仍舊以小組為單位,用若干個(gè)1平方厘米的小正方形拼成長(zhǎng)方形,怎么想怎么拼,并填表。
為了更簡(jiǎn)明,我們還可以用字母表示這個(gè)公式:s=a×b(板書(shū))
(設(shè)計(jì)意圖:發(fā)現(xiàn)也有可能是錯(cuò)誤或部分錯(cuò)誤的,因此,發(fā)現(xiàn)后必須進(jìn)行驗(yàn)證,這是科學(xué)研究的重要環(huán)節(jié)。有拼面積相同的長(zhǎng)方形到拼各種大小、形狀各異的長(zhǎng)方形,滲透了從特殊到一般的推理方法。)
3.小結(jié):
師:在各小組的努力下,我們證實(shí)了你們的發(fā)現(xiàn):長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬是正確的,讓我們用熱烈的掌聲對(duì)自己表示祝賀!
三、實(shí)踐應(yīng)用,鞏固新知
1.師:同學(xué)們,在剛開(kāi)始用1平方厘米的正方形去量籃球場(chǎng)的面積太麻煩了,現(xiàn)在你們能計(jì)算出籃球場(chǎng)的面積嗎?
(設(shè)計(jì)意圖:運(yùn)用課堂學(xué)習(xí)的方法,立即解決課始的問(wèn)題,既培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力,又起到鞏固知識(shí)、加深理解公式的作用,更有首尾呼應(yīng)之妙!)
2.搶答,求面積。
由(3)變化到(4),當(dāng)學(xué)生答出3×3=9(平方米)時(shí),教師追問(wèn):這個(gè)圖形實(shí)際是個(gè)什么圖形?(學(xué)生說(shuō)正方形)那么正方形的面積可以怎樣計(jì)算?學(xué)生回答,老師板書(shū):正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)
3.智力沖浪:看來(lái),同學(xué)們都掌握了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算方法,現(xiàn)在蘇老師來(lái)考考你們:
(1)出示:手工課上,張老師要求學(xué)生在一張長(zhǎng)8厘米,寬5厘米的長(zhǎng)方形紙上剪下一個(gè)面積最大的正方形。你們知道剩下紙片的面積是多少嗎?
(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的稻田,長(zhǎng)是40米,寬是長(zhǎng)的一半,這塊稻田的周長(zhǎng)和面積各是多少?
(設(shè)計(jì)意圖:練習(xí)設(shè)計(jì)與學(xué)生的生活實(shí)際相聯(lián)系,能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化、生活知識(shí)數(shù)學(xué)化。練習(xí)設(shè)計(jì)有層次、有坡度,有利于全體學(xué)生都參與。)
四、總結(jié)評(píng)價(jià),促進(jìn)發(fā)展
姓名:________
班級(jí):________
成績(jī):________
小朋友們,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí),你們一定進(jìn)步不少吧,今天就讓我們來(lái)檢驗(yàn)一下!
一、選擇題
(共8題;共16分)
1.
(2分)
1平方米和1米的大?。?/p>
)。
A
.
1平方米大
B
.
1米大
C
.
不能比較
2.
(2分)
面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形,它們的周長(zhǎng)是(
)
A
.
不相等
B
.
相等
C
.
不一定相等
3.
(2分)
用8個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,有(
)種拼法。
A
.
1
B
.
2
C
.
3
D
.
4
4.
(2分)
用8分米的鐵絲圍成一個(gè)正方形,正方形的面積是(
)平方分米。
A
.
4
B
.
8
C
.
2
5.
(2分)
一個(gè)長(zhǎng)方形的寬是1.2分米,長(zhǎng)是寬的2.4倍,求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積下面列式正確的是(
)
A
.
(1.2+2.4)×2
B
.
1.2×2.4
C
.
1.2×2.4×1.2
6.
(2分)
(2018三下·云南月考)
一個(gè)正方形邊長(zhǎng)擴(kuò)大3倍,面積就擴(kuò)大(
)。
A
.
3倍
B
.
6倍
C
.
9倍
7.
(2分)
周長(zhǎng)相同的圓、正方形和長(zhǎng)方形,面積最大的是(
)。
A
.
正方形
B
.
長(zhǎng)方形
C
.
圓
8.
(2分)
一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是80cm,它的面積是(
)。
A
.
80cm2
B
.
6400
cm2
C
.
400
cm2
二、非選擇題
(共17題;共61分)
9.
(2分)
長(zhǎng)方形的面積=________×________。
10.
(3分)
我會(huì)填。
(1)
一款平板電腦的屏幕長(zhǎng)14厘米、寬7厘米,這款平板電腦屏幕的面積是________平方厘米。
(2)
一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是6厘米,它的周長(zhǎng)是________厘米,面積是________平方厘米。
11.
(2分)
計(jì)算下列圖形的周長(zhǎng)和面積.(單位:cm)
周長(zhǎng):________cm
面積:________
12.
(4分)
長(zhǎng)方形的面積=________×________,正方形的面積=________×________。
13.
(2分)
一個(gè)長(zhǎng)4cm、寬3cm的長(zhǎng)方形按3:1放大,得到的圖形的周長(zhǎng)是________cm,面積是________cm2
.
A.36B.42C.72D.108.
14.
(2分)
一個(gè)長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)是a
m,寬是b
m,它的面積是________?m2
,
周長(zhǎng)是________?m。
15.
(2分)
(2015·紅花崗)
在一張邊長(zhǎng)10厘米的正方形紙中剪一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是________ 平方厘米,它占正方形面積的________%.
16.
(1分)
一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)7米,寬3米,面積是________。
17.
(4分)
長(zhǎng)加寬括起來(lái)乘以2求的是長(zhǎng)方形的________,長(zhǎng)方形的面積公式是________,邊長(zhǎng)乘以4求的是________的周長(zhǎng),它的面積公式是________。
18.
(1分)
邊長(zhǎng)是10m的正方形中放置一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是________m2
.
19.
(3分)
王小剛家的客廳地面長(zhǎng)6________,寬5________,面積是30________。
20.
(2分)
邊長(zhǎng)是1千米的正方形土地,它的面積是________平方米,也是________平方千米.
21.
(1分)
(2018六下·云南期末)
當(dāng)長(zhǎng)方形、正方形和圓的周長(zhǎng)相等時(shí),________的面積較大。
22.
(2分)
乒乓桌的桌面是一個(gè)長(zhǎng)方形,它的長(zhǎng)約27dm,面積約405dm2
,
它的寬是________,周長(zhǎng)是________.
23.
(5分)
一個(gè)零件的形狀如下圖。(單位:厘米)這個(gè)零件的面積和周長(zhǎng)分別是多少?
24.
(20分)
先測(cè)量,再計(jì)算面積。
(1)
(2)
(3)
(4)
25.
(5分)
王爺爺?shù)牟说亻L(zhǎng)40米,寬30米,王爺爺在菜地里收了兩條寬2米的小路,剩下菜地的面積是多少?(如圖)
參考答案
一、選擇題
(共8題;共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、非選擇題
(共17題;共61分)
9-1、
10-1、
10-2、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
23-1、
24-1、
24-2、
24-3、
第六冊(cè)第123—124頁(yè)。
教材分析:本節(jié)課要使學(xué)生初步理解長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算方法,學(xué)會(huì)運(yùn)用公式正確地計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的面積。為此教學(xué)時(shí),要先使學(xué)生認(rèn)識(shí)到求平面圖形的面積,用面積單位直接度量,這種方法比較麻煩。再通過(guò)嘗試、操作,導(dǎo)出求長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式,在此基礎(chǔ)上,類推出正方形面積計(jì)算公式。在學(xué)生的操作實(shí)踐活動(dòng)中,培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、推理、抽象概括的能力。
學(xué)生分析:前面剛剛學(xué)習(xí)面積和面積單位這一知識(shí)點(diǎn),學(xué)生已初步感知面積和面積單位,具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)。他們樂(lè)于探究、善于合作。
設(shè)計(jì)理念:
1、聯(lián)系現(xiàn)實(shí),創(chuàng)設(shè)情境,注重融合。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo):要"選取密切聯(lián)系學(xué)生生活、生動(dòng)有趣的素材"、"素質(zhì)應(yīng)當(dāng)來(lái)源于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)",這里的現(xiàn)實(shí)應(yīng)該是學(xué)生在自己的生活中能夠見(jiàn)到的、聽(tīng)到的、感受到的。在其中又具有一定的數(shù)學(xué)價(jià)值。
2、在開(kāi)放中合作,在交流中收獲。
新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出:應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與,樂(lè)于探究,培養(yǎng)學(xué)生合作的能力。而小組學(xué)習(xí)是合作交流的重要形式,學(xué)生在開(kāi)放的小組群體中,可以自由自在地交談,無(wú)拘無(wú)束地討論,獨(dú)立思考,相互學(xué)習(xí)。在討論與交流中,思維呈開(kāi)放的態(tài)勢(shì),不同見(jiàn)解,不同觀點(diǎn)相互碰撞,相互引發(fā),實(shí)現(xiàn)個(gè)人與他人,小組與全班的全程互動(dòng)。
教學(xué)過(guò)程:
一、 聯(lián)系實(shí)際,導(dǎo)入新課。
1、 提問(wèn):上節(jié)課,同學(xué)們認(rèn)識(shí)了面積和面積單位。什么叫做面積?常用的面積單位有哪些?
2、 出示下圖,并提問(wèn):這兩個(gè)圖形哪個(gè)面積比較大,大多少?你們有什么辦法比較嗎?
(生:用1平方分米的面積單位進(jìn)行測(cè)量)
教師及時(shí)肯定學(xué)生愛(ài)動(dòng)腦,積極地想出解決的辦法
3、 提問(wèn):要想知道學(xué)校足球場(chǎng)面積有多大,你們?cè)趺礈y(cè)量呢?(生:用1平方米的面積單位去測(cè)量。)
教師笑而不答,繼續(xù)問(wèn):要想知道中國(guó)土地面積有多大,你們?cè)趺礈y(cè)量呢?自然使學(xué)生悟出:用面積單位一個(gè)一個(gè)擺,去測(cè)量的方法太麻煩,也不實(shí)際。
4、 教師與此同時(shí)及時(shí)巧妙設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生去探索。
用面積單位去測(cè)量的方法不現(xiàn)實(shí),那么有沒(méi)有一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法可以求出長(zhǎng)方形和正方形的面積呢?這節(jié)課我們就來(lái)研究。(板書(shū):長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算。)
(設(shè)計(jì)意圖:聯(lián)系實(shí)際,巧妙設(shè)疑,激活學(xué)生探求新知的欲望,調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性)
二、 研討新課。
1、 分組操作
(1) 學(xué)生分成四個(gè)小組,按組分別發(fā)給每個(gè)同學(xué)一個(gè)長(zhǎng)方形紙板,要求學(xué)生先用直尺量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。
(2) 用面積是1平方厘米的正方形量一量長(zhǎng)方形的面積,邊量邊思考以下問(wèn)題:
1) 你用1平方厘米的小正方形沿長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊擺,一排可以擺()個(gè)1平方厘米,擺一排的面積是()平方厘米。
2) 沿著長(zhǎng)方形的寬邊可以擺()個(gè)1平方厘米的正方形,也就是說(shuō)可以擺()排。
3) 長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系?
2、 組織討論
四個(gè)小組測(cè)量操作完畢,圍繞以上三個(gè)問(wèn)題組織討論。
結(jié)合討論結(jié)果教師板書(shū):
每排平方厘米數(shù)×排數(shù)=面積
(長(zhǎng)的厘米數(shù))(寬的厘米數(shù))(長(zhǎng)和寬厘米數(shù)的乘積)
一組:5×3=15
二組:6×2=12
三組:5×4=20
四組:6×3=18
長(zhǎng)×寬大=面積
3、 抽象概括并板書(shū):
長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬
4、 理解反饋
(1)指導(dǎo)并完成書(shū)第123頁(yè)()里的問(wèn)題
(2)指名說(shuō)出5×3=15(平方厘米)中的5表示什么?3表示什么?15表示什么?
5、 驗(yàn)證結(jié)論
要求用12個(gè)1平方厘米的正方形拼長(zhǎng)方形,怎樣想就怎樣拼。拼后回答問(wèn)題(在媒體展示臺(tái)上向?qū)W生展示)
(1) 你是怎么拼的?
(2) 你拼的長(zhǎng)方形的面積是多少?
(3) 長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬所含的厘米的乘積有什么關(guān)系?
(4) 怎樣用簡(jiǎn)便辦法求長(zhǎng)方形面積?
(設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化了算理教學(xué),在學(xué)生充分操作感知基礎(chǔ)上,抓內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生先直觀理解,再去抽象概括和驗(yàn)證長(zhǎng)方形面積的公式,讓學(xué)生全方位參與整個(gè)過(guò)程,實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的自我評(píng)價(jià)。)
6、公式應(yīng)用。
(1)口答長(zhǎng)方形的面積
①長(zhǎng)15厘米,寬3厘米。
②長(zhǎng)8分米,寬4分米。
③長(zhǎng)4米,寬2米。
(2)計(jì)算圖形(出示邊長(zhǎng)為4分米的正方形)的面積先讓每個(gè)學(xué)生試算,再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)正方形的面積該怎樣計(jì)算?
板書(shū):正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)
(3)出示例題,讓學(xué)生獨(dú)立解答,填在書(shū)上。
7、師生小結(jié),并讓學(xué)生質(zhì)疑、釋疑。
(巧妙地運(yùn)用長(zhǎng)方形與正方形之間聯(lián)系,讓學(xué)生得出正方形的面積計(jì)算公式,既突出重點(diǎn),又溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。)
三、開(kāi)放練習(xí),拓展提高。
1、量教學(xué)課本封面長(zhǎng)與寬,并計(jì)算它的面積。
2、做出第124的做一做。
3、走進(jìn)聰明屋:一張紙長(zhǎng)3分米,寬2分米,如果要把這張紙剪成一個(gè)最大正方形,剪去部分的面積是多少平方分米?
(設(shè)計(jì)意圖:巧用層次性練習(xí),給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)綜合應(yīng)用的空間,更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。)
四、課堂作業(yè),練十八第2、5題。
五、課堂小結(jié)
又到了本節(jié)課的實(shí)話實(shí)說(shuō)的時(shí)刻,這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你最想說(shuō)什么?(自己的收獲或者同學(xué)之間的評(píng)價(jià))
教學(xué)一點(diǎn)思考:
1、在新的課程改革的理念下,實(shí)現(xiàn)教材多樣化,因此作為教師應(yīng)努力實(shí)現(xiàn)成為教材的開(kāi)發(fā)者和研究者。聯(lián)系生活,整合教材;匯集眾家之長(zhǎng),依據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平,創(chuàng)設(shè)探索性和開(kāi)放性的情境,使數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化,從而激發(fā)學(xué)生求知的欲望,有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。
2、強(qiáng)化了算理教學(xué),在學(xué)生動(dòng)手操作充分感知的基礎(chǔ)上,緊抓事物之間的內(nèi)在聯(lián)系,逐步推導(dǎo),讓學(xué)生先理解,再去抽象、概括和驗(yàn)證。體現(xiàn)學(xué)生元認(rèn)知的形成過(guò)程,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我評(píng)價(jià)和發(fā)展。使學(xué)生的個(gè)性得以充分彰顯。
我在教學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形的面積時(shí),就體驗(yàn)到數(shù)學(xué)圖形鏈的潛在的生命力,它充滿了價(jià)值,對(duì)幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)有巨大的推動(dòng)作用。
一、認(rèn)識(shí)載體,探索“圖形鏈”
由于小學(xué)階段對(duì)平面圖形的學(xué)習(xí)是從長(zhǎng)方形(矩形)和正方形的認(rèn)識(shí)開(kāi)始的,在教學(xué)圖形面積計(jì)算時(shí),為了找到一種內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律,我把長(zhǎng)方形的面積公式作為載體。在推導(dǎo)公式時(shí),我以長(zhǎng)方形為基本圖形,通過(guò)拼圖、平移、數(shù)格子、課件演示等形式去探索解決的途徑,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握每一步的來(lái)龍去脈,把有關(guān)長(zhǎng)方形的理論概念歸納出來(lái),把情境和思路創(chuàng)設(shè)出來(lái),把問(wèn)題疏理出來(lái),使探索的每一步不迷失方向、推理不失控。在推導(dǎo)過(guò)程中,我鼓勵(lì)學(xué)生反思,同時(shí)允許學(xué)生質(zhì)疑,這樣有利于促進(jìn)學(xué)生定勢(shì)思維向抽象思維遷移,為下一步推導(dǎo)新公式打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
二、溫故知新,發(fā)現(xiàn)“圖形鏈”
為了進(jìn)一步探索和發(fā)現(xiàn)圖形鏈,可在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)回歸生活、貼近實(shí)際的教學(xué)情境,如我們每天面對(duì)的黑板是長(zhǎng)方形,它是我們長(zhǎng)知識(shí)、學(xué)知識(shí)的用武之地;毛巾也是長(zhǎng)方形,它是我們?nèi)粘I畹谋匦杵贰ㄟ^(guò)舉例使學(xué)生的情感和興趣始終處于最佳狀態(tài),從而保證教學(xué)活動(dòng)的有效性和預(yù)見(jiàn)性。由于長(zhǎng)方形是其他圖形的本體,在推導(dǎo)其他圖形面積公式時(shí),都從長(zhǎng)方形的面積公式入手,通過(guò)作圖和拼圖,再引導(dǎo)學(xué)生觀察、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)。緊接著在教學(xué)正方形的面積計(jì)算時(shí),首先給學(xué)生一個(gè)結(jié)論“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”,這樣學(xué)生就會(huì)想到“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”,那么正方形的面積也可以等于長(zhǎng)乘寬,只不過(guò)是正方形的邊長(zhǎng)沒(méi)有長(zhǎng)寬之分,長(zhǎng)和寬都稱為邊長(zhǎng),于是得出正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。又如在推導(dǎo)三角形(一般以直角三角形為例)面積公式時(shí),也是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出來(lái)的,即在長(zhǎng)方形中,作一條對(duì)角線,分割后便可得到兩個(gè)完全一樣的直角三角形,而其中的任何一個(gè)直角三角形的面積便是該長(zhǎng)方形面積的一半,因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬正好是直角三角形的底和高,所以三角形的面積=底×高÷2。往后還可以推導(dǎo)梯形和平行四邊形的面積公式??傊辛碎L(zhǎng)方形面積這個(gè)特定的計(jì)算方法后,學(xué)生明顯感到推導(dǎo)其他圖形的面積公式非常方便。
三、編兒歌,歸納“圖形鏈”
背詩(shī)歌、唱民謠是兒童的拿手好戲。在教學(xué)中,我根據(jù)學(xué)生的接受能力和實(shí)際需要,根據(jù)圖形的不同特征編成通俗易懂的兒歌,讓學(xué)生帶著興趣、帶著感情去學(xué)。由于長(zhǎng)方形和正方形是統(tǒng)一體,只是正方形是特殊的長(zhǎng)方形,它們計(jì)算方法都是一致的,于是我將它們編成兒歌:計(jì)算圖形的面積,都從長(zhǎng)方形開(kāi)始,正方形是好鄰居,計(jì)算方法相一致。因?yàn)槿切我彩菑拈L(zhǎng)方形中平均分割出來(lái)的,所以三角形的面積公式更容易記,即:三角形是小旗紙,長(zhǎng)方形中暫分離,長(zhǎng)寬等于底和高,一半便是它面積。同樣,將長(zhǎng)方形平均斜割后便可得到兩個(gè)完全一樣的梯形,這時(shí)梯形上下底之和正好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),高就是長(zhǎng)方形的寬,于是梯形的面積又可編為:梯形面積要牢記,矩形懷中兩分離,上下之和一條底,一半便是它面積。顯而易見(jiàn),只要將能活動(dòng)的長(zhǎng)方形模型向左或向右稍作平移,一個(gè)完整的平行四邊形就出來(lái)了,然后將平行四邊形割補(bǔ)又成了長(zhǎng)方形,其實(shí)平行四邊形的面積是根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬延伸為底乘高,所以平行四邊形的面積也可編為:平行四邊形面積,矩形定出好主意,割補(bǔ)拼成同一體,計(jì)算方法是一致。
四、實(shí)踐操作,體驗(yàn)“圖形鏈”
讓學(xué)生動(dòng)手操作,實(shí)踐應(yīng)用是課堂教學(xué)中強(qiáng)化鞏固的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。教學(xué)中,我順應(yīng)新課程理念,倡導(dǎo)實(shí)際操作,親身體驗(yàn),不主張死記硬背、機(jī)械照搬,注重培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)與實(shí)踐能力,鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和實(shí)踐應(yīng)用來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題。為了便于學(xué)生操作,我設(shè)法給學(xué)生提供具有針對(duì)性和實(shí)用性的課件或教具,如直尺、膠片、模型等多種感性材料讓學(xué)生操作,鎖定圖形后,再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)需要計(jì)算面積。在計(jì)算圖形面積時(shí),我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生:它們都是從哪個(gè)圖形推導(dǎo)出來(lái)的?它們各部分間的關(guān)系如何?你能作圖并能說(shuō)出它們的名稱嗎?等等。如要計(jì)算三角形的面積,并不是一開(kāi)始就演示三角形,而是要求學(xué)生作一個(gè)長(zhǎng)方形,再?gòu)拈L(zhǎng)方形中割一個(gè)三角形,通過(guò)對(duì)照比較,找出三角形的底邊和高,最后套入計(jì)算公式。這樣,學(xué)生的操作能力得到發(fā)揮,運(yùn)用能力也得到鞏固,有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)上述方法進(jìn)行教學(xué),學(xué)生對(duì)常見(jiàn)的平面圖形的計(jì)算方法有了質(zhì)的認(rèn)識(shí),對(duì)不同的圖形能靈活運(yùn)用公式且不混淆。
平方差公式
同步測(cè)試題
班級(jí):_____________姓名:_____________
一、選擇題
(本題共計(jì)
8
小題
,每題
3
分
,共計(jì)24分
,
)
1.
若x2-y2=100,x+y=-25,則x-y的值是(
)
A.5
B.4
C.-4
D.以上都不對(duì)
2.
下列可以用平方差公式計(jì)算的式子是(
)
A.(x-y)(y-x)
B.(a+3)(a+3)
C.(-x+y)(-x-y)
D.(-a-3)(a+3)
3.
下列各式中,計(jì)算結(jié)果為81-x2的是(
)
A.(x+9)(x-9)
B.(x+9)(-x-9)
C.(-x+9)(-x-9)
D.(-x-9)(x-9)
4.
觀察下面圖形,從圖1到圖2可用式子表示為(
)
A.a+ba-b=a2-b2
B.a2-b2=a+ba-b
C.a+b2=a2+2ab+b2
D.a2+2ab+b2=a+b2
5.
已知M=4-122+124+128+1216+1,則M的個(gè)位為(
)
A.1
B.3
C.5
D.7
6.
3a-2b-3a-2b=(
)
A.9a2-6ab-b2
B.b2-6ab-9a2
C.9a2-4b2
D.4b2-9a2
7.
在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形()(如圖甲),把余下的部分拼成一個(gè)矩形(如圖乙),根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等,可以驗(yàn)證(
)
A.
B.
C.
D.
8.
如圖,從邊長(zhǎng)為a的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形,然后將剩余部分剪后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,上述操作能驗(yàn)證的等式是(
)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2+ab=a(a+b)
二、填空題
(本題共計(jì)
7
小題
,每題
3
分
,共計(jì)21分
,
)
9.
已知a+b=4,a-b=3,則a?2-b2=________.
10.
計(jì)算:(-1-2a)(2a-1)=________.
11.
計(jì)算:(x+2)(x-2)(x2+4)=________.
12.
若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,則a+b=________.
13.
若(2x-3y)?N=9y2-4x2,那么代數(shù)式N應(yīng)該是________.
14.
已知x-ax+a=x2-9,那么a=________.
15.
在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b)(如圖(1)),把余下的部分沿虛線剪開(kāi),拼成一個(gè)矩形(如圖(2)),分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證的乘法公式是________.(用字母表示)
三、解答題
(本題共計(jì)
8
小題
,共計(jì)75分
,
)
16.
怎樣簡(jiǎn)便就怎樣計(jì)算:
(1)1232-124×122???????????????????????????(2)(2a+b)(4a2+b2)(2a-b)
17.
化簡(jiǎn):3a+2b-3a+2b9a2+4b2.
18.
(1+2a)(1-2a)(1-4a2)
19.
計(jì)算:2x+12x-14x2+1.
20.
解答下列小題:
25=(??)2,9x2=(??)2?.
觀察多項(xiàng)式x2-25,9x2-y2,它們有什么共同特征?嘗試將它們分別寫(xiě)成兩個(gè)因式的乘積,并與同伴交流.
平方差公式:把乘法公式a+ba-b=a2-b2反過(guò)來(lái),就得到____________.
21.
觀察下列算式:39×41=402-12,48×52=502-22,65×75=702-52,83×97=902-72…,請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示出來(lái).(給定字母m,n)
22.
乘法公式的探究及應(yīng)用.
(1)如左圖,可以求出陰影部分的面積是________(寫(xiě)成兩數(shù)平方差的形式);
(2)如右圖,若將陰影部分裁剪下來(lái),重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,它的寬是________,長(zhǎng)是________,面積是________.(寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式)
(3)比較左、右兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式________.(用式子表達(dá))
(4)運(yùn)用你所得到的公式,計(jì)算下列各題:
①10.3×9.7
②(2m+n-p)(2m-n+p)
23.
在邊長(zhǎng)為a的正方形的一角減去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形(a>b),如圖①
(1)由圖①得陰影部分的面積為_(kāi)_______.
(2)沿圖①中的虛線剪開(kāi)拼成圖②,則圖②中陰影部分的面積為_(kāi)_______.
【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889(2012)12A-0066-02
【教學(xué)片斷】
這是一節(jié)關(guān)于圓的面積計(jì)算的練習(xí)課。在基本練習(xí)之后,教師用課件依次出示3道練習(xí)題。
1.一張正方形紙的邊長(zhǎng)是10厘米,把這張紙剪成一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是多少平方厘米?(如下圖所示)
2.一張正方形紙的面積是144平方厘米,把這張紙剪成一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是多少平方厘米?
3.一張正方形紙的面積是80平方厘米,把這張紙剪成一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是多少平方厘米?
第1題,學(xué)生都能用常規(guī)的方法解答。
師:第一題,誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這道題的解題思路與方法。
生1:這個(gè)圓的面積是3.14×()2=3.14×25=78.5(平方厘米)。我是這樣想的:要求圓的面積必須知道圓的半徑,正方形的邊長(zhǎng)與圓的直徑相等,先用正方形的邊長(zhǎng)除以2算出圓的半徑,然后再運(yùn)用公式算出圓的面積。
第2題,按照一般的解法需要知道正方形的邊長(zhǎng),可題目提供的是正方形的面積,144是一個(gè)完全平方數(shù),這時(shí),學(xué)生的思維受阻,在學(xué)生困惑時(shí)教師作了提示:
從正方形的面積是144平方厘米,你能算出它的邊長(zhǎng)嗎?
生1:正方形的面積是144平方厘米,144等于某個(gè)數(shù)的平方。
生2:也就是144是兩個(gè)相同的數(shù)的乘積。
生3用了湊數(shù)法:10×10=100,11×11=121,12×12=144,所以這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米。
生4用了分解質(zhì)因數(shù)法:144=2×2×2×2×3×3,所以144=12×12,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米。
有了正方形的邊長(zhǎng),學(xué)生很快就解決了這個(gè)問(wèn)題,圓的面積是:3.14×()2=3.14×36=113.04(平方厘米)。
有了第2題的解題經(jīng)驗(yàn),學(xué)生認(rèn)為第三題只要根據(jù)正方形的面積找出正方形的邊長(zhǎng)就可以了??墒?0并不是一個(gè)完全平方數(shù),用“湊”的方法是“湊”不出正方形的邊長(zhǎng)了,學(xué)生們陷入了思維的困境。
這時(shí)教師適時(shí)點(diǎn)撥:是啊,80不是一個(gè)完全平方數(shù),用我們現(xiàn)有的方法求不出正方形的邊長(zhǎng)。那么如果不求出正方形的邊長(zhǎng),可以求出圓的面積嗎?
教師啟發(fā)后,進(jìn)行小組內(nèi)交流、討論,不久,有些小組就有了自己的想法。
組1:我們組是這樣想的:設(shè)圓的半徑是r,那么這個(gè)圓的面積是3.14r2;正方形的邊長(zhǎng)是圓的直徑,也就是2r,所以正方形面積是4r2,由此可以知道圓的面積是正方形的=。圓的面積就等于正方形的面積乘,即:80×=62.8平方厘米。
組2:我們組是這樣想的:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a,那么圓的半徑是,正方形的面積是a2,圓的面積是3.14×()2=a2,因?yàn)檎叫蔚拿娣e是80平方厘米,所以圓的面積是80×=62.8平方厘米。
師:你們兩個(gè)小組真棒!用字母表示正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑,找出了它們面積之間的關(guān)系,也能求出圓的面積。如果正方形的面積是200平方厘米,你能算出圓的面積嗎?正方形的面積是a平方厘米,圓的面積是多少呢?
學(xué)生最后發(fā)現(xiàn),這里的圓的面積其實(shí)就是正方形面積的。
【反思】
小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是思維發(fā)展的過(guò)程。在上述片斷里,通過(guò)層層遞進(jìn)的題組設(shè)計(jì),引起思維沖突,不斷提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。
一、打破平衡,激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
布魯納說(shuō)過(guò):“學(xué)習(xí)的最好刺激,是對(duì)所學(xué)材料的興趣?!痹谶M(jìn)行了一定量的常規(guī)練習(xí)后,學(xué)生對(duì)圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法已基本掌握并形成了一定的技能,如果再繼續(xù)做一些常規(guī)性的練習(xí),其作用也只能是機(jī)械重復(fù),學(xué)生的思維只能停留在原有的認(rèn)知層面上,甚至對(duì)練習(xí)失去興趣。因此只有打破學(xué)生已有的平衡,讓學(xué)生在對(duì)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題的思考中不斷建立新的平衡。
第一個(gè)問(wèn)題無(wú)疑是基本的問(wèn)題,學(xué)生根據(jù)已有的圓的面積公式就能求出;第二個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn),打破了學(xué)生已有的平衡,根據(jù)第一題的經(jīng)驗(yàn),要先求出正方形的邊長(zhǎng),學(xué)生根據(jù)正方形的面積是144平方厘米,運(yùn)用列舉、分解質(zhì)因數(shù)等方法求出正方形的面積,實(shí)現(xiàn)了新的平衡;第三個(gè)問(wèn)題,學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)不能求出正方形的邊長(zhǎng),又一次打破了平衡。這時(shí)圓的面積該怎樣求呢?學(xué)生在分組討論、交流,借助字母再次實(shí)現(xiàn)了平衡,發(fā)現(xiàn)根據(jù)正方形與圓的面積關(guān)系同樣可以求出圓的面積。
這三個(gè)問(wèn)題的層次是不一樣的。在層層深入的思考中,不斷激活了學(xué)生的思維。
二、建構(gòu)模型,提升學(xué)生的思維品質(zhì)
學(xué)生會(huì)做題,不一定就完成了教學(xué)任務(wù)。數(shù)學(xué)練習(xí)的關(guān)鍵是看學(xué)生的思維品質(zhì)是否得到提升。上述片斷中,教師不只滿足于解題,而是滲透著數(shù)學(xué)模型的思想,幫助學(xué)生在層層深入的解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了知識(shí)模型的建構(gòu)。
在上述題組練習(xí)中,教師改動(dòng)題中數(shù)據(jù),從特殊(完全平方數(shù))到一般(非完全平方數(shù)),讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析發(fā)現(xiàn)了圓面積與正方形之間的關(guān)系,成功建立起數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型后,教師又稍作修改,促使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。此舉大大提高了學(xué)生建立、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的自覺(jué)性和主動(dòng)性,從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
縱觀整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程,學(xué)生經(jīng)歷了逐層抽象,運(yùn)用列舉、推理等方法建立了數(shù)學(xué)模型和利用模型解決問(wèn)題的過(guò)程,并在解題過(guò)程中提升了思維品質(zhì)。
三、適時(shí)啟發(fā),引領(lǐng)思維向縱深發(fā)展
新課程改革以來(lái),“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一理念不斷深入人心,然而也出現(xiàn)了很多課堂上教師不敢講的“缺位”現(xiàn)象。事實(shí)上,由于學(xué)生的知識(shí)水平和閱歷有限,在多數(shù)情況下他們的思維是不可能自發(fā)地得到提升的。在他們學(xué)習(xí)困惑處,在似懂非懂、似通非通、欲言難言時(shí),最需要教師的啟發(fā)。
在上述片斷中,第1題,無(wú)疑是解決圓的面積的基礎(chǔ),然而第2題的出現(xiàn),學(xué)生出現(xiàn)了困惑,教師給出了提示:“你能算出正方形的邊長(zhǎng)嗎?”在第3題學(xué)生無(wú)法找尋出正方形的邊長(zhǎng)時(shí),教師又適時(shí)提示:“那么如果不求出正方形的邊長(zhǎng),可以求出圓的面積嗎?”隨著條件的變化,學(xué)生越來(lái)越覺(jué)得根據(jù)正方形的面積求出邊長(zhǎng)“此路不通”時(shí),教師啟發(fā)學(xué)生尋求新的思路,激起了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望。在學(xué)生用字母假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)或圓的半徑后,發(fā)現(xiàn)了這類問(wèn)題的圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系。
例1 如圖,ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn),則cos∠ABC等于( ).
分析 要突破思維定勢(shì),不僅要把∠B看作鈍角ABC的角,更要把∠B看作格點(diǎn)直角三角形的內(nèi)角,直角邊分別是1和2.
答案 B
點(diǎn)評(píng) 角的兩邊是射線是角的核心概念,突破三角形邊長(zhǎng)的束縛,利用網(wǎng)格中垂直關(guān)系,構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系知識(shí)解題.
例2 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以A(5,1)為圓心,以2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的A交x軸于點(diǎn)B、C.解答下列問(wèn)題:
(1) 將A向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度與y軸首次相切,得到A.此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,陰影部分的面積S=(2) 求BC的長(zhǎng).
分析 考查學(xué)生圖形平移、直線和圓相切的知識(shí),通過(guò)小扇形的左平移,把陰影部分轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形來(lái)計(jì)算,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.也可將左圖直角扇形陰影平移到右圖.
連接AC,過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D,則BC=2DC.
由A(5,1)可得AD=1. AC=2,
在RtADC中, DC===
BC=2.
答案 (1) 3,(2、1), 6; (2) BC=2.
點(diǎn)評(píng) 通過(guò)網(wǎng)格垂直關(guān)系將不規(guī)則的圖形割補(bǔ)為容易解決的矩形,化難為易.
例3 如圖,在2×2網(wǎng)格中,小正方形邊長(zhǎng)為1,連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn),可得ABC,則AC 邊上的高是( ).
分析 觀察三角形在格點(diǎn)中的位置,通過(guò)面積作差的方法求ABC的面積,再通過(guò)ABC的面積來(lái)計(jì)算出AC 邊上的高.以AC、AB、BC為斜邊的三個(gè)直角三角形的面積分別為1、1、,因此ABC的面積為;用勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)為,因此AC邊上的高為.
答案 C
知識(shí)遷移:在ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為、、,求這個(gè)三角形的面積.
在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)ABC(即ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖1所示.這樣不需要求ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
(1)請(qǐng)你將ABC的面積直接填寫(xiě)在橫線上. .
拓展練習(xí):
(2) 我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若ABC三邊的長(zhǎng)分別為a、2a、a(a>0),請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫(huà)出相應(yīng)的ABC,并求出它的面積是: .
探究:
(3)若ABC三邊的長(zhǎng)分別為、、2 (m>0,n>0,m≠n) ,請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3指定區(qū)域內(nèi)畫(huà)出示意圖,并求出ABC的面積為: .
答案:(1) . (2) 面積:3a (3)面積:3mn.
點(diǎn)評(píng) 挖掘隱藏條件,構(gòu)造網(wǎng)格背景,運(yùn)用三角形面積,勾股定理解決問(wèn)題.
例4 如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,ABC和DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上.
(1) 判斷ABC和DEF是否相似,并說(shuō)明理由;
(2) P,P,P,P,P,D,F(xiàn)是DEF邊上的7個(gè)格點(diǎn),請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),使構(gòu)成的三角形與ABC相似(要求寫(xiě)出2個(gè)符合條件的三角形,并在圖中連結(jié)相應(yīng)線段,不必說(shuō)明理由).
分析 利用勾股定理計(jì)算兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),利用三角形相似的判定方法得到相似,也可以通過(guò)兩小直角三角形相似,得∠A是直角,只要計(jì)算夾∠A的兩邊即可,這樣對(duì)第二問(wèn)做了鋪墊,第二小題抓住哪些點(diǎn)可以是直角頂點(diǎn)并且兩直角邊之比是1∶2即可,考查學(xué)生的思維發(fā)散性和嚴(yán)密性.
解答:(1) ABC和DEF相似.
根據(jù)勾股定理,得,AB=2,AC=,BC=5;
DE=4,DF=2,EF=2.
===,
ABC∽DEF.
(2) 答案不唯一,下面6個(gè)三角形中的任意2個(gè)均可.
PPD,PPF,PPD,PPD,PPP,PFD.
點(diǎn)評(píng) 利用網(wǎng)格中角的相等,考查相似三角形相關(guān)知識(shí).
例5 如圖,正方形ABCD是一個(gè)6 × 6網(wǎng)格電子屏的示意圖,其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.位于AD中點(diǎn)處的光點(diǎn)P按指定的程序移動(dòng).
(1) 請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑;
(2) 求光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)(結(jié)果保留π).(2010河北中考第20題)
分析 本題考查學(xué)生的圖形的旋轉(zhuǎn)并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的不變性,再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.
點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為6π.