前言:想要寫出一篇引人入勝的文章?我們特意為您整理了控制工程下創(chuàng)新性數(shù)學(xué)補(bǔ)充及創(chuàng)新性范文,希望能給你帶來靈感和參考,敬請(qǐng)閱讀。
摘要:控制工程理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往是專業(yè)課所忽略的。在拉氏變換、分式展開、勞斯表、離散化微分等公式中補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),建立了不能求得傳遞函數(shù)的彈簧-質(zhì)點(diǎn)-干摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,提出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的黏性力矩阻尼系數(shù)命名。研究易化了該學(xué)科的理論。
關(guān)鍵詞:機(jī)械控制工程基礎(chǔ);數(shù)學(xué)推導(dǎo);二次假設(shè);差分方程;黏性力矩阻尼系數(shù)
在工業(yè)生產(chǎn)上,往往需要控制一些關(guān)鍵參數(shù),如溫度、壓力、氣體含量等,這屬于機(jī)械控制工程[1-3]。機(jī)械控制工程已形成了較固定而完備的理論[4],但是在一些計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中,由于學(xué)生都學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程,往往忽略一些重要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟,這給初學(xué)者帶來負(fù)擔(dān)。在一般院校,尤其是職業(yè)教育院校,學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往不夠扎實(shí),難以理解被省略的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟,導(dǎo)致該課程的學(xué)習(xí)難度高。本文研究理論性強(qiáng)的公式、系統(tǒng)建模及其必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。
1拉氏變換微積分步驟
由于微積分是高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí),專業(yè)著作[5]中往往省略關(guān)鍵步驟。
1.1指數(shù)函數(shù)的拉氏變換
補(bǔ)充復(fù)合函數(shù)的定積分及以下求導(dǎo)結(jié)果:ex()'=dex()dx=ex,e-sx()'=-se-sx,則該式的拉氏變換為L(zhǎng)Ae-αt[]=∫∞0Ae-αte-stdt=A∫∞0e-(α+s)tdt=A1-(α+s)∫∞0e-(α+s)td[-(α+s)t]=A1-(α+s)e-(α+s)t∝0=A1-(α+s)e-(α+s)∝-e-(α+s)0[]=A1-(α+s)[0-1]=As+α
1.2一次冪函數(shù)的拉氏變換
補(bǔ)充如下分部積分的詳細(xì)計(jì)算及求不定式的洛必達(dá)法則(L'Hopital'srule)計(jì)算式:u=t,v'=e-st,u'=1,v=e-st-s,∫udv=∫uv'dt=uv-∫vu'dt=uv-∫vdu,∫baudv=∫bauv'dt=uvba-∫bavu'dt=uvba-∫bavdu,limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x),式中:fx0()=0gx0()=0{}或fx0()=∞gx0()=∞{}。則該式的拉氏變換等于以下兩項(xiàng):L[At]=∫∞0Ate-stdt=Ate-st-s∞0-∫∞0Ae-st-sdt,上式的第一項(xiàng)為At-sest∞0=At-sestt=∝-At-sestt=0=(At)'-sest()'t=∝-A·0-ses·0=A-s2estt=∝-0=-0-0=0,則該式為L(zhǎng)[At]=∫∞0Ate-stdt=-∫∞0Ae-st-sdt=As∫∞0e-stdt=As2。
1.3正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換
補(bǔ)充復(fù)變函數(shù)的歐拉公式及復(fù)數(shù)定義:j2=-1,sinωt=12jejωt-e-jωt(),cosωt=12ejωt+e-jωt()。正弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為L(zhǎng)[Asinωt]=A2j∫∞0(ejωt-e-jωt)e-stdt=A2j1s-jω-A2j1s+jω=A2j1(s+jω)(s-jω)(s+jω)-A2j1(s-jω)(s+jω)(s-jω)=A2j1(s+jω)s2-j2ω2()-A2j1(s-jω)s2-j2ω2()=A2j1(s+jω)s2-j2ω2()-1(s-jω)s2-j2ω2()[]=A2j(s+jω)-(s-jω)s2-j2ω2()[]=A2j·2jωs2+ω2=Aωs2+ω2。余弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為L(zhǎng)[Acosωt]=A2∫∞0ejωt+e-jωt()e-stdt=A21s-jω+A21s+jω=A21(s+jω)(s-jω)(s+jω)+A21(s-jω)(s+jω)(s-jω)=A21(s+jω)s2-j2ω2()+A21(s-jω)s2-j2ω2()=A21(s+jω)s2-j2ω2()+1(s-jω)s2-j2ω2()[]=A2(s+jω)+(s-jω)s2-j2ω2()[]=A2·2ss2+ω2=Ass2+ω2。
2代數(shù)運(yùn)算
2.1傳遞函數(shù)的部分分式展開法
該展開式是根據(jù)二次方程的求根公式和數(shù)學(xué)建模的待定系數(shù)法而獲得的。將函數(shù)的分子和分母分別因式分解,二次項(xiàng)因子由求根公式獲得兩個(gè)一次項(xiàng)相乘的形式,假設(shè)該函數(shù)可展開為F(s)=B(s)A(s)=r1s-p1()+r2s-p2()+…+rns-pn(),式中ri為待定系數(shù),稱為留數(shù)。留數(shù)由特殊情況確定,在s=pi時(shí),可以將s-pi()乘以等號(hào)兩邊,左邊能算出來,右邊為留數(shù)。由于等式仍然成立,所以可求得該待定系數(shù)。分子的冪次如果大于分母的,則須用分母去除分子而得到合理的分式。如可補(bǔ)充多項(xiàng)式相除的豎式計(jì)算方式而獲得:G(s)=s3+5s2+9s+7s2+3s+2=s+2+s+3(s+1)(s+2)。該豎式為
2.2勞斯表及其兩個(gè)特例
計(jì)算二階行列式可采用以下簡(jiǎn)易計(jì)算式:a1,1a1,2a2,1a2,2=a1,1a2,2-a1,2a2,1。勞斯表是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)特殊情況:1)在新行中,首列元素等于零。為避免被零除,該項(xiàng)須用很小的正數(shù)代替,如-22010⇒⇒-22ε1ε=-2-2εε=2-2ε。2)新行的所有元素均為零。這導(dǎo)致以下所有元素均為零。將上一行所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式求導(dǎo),由求導(dǎo)結(jié)果確定該新行。所依據(jù)的理論是洛必達(dá)法則。如s(6)s(5)s(4)s(3)182016212160212160→80→240→0分別對(duì)應(yīng)于多項(xiàng)式:s(6)s(5)s(4)s(3)As(6)()=s6+8s4+20s2+16As(5)()=2s5+12s3+16s1+0As(4)()=2s4+12s2+16As(3)()=A's(4)()=8s3+24s1+02.3基于二次假設(shè)將系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程設(shè)采樣周期為T,用差分代替微分,根據(jù)后(左)向差分的定義及二次假設(shè),變量x的一階和二階差分為[6-7]:Δx(k)=0.53x(k)-4x(k-1)+x(k-2)[],Δ2x(k)=x(k)-2x(k-1)+x(k-2)。將以下微分方程離散化:md2xdt2+cdxdt+kx=0,mx(k)-2x(k-1)+x(k-2)T2+c0.53x(k)-4x(k-1)+x(k-2)[]T+kx(k)=0,m+1.5cT+kT2()x(k)+(-2m-2cT)x(k-1)+(m+0.5c)x(k-2)=0。經(jīng)典的轉(zhuǎn)化算法是基于兩層線性假設(shè)的,必然沒有上述基于二次假設(shè)的準(zhǔn)確。
3數(shù)學(xué)建模
3.1彈簧-質(zhì)點(diǎn)-干摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
忽略最大靜摩擦力大于動(dòng)摩擦力的特性,圖1所示系統(tǒng)可建立如下分段方程:-md2xo(t)dt2-fsigndxo(t)dt()+kxi(t)-xo[(t)]=0,式中:sign(v)=+1,v>0,[-1,+1],v=0,-1,v<0。{圖1彈簧-質(zhì)點(diǎn)-摩擦振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1Spring-particle-frictionvibrationsystemdiagram該方程不能用來建立傳遞函數(shù)。數(shù)值算法可處理分段形式的微分方程,而傳遞函數(shù)算法不能。
3.2受到阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型
設(shè)轉(zhuǎn)子受到阻尼力和外力矩M,則力矩平衡方程為-Jdωdt-fMω+M=0,式中:J為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ω為轉(zhuǎn)子的角速度;fM為黏性力矩阻尼系數(shù),如果半徑為r,阻尼系數(shù)為c,則該系數(shù)為cr2,目前將其定義為摩擦系數(shù)不確切。
4結(jié)束語
S(科學(xué))T(技術(shù))E(工程背景)M(數(shù)學(xué))教學(xué)理念引領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)[8]。其中,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往是各專業(yè)課所忽視的。本文補(bǔ)充的數(shù)學(xué)推導(dǎo)表面上創(chuàng)新性平常,實(shí)際上使高難度知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)易化,比一般的理論創(chuàng)新更有實(shí)踐價(jià)值。本文的理論創(chuàng)新可直接沉淀到教材,因此,也是山東省本科教育改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目(Z2020057)的研究?jī)?nèi)容。
作者:李春明 尹曉麗 張曉玲 單位:中國(guó)石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院 山東石油化工學(xué)院