反比例函數(shù)的應用精選(九篇)

前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的反比例函數(shù)的應用主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。

第1篇：反比例函數(shù)的應用范文

1結(jié)論證明

圖1如圖1，AC是長方形ABCD的對角線，點P是對角線BD上一動點，過點E分別做AB、AD的平行線段IF、HG，點I、F分別在AD、BC上，點H、G分別在AB、DC上。則圖中陰影部分的面積相等即S1=S2。

證明如圖，在矩形ABCD中，易知

SABD=SCDB。①

同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②

同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③

①-②-③得：S1=S2。

這是矩形學習中很容易證明的一個結(jié)論，但一類有關(guān)反比例函數(shù)的題目，用矩形的這個結(jié)論來解顯得極其容易，若對這個結(jié)論沒掌握好要解這類題目是不容易的，下面我們來一起學習一下這個結(jié)論在反比例函數(shù)試題中的應用.

2應用舉例

圖2例1如圖2，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)y=k1x的圖象上。若點A的坐標為（-2，-2），則k的值為（）

A。-2B。2C。3D。4

解法1設(shè)C（m，n），則B（-2，n），D（m，-2），因BD經(jīng)過原點，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.

解法2由以上結(jié)論，易知與兩坐標軸圍成的一、三限象中兩小矩形面積相等，由點A的坐標為（-2，-2）得小矩形面積為4，所以k=4，答案：D.

點評顯然，解法一不易想到正比例函數(shù)圖象上的點B、D坐標滿足的關(guān)系，從而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的結(jié)論，便可很容易求出k的值來。

例2如圖2，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)y=k2+2k+11x的圖象上。若點A的坐標為（-2，-2），則k的值為（）

A。1B。-3C。4D。1或-3

點評由結(jié)論以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。

答案：D.

第2篇：反比例函數(shù)的應用范文

反比例函數(shù)是初中數(shù)學中的一個重要知識點。你知道學好反比例函數(shù)的訣竅嗎?在學習反比例函數(shù)過程中，只要理清知識點，理解解題思路，數(shù)形結(jié)合理解透徹反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解題就會容易輕松很多，那么接下來給大家分享一些關(guān)于數(shù)學反比例函數(shù)知識，希望對大家有所幫助。

數(shù)學反比例函數(shù)知識反比例函數(shù)主要考察三個方面

1)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì);

2)求反比例函數(shù)解析式;

3)K的幾何性質(zhì)的應用。

以上幾點考察基本上都是和一次函數(shù)，相似，全等，方程，圓，三角函數(shù)，勾股定理等知識相結(jié)合考察，單一命題的機會比較少同時題目也比較簡單。本專題主要針對B卷類近幾年考到的填空題做出總結(jié)，讓同學們能夠從多角度，多方位的訓練。

反比例函數(shù)的定義

如果兩個變量x，y之間的對應關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。y是x的反比例函數(shù)?函數(shù)表達式為y=k/x或y=kxˉ1或xy=k(k為常數(shù)，k≠0)。

反比例專題

我們總結(jié)出六類?？碱}型：

1)由反比例函數(shù)k的幾何意義轉(zhuǎn)化出三角形或梯形之間面積的等量關(guān)系題型。

2)由反比例函數(shù)和一次函數(shù)相交形成的線段等量關(guān)系題型。

3)由反比例函數(shù)和一次函數(shù)相交求交點坐標的題型。

4)反比例函數(shù)與相似三角形綜合考察求k或線段比題型。

5)反比例函數(shù)圖像的分布與k之間的關(guān)系題型

6)反比例函數(shù)與三角函數(shù)，方程(組)等有關(guān)的問題。

數(shù)學反比例函數(shù)知識2反比例性質(zhì)

1規(guī)律：反比函數(shù)與一次函數(shù)(與正比例函數(shù)相交，交點關(guān)于原點對稱)相交，求線段數(shù)量關(guān)系時，切記“原點O到兩交點的距離是相等的”若給出反比函數(shù)解析式，那么最終求得的結(jié)果的過程肯定要轉(zhuǎn)化成關(guān)于“k”的幾何意義。

2規(guī)律：一次函數(shù)與反比函數(shù)相交且兩函數(shù)解析式都未知，此時一次函數(shù)所在直線與交點分別于x軸，y軸做垂線的交點所連接的線段是相互平行的，同時一次函數(shù)與反比函數(shù)的交點到一次函數(shù)與x軸，y軸的交點的距離是相等的。

3規(guī)律：題目中給出線段比例和四邊形的面積求k問題，利用同底等高三角形面積與高之間的關(guān)系，面積與k之間的關(guān)系。求出k(此時不用具體求出點坐標)。

4規(guī)律：有中點時利用中點坐標公式，再根據(jù)反比函數(shù)上任何一點 處的幾何意義都相同的思想轉(zhuǎn)化出面積問題。

5規(guī)律：若反比例函數(shù)圖像經(jīng)過多個點，那么在這幾點處的幾何意義是相同的。根據(jù)相等的關(guān)系我們可以將等積量轉(zhuǎn)化成等比量。

6規(guī)律：當反比例函數(shù)與正三角形的某一邊有交點時，可以根據(jù)正三角形的特性表示出該交點的坐標，從而計算出該點的坐標得到k。

7規(guī)律：當題目給出的線段之間的數(shù)量關(guān)系時，可構(gòu)造直角三角形用相似的關(guān)系具體的求出點的坐標計算k的值。

8規(guī)律：當反比例函數(shù)解析式已知，而要求圖像上點的坐標問題。同長情況下用全等或相似的關(guān)系將點的坐標用同一字母代數(shù)式表示出來，再利用k的幾何意義求出點坐標。

9規(guī)律：直接利用面積比和相似比之間的關(guān)系確定k值。

10規(guī)律：當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交有特殊角度時(30°，45°，60°)或一次函數(shù)k為( √3/3 ，√3.....)時，將所給的等量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成反比函數(shù)圖像上點的橫縱坐標乘積(不用具體求出坐標點)得k值。

11規(guī)律：巧用k值，建立方程(方程組)解答。

12規(guī)律：類似反比例函數(shù)的問題，根據(jù)題目的特殊條件不用具體計算線段的長度，應用對比，轉(zhuǎn)化思想解答。

13規(guī)律：給出反比例函數(shù)解析式，應用相似比與面積比之間的關(guān)系，面積與k之間的關(guān)系解答。

學好數(shù)學的方法1.功在平時，學會總結(jié)：多做題，總結(jié)題型

考試時技巧重要，但是考試總要有平時的積累做鋪墊的吧?數(shù)學的學習-平時最主要的就在于掌握知識點，多做類型題，用題目來鞏固知識點，要學會用一道題型掌握一類題型。這樣既節(jié)省時間，又能夠靈活自如應對考試中千變?nèi)f化的數(shù)學題型。

比如說數(shù)列求和部分：也就那么幾個方法，構(gòu)造等差等比、裂項求和、錯位相減、倒序相加。有時候拿到一個題目你知道這樣做，但是你不一定知道為什么要這樣做，你知道這個套路就可以了。

2.考試時對試卷的把控：學會宏觀把握

對于高考數(shù)學來說，大部分地區(qū)的試卷結(jié)構(gòu)依次是選擇題、填空題、大題。所以要根據(jù)自己實際掌握的情況，進行一個簡單的分析，先易后難，把自己最有把握拿到的分拿到，那種特別難的最后再看。通過真題訓練，你需要知道：選擇題前幾道是比較簡單的，會考集合、復數(shù)、算法等(舉例，僅限于個別地區(qū)試卷);從第幾道題開始是比較難的，一般會考什么內(nèi)容;第幾道題是最難的題目。

只有這樣對試卷的宏觀把握，到了考場才能心里有數(shù)，并且針對自己的情況，作出具體的對策。

3.考試時間分配很重要：多拿分才是王道

有些同學是碰到一道題目，只要做不出來，就不甘心，非要把它做出來不可;還有一類學生是：一看題，不會，算了，下一道。其實這兩類學生考試成績都不會太理想，考試時一定要避免這兩種極端行為，平時做題按部就班，一道一道的來，但是考試的時候以多拿分為原則。

針對這兩種情況，一定要計劃好自己考試的分配時間。一般來說：選擇題和填空題為35-40分鐘，大題一個小時15-20分鐘，最后剩5-10分鐘瀏覽考試卷，稍作檢查，防止小粗心而失分。

4.熟悉題型：每種題型解題方法不一樣

選擇題排除，填空題猜測，大題寫知識點和公式。

下面說到具體的應試技巧，當你面對一道題時，真的不知道準確答案，對于不同的題型也有不同的方法。

選擇題有一個好處就是我們有四分之一對的概率，我們要做的就是提高這個概率，當然，排除肯定不可能對所有題是一個很好使的方法。填空題可以根據(jù)題干進行猜測，當然是在你不會的情況下。

第3篇：反比例函數(shù)的應用范文

一、利用反比例函數(shù)的概念設(shè)置陷阱

例1 當m為____時,函數(shù)y=(m+1)x 是反比例函數(shù).

錯解:根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知,m2+3m+1=-1即m2+3m+2=0.解得m1=-1,m2 =-2.

錯因分析:忽略了y=kx-1中k≠0的條件.m不僅要滿足m2+3m+1=-1,而且還要滿足m+1≠0.

正解:根據(jù)題意可知,m2+3m+1=-1且m+1≠0,解得m = -2.

點撥:出現(xiàn)以上錯誤的原因是忽視反比例函數(shù)y=kx-1 中的比例系數(shù)不為零的條件.這是命題者常設(shè)的陷阱,也是同學們常犯的錯誤,應引起高度重視.

二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)設(shè)置陷阱

例2 已知點A(x1,y1 )、B(x2,y2)是反比例函數(shù)y= ( k>0)圖像上的兩點,若x1

A.y1< 0

C.y1< y2

錯解:因為點A(x1,y1 )、B(x2,y2)是反比例函數(shù)y=圖像上的兩點,且k>0,當x1

錯因分析:當k>0時,反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限內(nèi),且在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小,而點(x1,y1),(x2,y2)不在同一象限內(nèi),因而不能由x1

正解:k>0,y隨x的增大而減小,且函數(shù)圖像分布在一、三象限內(nèi).

由題意可知點(x1,y1)在第三象限,點(x2,y2)在第一象限,

所以y1< 0

點撥:本題利用反比例函數(shù)的性質(zhì)設(shè)置陷阱,應熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)并能正確應用加以比較.

例3 如圖1,一次函數(shù)y1=x-1與反比例函數(shù)y2 = 的圖像交于點A(2,1),B(-1,-2),則使y1 >y2 的x的取值范圍是().

A. x >2 B. x>2或-1

C.-1

錯解: A.

錯因分析:由于反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限,與直線有A、B兩個交點,因此要比較兩個函數(shù)值的大小,必須把x的范圍劃分成四個區(qū)間來考慮:①x

正解:B.

點撥:要使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值,一次函數(shù)的圖像應在反比例函數(shù)圖像之上.數(shù)形結(jié)合觀察,在由交點坐標劃分的四個區(qū)間中,有兩個區(qū)間滿足條件.命題者正是利用同學們在進行分類時會考慮不周設(shè)置陷阱.

三、利用自變量取值范圍設(shè)置陷阱

例4 在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是().

A. x< B. x≠-

C. x≠ D. x>

錯解:是分式, x> ,

自變量x的取值范圍是 x> .

錯因分析:本題自變量取值范圍不是3x-1>0,而是3x-1≠0即x≠.

正解:C.

點撥:命題者利用同學們思維記憶上的混淆設(shè)置陷阱.在求函數(shù)自變量的取值范圍時,應熟練掌握反比例函數(shù)的意義.

四、利用圖像設(shè)置陷阱

例5 若ab

錯解:ab

錯因分析:由已知條件ab

正解:由已知條件可知a、b異號,故可排除A、D兩項;又因為正比例函數(shù)y=ax經(jīng)過原點,可排除C,故正確答案為B.

點撥:命題者利用正、反比例函數(shù)中的系數(shù)設(shè)置陷阱,解題的關(guān)鍵是分析a、b的符號情況,結(jié)合正、反比例函數(shù)圖像的形狀及其與坐標軸交點等特征逐一篩選.

五、利用隱含條件設(shè)置陷阱

例6 矩形面積為4,它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖像大致可表示為().

錯解:由題意可知,xy=4,所以y= ,所以函數(shù)圖像分布在第一、三象限,故選擇C.

錯因分析:忽視了自變量x>0的條件.

正解:由題意可知,xy=4,所以y=,其自變量x的取值范圍為x>0,其圖像只能取第一象限的那一支曲線,故正確答案為B.

點撥:利用實際問題中的隱含條件設(shè)置陷阱.在求解實際中的反比例函數(shù)問題時,一定要注意自變量的取值范圍.

六、利用圖像的特殊性設(shè)置陷阱

例7 如圖2,已知點C為反比例函數(shù)y=-上的一點,過點C向坐標軸引垂線,垂足分別為A、B,那么四邊形AOBC的面積為________.

錯解:設(shè)點C點坐標為(m,n),

點C在y=-的圖像上,

n=-,mn=-6.

S矩形AOBC=AC•AO=-6.

所求四邊形的面積為-6.

錯因分析:對反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)掌握不牢.圖像在二、四象限,k應為負數(shù).因為點C(m,n)在第四象限,m0,即 mn

正解:設(shè)C點坐標為(m,n),

C(m,n)在y=-的圖像上,

mn=-6.

S矩形AOBC=AC•AO=-6=6.

所求四邊形的面積為6.

點撥:反比例函數(shù)y=(k≠0)的特征是兩個變量y與x的乘積是一個常數(shù)k.由此不難得出反比例函數(shù)的一個重要性質(zhì): 如圖3,若點A是反比例函數(shù)圖像上的任意一點,且AB垂直于x軸,垂足為B,AC垂直于y軸,垂足為C,則矩形面積S矩形ABOC=|k|.連接OA,則三角形AOB的面積為SAOB=|k|.

這一性質(zhì)在求反比例函數(shù)圖像上一點與兩坐標軸圍成圖形的面積或由面積求解析式問題中有著重要的應用.

七、利用實際問題設(shè)置陷阱

例8 一個直角三角形的兩直角邊長分別為x、y,其面積為2,作y與x之間的函數(shù)圖像.

錯解:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)= .列表略.

描點連線得圖像(如圖4).

錯因分析:實際問題中的反比例函數(shù)自變量取值要使實際問題有意義,本題中的自變量x表示直角邊,即x>0,所以第三象的分支應舍去.

正解:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(x>0).

列表:

第4篇：反比例函數(shù)的應用范文

一、教材分析

本節(jié)課是在學生初二學習了函數(shù)概念、一次函數(shù)的相關(guān)知識，初三學習了二次函數(shù)的相關(guān)知識及反比例函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。它是初中階段研究的最后一種函數(shù)類型。由于學生對函數(shù)的研究已經(jīng)有了一定經(jīng)驗，所以對其研究的過程應該很熟悉，但因反比例函數(shù)的自變量取值是間斷的，且反比例函數(shù)是初中學生學習的第一種非線性函數(shù)，所以研究和應用起來還是有一定的難度。

二、學情分析

我校是一所縣級初中，學生對基礎(chǔ)知識的掌握差異很大，部分學生的思維較為活躍。前面函數(shù)知識的學習使學生已經(jīng)初步掌握了研究函數(shù)的一般方法，所以教學中在教師的引導下，嘗試讓學生獨立探究并充分利用幾何畫板，幫助學生突破本課的難點。

三、教學目標

依據(jù)新課程標準的基本理念，課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點；面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要。結(jié)合九年級學生的年齡、生理特點以及認知水平，確定以下教學目標。

知識與技能：會畫反比例函數(shù)的圖象，由畫出的函數(shù)圖象歸納概括出反比例函數(shù)的性質(zhì)及k值的幾何意義，進而提升對數(shù)形結(jié)合思想的認識。

過程與方法：通過畫反比例函數(shù)圖象，合作交流歸納反比例函數(shù)性質(zhì)及k值的幾何意義，從而提高學生從圖形中提取有效信息的能力。

情感、態(tài)度與價值觀：在畫函數(shù)圖象的過程中，感受數(shù)學的直觀形象美，通過幾何畫板的動態(tài)演示，激發(fā)好奇心和求知欲，培養(yǎng)學生合作交流的團隊精神。

四、教學重、難點

教學重點：1.會畫反比例函數(shù)的圖象；2.通過幾何畫板的動態(tài)演示，探究反比例函數(shù)的主要性質(zhì)及k值的幾何意義。

教學難點：對反比例函數(shù)增減性的探究。

五、教法、學法

本節(jié)課是一節(jié)新知識建構(gòu)課，采用“認知建構(gòu)”的教學模式。在教學過程中，以情境創(chuàng)設(shè)為前提，以問題驅(qū)動為導向，讓學生在解決問題的過程中從感性認識上升到理性認識，從而達成本節(jié)課的教學目標。

六、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新知

1.憶一憶

正比例函數(shù)y=6x與y=-6x的圖象是什么形狀？畫圖的步驟是什么？

2.猜一猜

反比例函數(shù)的圖象會是什么形狀呢？我們可以用什么方法畫反比例函數(shù)的圖象？

（通過回憶正比例函數(shù)圖象的畫法：（1）列表；（2）描點；（3）連線，導出反比例函數(shù)圖象的畫法）

（二）嘗試發(fā)現(xiàn)，探索新知

1.畫一畫

畫出反比例函數(shù)y=x分之6和y=負x分之6的函數(shù)圖象。

2.議一議

在以上畫圖中，你有哪些收獲？哪些值得注意的地方？請說給我們聽聽。

（畫反比例函數(shù)圖象是本課的重點之一，這里我選取具有代表性錯誤的幾位同學的作品用實物展臺展示。通過展臺展示，引導學生分析并發(fā)現(xiàn)問題，進而歸納出畫反比例函數(shù)圖象應注意的問題，收到了良好的教學效果。這也符合應用現(xiàn)代信息技術(shù)中媒體的選取應依據(jù)最小代價原則。實物展臺比其他媒體使用更加方便快捷，其實效性是不可替代的）

3.想一想

（1）k取不同值時，反比例函數(shù)圖象的特征。

（2）觀察自變量x變化時，函數(shù)值y的變化情況。

（在本環(huán)節(jié)中，讓每位學生親自操作電腦，看幾何畫板中當k取不同值時，反比例函數(shù)圖象的動態(tài)變化演示，大大激發(fā)了學生的動腦動手意識，并從不斷變化的圖象中歸納概括出相關(guān)問題的答案）

4.說一說

歸納反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。

當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；

當k

（本環(huán)節(jié)充分調(diào)動學生的積極性，鍛煉學生的歸納概括能力，通過小組間的相互補充，培養(yǎng)學生的團隊精神）

（三）鞏固提高，強化新知

一試

共六道小題。其中前三道題鞏固圖象和性質(zhì)。第三題采用多種方法比較大小，一題多變，進而突破本課重點和難點。

第四小題：已知A（1，5）是拋物線y=新分之五上的一點，從點A向x軸、y軸作垂線段，垂足分別是點D和點E，則矩形AEOD的面積是多少？然后通過幾何畫板將A轉(zhuǎn)化為圖象上任意一點時，觀察并驗證矩形及對應三角形的面積問題。進而發(fā)現(xiàn)k的幾何

意義。

（利用幾何畫板的動態(tài)演示，使學生通過觀察歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì)及k的幾何意義。傳統(tǒng)的函數(shù)圖象教學只能靜態(tài)地畫出特定參數(shù)下的函數(shù)圖象，占用了大量的課堂時間。利用幾何畫板能夠直觀地演示函數(shù)的動態(tài)圖象。這不僅大大減輕了畫圖象的負擔，激發(fā)了學生的學習興趣，對培養(yǎng)學生的動手動腦能力也起到了積極作用）

（四）反思小結(jié)，內(nèi)化新知

談一談

我的收獲是……

我學會了……

我的困惑是……

我想……

（五）布置作業(yè)，拓展新知

布置相關(guān)習題。

第5篇：反比例函數(shù)的應用范文

2014年5月份，筆者有幸參加了江蘇省第十三批特級教師選拔，在上課比賽這個環(huán)節(jié)，采用比賽前一天晚上通知上課內(nèi)容、 “異地借班上課”的方式，上課的課題是蘇科版八年級下“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）”，由于是選拔比賽，課前不允許了解學生的情況，筆者充分利用我校的“兩學一歸納”課堂教學模式進行了本節(jié)課的教學設(shè)計，受到了專家的好評?，F(xiàn)將該模式的內(nèi)涵、本節(jié)課的設(shè)想和實踐后的思考書面整理之，供各位同仁借鑒，以期對大家的教學和研究有所啟示.

一、“兩學一歸納”教學模式的內(nèi)涵

“兩學一歸納”自主學習模式由“自學”、“互學”、“歸納”三個中心環(huán)節(jié)構(gòu)成，即由學生的個人自主學習到小組或大組交流互學，最后由學生在同學或老師幫助下總結(jié)歸納、提煉升華。整個教學過程，在教師的引導下以“基于目標的問題、基于問題的解決和基于問題生成”為主線，發(fā)揮學生的主觀能動性和創(chuàng)造性，促進學生掌握基本知識，建構(gòu)知識體系，形成學習方法，培養(yǎng)學生學會學習的過程。這種模式下的課堂突出了學生主體地位，激發(fā)學生的精神動力，努力讓教學迸發(fā)智慧光芒，推動學生自主學習、主動發(fā)展和創(chuàng)新發(fā)展，真正讓課堂成為師生向往的地方，成為師生情感交融、精神對話的心靈樂園，成為助長生命、實現(xiàn)生命價值的生命場。

二、教學設(shè)計

1.教材分析。本節(jié)課內(nèi)容屬于《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是繼一次函數(shù)后的又一種基本初等函數(shù)。反比例函數(shù)的圖像是對函數(shù)圖像及其性質(zhì)知識學習的深化和提高，圖像由“一條”到“兩支”，形態(tài)由“直”到“曲”，由“連續(xù)”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，是知識與技能上的一次拓展、理解與認識上的一次升華，也是思維與方法上的一次飛躍，是學生后續(xù)學習各類函數(shù)的重要基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的核心，是函數(shù)“特性”、圖像“特征”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。

本節(jié)教學內(nèi)容是：先結(jié)合反比例函數(shù)的解析式探究其圖像的一些特征，構(gòu)思函數(shù)圖像的大致位置、輪廓、趨勢，以數(shù)想形；再經(jīng)歷列表、描點、連線畫出反比例函數(shù)的圖像，進而觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數(shù)的圖像及初步的性質(zhì)，可以進一步加深對函數(shù)三種表示方法（列表法、解析式法和圖像法）的理解，此類知識與技能比較適合學生進行自主學習與探究。

2.學情預測。從學生的知識起點方面來看，經(jīng)過第一節(jié)《反比例函數(shù)的基本概念》的學習后，他們已經(jīng)能夠判斷什么是反比例函數(shù)，知道反比例函數(shù)的三種形式；而且經(jīng)過前面正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像繪制，也基本掌握了函數(shù)圖像的繪制方法，具有一定的圖像繪制能力。但是，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，與前面的一次函數(shù)圖像不同，學生在繪制過程中會“類比一次函數(shù)圖像的畫法”， 受到一些“負遷移”的干擾，可能會出現(xiàn)多種問題。因此，在運用“類比”的方法研究反比例函數(shù)的圖像過程中，還應注意關(guān)注反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像之間的“差異性”，加以對比，加深理解。

教學重點：探究反比例函數(shù)的圖像，以及本課內(nèi)容所蘊含的思想方法。

教學難點：反比例函數(shù)的圖像特征。

3.教學目標。

（1）經(jīng)歷由反比例函數(shù)的解析式估計其圖形基本概貌的過程和運用描點法畫反比例函數(shù)圖像的過程，初步了解反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

（2）感悟“數(shù)形結(jié)合”、“變化與對應”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，并能應用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的圖像探究其性質(zhì)。

（3）在探究反比例函數(shù)圖像的過程中，讓學生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、操作、探究、歸納、概括的認知過程，獲得研究問題與合作交流的方法和經(jīng)驗，體驗數(shù)學活動，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，提高學生的思維能力。

4.教法學法。根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，采用“兩學一歸納”教學法，先讓學生自主學習、操作探究、合作交流，再借助信息技術(shù)工具，以《幾何畫板》為平臺，繪制反比例函數(shù)圖像，同時輔之以“點跟蹤”等手段，通過動態(tài)的演示，觀察相關(guān)數(shù)值的變化，研究圖像的變化趨勢，抽象概括當自變量變化時，對應的函數(shù)值的變化規(guī)律，進而探究反比例函數(shù)的圖像的特征。

5.教學過程的設(shè)計。

（1）第一環(huán)節(jié)――自學。這一階段包括師生共同確定自學目標、任務和要求，學生自主學習。教師設(shè)計問題串，把知識中的基本概念、原理、方法和過程滲透其中，以問題驅(qū)動學生的“自主學習”，學生在自學時，初通生疑，為下一環(huán)節(jié)的互學作足準備。

第一，創(chuàng)設(shè)情境，引入新知。

問題1：請你回憶一次函數(shù)的圖像的繪制過程和圖像具有的性質(zhì)（以一次函數(shù)y=-2x+1為例。）

問題2：上一節(jié)課，我們學習了反比例函數(shù)的概念，它有哪些形式？接下去應該學習什么？（板書課題：反比例函數(shù)的圖像）

【設(shè)計意圖】通過復習一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，幫助學生構(gòu)建研究函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點和連線，研究函數(shù)的圖像一般是從形狀、位置、變化趨勢3個方面去研究，為研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)做好鋪墊。

第二，揭示目標，明確任務。

（多媒體展示學習目標）

第三，由數(shù)想形，初探新知。

問題3：反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？請你根據(jù)反比例函數(shù)表達式y(tǒng)=-，猜一猜這個函數(shù)的圖像具有哪些特征。試結(jié)合下列問題來說明：

①x、y的值可以為0嗎？這個函數(shù)的圖像與x軸、y軸有交點嗎？

②x、y所取值的符號有什么關(guān)系？這個函數(shù)的圖像會在哪幾個象限？

③當x>0時，隨著x的增大，y怎樣變化？當x

④你能根據(jù)反比例的解析式，大膽猜想并畫出反比例函數(shù)圖像的輪廓嗎？

【設(shè)計意圖】由于反比函數(shù)y=-的圖像是曲線型的，又分成兩支，學生第一次接觸有一定的難度，因此設(shè)計“由數(shù)想形”的思考活動，讓學生獨立自主探究，再進行小組或大組交流，初步估計圖形的基本概貌，從而獲得自主探究未知函數(shù)的性質(zhì)與圖像時又一種方法。

（2）第二環(huán)節(jié)――互學。這一階段包括師生共同呈現(xiàn)問題、交流問題、討論問題、解決問題、檢測問題。

第一，描點畫圖，再探新知。

問題4：請你在助學稿上畫出函數(shù)y=-的圖像，比誰畫得既快又準確！

【設(shè)計意圖】圖像是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具，通過經(jīng)歷用描點法畫出反比例函數(shù)圖像的基本步驟，可以使學生對反比例函數(shù)有了進一步的感性認識。教師引導學生自主經(jīng)歷列表、描點、連線的過程中，關(guān)注幾個細節(jié)的引導、點撥和追問。列表時，自變量x的取值要注意在取值范圍內(nèi)（x≠0）、要有代表性（兼顧正、負數(shù)）和大小要適度（描點時好操作）；描點時，一般情況下，所選的點越多圖像越精確；連線時，引導學生要按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線必須是光滑的。注意曲線的兩支是分開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但不會與坐標軸相交，從而得到反比例函數(shù)的圖像。

第二，合作交流，三探新知。（展示學生畫圖中常見的兩種圖形，拋出問題5，引發(fā)學生深層的思考和交流）

問題5：在用描點法畫函數(shù)y=-的圖像時，相鄰兩個點之間的部分圖像是如圖1所示的直線型，還是如圖2所示的曲線型？你是如何驗證的？

【設(shè)計意圖】“連線”時，由于一次函數(shù)圖像是一條直線，容易使學生產(chǎn)生認知上的負遷移，從而把雙曲線畫成折線型。因此，探究相鄰兩點之間的圖像的形狀既是反比例函數(shù)圖像探究的重點也是難點。通過展示學生的中的兩類作品，引發(fā)學生思考、討論、交流，再通過幾何畫板演示反比例函數(shù)圖像的生成過程，讓學生感受“曲線”的形狀和延伸趨勢，加深對反比例函數(shù)的圖像的認識和理解。

問題6：觀察反比例函數(shù)函數(shù)y=-的圖像，有哪些特征？

【設(shè)計意圖】通過類比一次函數(shù)，引導學生觀察圖像的形狀、位置、變化趨勢，感受“形”的特征，歸納說出反比例函數(shù)函數(shù)y=-圖像的形狀、位置、變化趨勢及函數(shù)的增減性。感受自變量與函數(shù)值之間變化與對應的關(guān)系，使學生從形的角度對反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)形成初步的印象，與問題3前后呼應，使學生初步感受研究函數(shù)圖像問題的思想方法，即“以數(shù)想形”和“以形助數(shù)”。

第三，對比探究，深化新知。

問題7：是不是所有的反比例函數(shù)的圖像都具有這樣的特征呢？請同學們根據(jù)反比例函數(shù)函數(shù)y=--的表達式，說出它的圖像具有的特征，并在圖中畫出它的圖像。

【設(shè)計意圖】通過再次畫出反比例函數(shù)的圖像，幫助學生鞏固前面已獲得的作圖經(jīng)驗，提高學生利用描點法畫出函數(shù)圖像的能力。同時，在總結(jié)、說出反比例函數(shù)的圖像特征的過程中，增強學生對圖像的觀察、感知、分析、概括的能力。

問題8：反比例函數(shù)y=--與y=-的圖像有哪些共同特征？有哪些不同點？是由什么決定的？

【設(shè)計意圖】教師引導學生觀察、總結(jié)這兩個反比例函數(shù)圖像的特征，關(guān)注反比例系數(shù)“k”的作用。在活動中，讓學生積極探究新知、發(fā)現(xiàn)新知，為下一節(jié)課探究反比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)做好鋪墊。

（3）第三環(huán)節(jié)――歸納。這一階段包括師生歸納小結(jié)、整理、反思、應用、拓展。在教師的引導下學生自我歸納，完善自學、互學時建構(gòu)的知識體系，形成方法體系，進行整理反思，內(nèi)化升華。

第一，鞏固提高，應用新知。

請你畫出反比例函數(shù)y=-、y=--的圖像

【設(shè)計意圖】通過學生自主畫出兩個反比例函數(shù)圖像的練習，實現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化。

第二，歸納反思，完善新知。

問題9：通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？掌握了哪些方法？有哪些收獲？（請在組內(nèi)交流你的收獲，每位同學至少說一條，并把你認為重要的在書上標出來）。

【設(shè)計意圖】教師引導學生梳理、概括、歸納本節(jié)課主要的學習內(nèi)容，建構(gòu)知識體系，使學生對反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)有一個較為整體、全面的認識，體驗從一次函數(shù)到反比例函數(shù)的類比的學習方法、從特殊到一般的具體研究思路以及研究函數(shù)的數(shù)形結(jié)合的思想等，使學生對知識、技能、思想方法的總結(jié)融為一體，使思想方法有了載體，知識技能有了靈魂。

第三，拓展延伸，活化新知。

問題10：課后，請同學們根據(jù)反比例函數(shù)函數(shù)y=-的表達式，說出它的圖像具有的特征，并畫出它的圖像。

【設(shè)計意圖】通過設(shè)置有一定思維價值的課后思考題，促進學生開動腦筋，積極思維，展開豐富的聯(lián)想，深化理解數(shù)學知識，體驗和感悟數(shù)學思想方法，形成探索的意識、思考的習慣，使學生的創(chuàng)新能力和實踐能力得到發(fā)展。

三、教后反思

筆者運用《反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第一課時）》教學設(shè)計方案在這次選拔賽中進行了嘗試，取得了良好效果。這節(jié)課的教學既關(guān)注了數(shù)學活動的結(jié)果（反比例函數(shù)的圖像的畫法和性質(zhì)），也關(guān)注了數(shù)學結(jié)果的形成、發(fā)展與應用的過程及蘊涵的數(shù)學思想方法（數(shù)形結(jié)合、類比等），能使學生在“過程”中理解反比例函數(shù)的圖像的本質(zhì)特征，掌握根據(jù)反比例函數(shù)的解析式和描點畫圖探究其圖像特征的研究方法，體會以數(shù)想形、以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合的思想方法，獲得數(shù)量分析（定量分析）和畫圖探究（定性分析）解決問題的經(jīng)驗，通過組織學生觀察、操作、猜想、學習和體驗活動，讓知識內(nèi)化、讓理解深入、讓學習發(fā)生，整個過程充分體現(xiàn)了“學生自主學習”與“教師必要指導”的相互滲透和互相促進的理念，但也存在一些問題，具體體現(xiàn)在以下幾點。

1. 學為中心是“兩學一歸納”課堂教學模式的核心理念。在實際授課過程中，筆者努力嘗試問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析。在學生自學的基礎(chǔ)上，以出現(xiàn)的問題為課堂教學的起點，以學定教；努力組織學生進行互學，讓學生的思維動起來，拓展思維空間，提升思維高度，培育創(chuàng)新思維；整個教學過程，突出學生的主體地位，使學生真正成為“學習的主人”，主要表現(xiàn)在以下兩個方面。

一是培養(yǎng)學生自主學習的能力。如在“由數(shù)想形，初探新知”這一環(huán)節(jié)，學生主要困難是不知道如何去探究，不知道如何確定思考的方向，這時，筆者通過設(shè)計一些提示性的問題，引導學生積極開展數(shù)學思維活動，幫助學生弄清前進的方向。針對不同的問題，學生采用不同的數(shù)學活動，形成多樣化的學習方式，真正把課堂還給了學生，改變了傳統(tǒng)數(shù)學教學中教師主宰課堂的局面。

二是培養(yǎng)學生交流合作的意識。如在“描點畫圖，再探新知”這一環(huán)節(jié)，筆者拋出了這樣一個問題“在用描點法畫函數(shù)y=-的圖像時，相鄰兩個點之間的部分圖像是如圖1所示的直線型，還是如圖2所示的曲線型？你是如何驗證的？”引導小組討進行合作交流，比哪一個小組先想到解決問題的方法。學生爭先恐后到講臺上進行展示，其中一個學生說：“假設(shè)兩點之間的部分是線段，取其中點，該點的坐標不滿足反比例函數(shù)的解析式，所以兩點之間的部分不是直線型，一定是曲線型。”另一個學生說：“假設(shè)在描點（1，6）、（2，3）、（3，2）時，中間的點（2，3）沒有描出，如果兩點之間的部分是直線型，那么點（2，3）顯然不在經(jīng)過點（1，6）和（3，2）的直線上。”像這樣，讓學生去體驗、去發(fā)現(xiàn)、去探索、去爭論、去交流，激發(fā)靈感、催生靈性，提高學生的自主合作意識。

但是本節(jié)課中也有幾處不如人意的地方：在開始的自主學習這一環(huán)節(jié)，部分學生不能主動學習，成了“陪學生”；在合作交流時，部分學生不能積極參與，成了“陪聽生”；最后，歸納提高時，部分學生不能完整建構(gòu)，成了“陪思生”，這些現(xiàn)象的背后深層的原因值得思考。

2.科學建組是“兩學一歸納”課堂教學模式的組織基礎(chǔ)。由于筆者是異地借班上課，課前又不允許接觸學生，所以在上課前，筆者快速地以前后兩排組成4人小組，但具體分工和評價制度未建立好，所以無論是自主學習還是合作學習，大部分學生不敢展示或者不會展示，團隊精神、合作意識不強。因此，科學的學習小組，是課堂開展自主學習的保證。我們遵循“組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)”的原則建立“異質(zhì)型合作小組”為主要合作方式，以5到6人為宜。同時可以根據(jù)上課的內(nèi)容、學生的特點考慮選用“同質(zhì)型合作小組、異同混合型合作小組、自由組合型合作小組、隨機組合型合作小組”作為補充。建立小組捆綁評價機制，使個人榮譽與集體榮譽緊密聯(lián)系，培養(yǎng)良好的交互研討習慣，有效保障學習小組的長效發(fā)展。

3.問題驅(qū)動是“兩學一歸納”課堂教學模式的重要手段。問題是數(shù)學的心臟，也是思維活動的起點。教學活動中需要組織學生進行自主學習、合作交流、歸納提升，對學生的能力有較高的要求，而初中生在這方面的能力和經(jīng)驗還比較欠缺，因此可以設(shè)計問題串喚醒自主意識，引發(fā)學生思考，提高課堂自主度。引入的問題要具有“啟發(fā)性”，應當能夠真正起到引導學生的作用；追問的問題要具有“探究性”，應當有助于學生更好地把握相關(guān)知識的核心，或者有助于學生通過問題的思考逐步學會數(shù)學地思維；設(shè)計的問題要具有“可接受性”，也即應當善于將數(shù)學知識由原來的“學術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為適宜學生學習的“教育形態(tài)”，通過問題來驅(qū)動學習，往往是實現(xiàn)夯實知識基礎(chǔ)、揭示本質(zhì)特征、提煉數(shù)學方法、提升思維水平的有效手段。

第6篇：反比例函數(shù)的應用范文

.以“復式雙曲線”為載體的試題，形式新穎，結(jié)構(gòu)獨特，融入豐富的數(shù)學知識和數(shù)學思想，著重對思維能力、探究能力的考查，現(xiàn)從近兩年的中考試題中采擷幾例，從不同角度入手，歸納出這類問題的解題策略，以饗讀者.

一、根據(jù)k的幾何意義求面積

1.求規(guī)則圖形的面積

（1）求三角形的面積

例1 （2013年永州）如圖1，兩個反比例函數(shù)y= 4 x 和y=

2 x 在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點P在C1上，PAx軸于點A，交C2于點B，則POB的面積為．

解析 ：根據(jù)反比例函數(shù)y＝

k x （k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到SPOA＝

1 2 ×4＝2，SBOA＝ 1 2 ×2＝1，由圖象可知SPOB＝SPOA-SBOA＝2-1=1進行計算即可．

點評 ：本題考查了反比例函數(shù)y=

k x （k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=

k x （k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|.

（2）求矩形的面積

例2 （2012年蘭州）如圖2，點A 在雙曲線y=

1 x 上，點B 在雙曲線y=

3 x 上，且AB∥x 軸，點C 、D 在x 軸上，若四邊形 ABDC 為矩形，則它的面積為（ ）

解析 ：過A點作AEy軸，垂足為E，

分別由點A在雙曲線y= 1 x 上，點B在雙曲線y＝

3 x 上，得四邊形AEOD的面積為1，四邊形BEOC的面積為3，

所以四邊形ABCD的面積為3－1＝2．

故答案為：2．

點評 ：本題主要考查了反比例函數(shù) y＝

k x 中k的幾何意義，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．

（3）求平行四邊形的面積

例3 (2012年荊門) 如圖4，點A是反比例函數(shù)y= 2 x（x＞0）的圖象上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=-

3 x的圖象于點B，以AB為邊作ABCD，其中C、D在x軸上，則SABCD為（ ）

(A) 2(B) 3 (C) 4(D) 5

解析 ：設(shè)A的縱坐標是b，則B的縱坐標也是b．

把y=b代入y= 2 x 得，b= 2 x ，則x=

2 b ，即A的橫坐標是 2 b .

同理可得：B的橫坐標是：- 3 b .

則AB= 2 b -(- 3 b )= 5 b .

則SABCD= 5 b ×b=5．

故選(D)．

點評 :本題考察了反比例函數(shù)的面積不變性問題，巧妙的與平行四邊形的面積結(jié)合在一起.在計算面積時要注意，面積等于|k|.

2．求不規(guī)則圖形的面積

例4 （2011年安慶）如圖5，兩個反比例函數(shù)y＝ 6 x 和y＝

1 x 在第一象限內(nèi)的圖象是C1和C2，設(shè)點P在C1上，PCx軸于點C，交C2于點A，PDy軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為（ ）

(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8

解析 ：連接OP，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出OPC及OAC的面積分別為3和 1 2 ，進而可得出OPA的面積為3-

1 2 ＝

5 2 ，同理OPB的面積也為

5 2 ，所以四邊形PAOB的面積為5，故選(A)．

點評 ：本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即反比例函數(shù)y=k x （k≠0）圖象上的點與坐標軸所圍成的三角形的面積為

1 2 |k|.

3.利用面積求反比例函數(shù)系數(shù)k的值

例5 （2012年遵義）如圖6，平行四邊形ABCD的頂點為A、C在雙曲線y1=-

k1 x上，B、D在雙曲線y2=

k2 x 上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y軸，SABCD=24，則k2= ．

解析 ： 利用平行四邊形的性質(zhì)設(shè)A（x，y1）、B（x、y2），根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知C（-x，-y1）、D（-x、-y2）；然后由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點A、B的坐標分別代入它們所在的函數(shù)圖象的解析式，求得y1=-2y2；最后根據(jù)SABCD=

AB+CD 2

•2x=24可以求得k2=y2x=-4．

點評 ：本題考查了反比例函數(shù)綜合題．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的性質(zhì)求得點A與點B的縱坐標的數(shù)量關(guān)系是答此題的難點．

4.數(shù)形結(jié)合思想的綜合應用

例6 (2013年眉山)如圖7，在函數(shù)y1= k1 x（x＜0）和y2=

k2 x （x＞0）的圖象上，分別有A、B兩點，若AB∥x軸，交y軸于點C，且OAOB，SAOC=

1 2 ，SBOC=

9 2 ，則線段AB的長度= .

解析 ：根據(jù)反比例函數(shù)y= k x （k≠0）系數(shù)k的幾何意義易得兩反比例解析式為y=- 1 x ，y=

9 x ，設(shè)B點坐標為（

9 t ，t）（t＞0），則A點坐標為（-

1 t ，t），然后由RtAOC∽RtOBC得OC∶〖KG-*6〗BC=AC∶〖KG-*6〗BC，即t： 9 t = 1 t ∶〖KG-*6〗t，

所以t=3，

最后用兩點的橫坐標之差AB=33-（- 3 3 ）= 103 3 .

點評 ：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求待定字母的值.

例7 （2013年威海）如圖8，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函數(shù)y1= m x 的圖象經(jīng)過點A，反比例函數(shù)

y2= n x 的圖象經(jīng)過點B，則下列關(guān)于m，n的關(guān)系正確的是（ ）

(A) m=-3n〖WB〗(B) m=-3n

(C) m=- 3 3 n 〖DW〗(D) m= 3 3 n

解析 ： 過點B作BEx軸于點E，過點A作AFx軸于點F，設(shè)點B坐標為（a， n a ），點A的坐標為（b，

m b ），證明BOE∽OAF，利用對應邊成比例：

OE AF = BE OF =

OB AO ，即

-am b

=n ab

= 1 3 .

解得：m=-3ab，n=

ab 3 ，

故可得：m=-3n．所以選(A)．

第7篇：反比例函數(shù)的應用范文

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 雙曲線 增減性 自變量x的取值

一、引言

數(shù)學新教材的最大特點就是體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，重視人的發(fā)展，提倡課程與生活的聯(lián)系，以數(shù)學源于生活又用于生活為主線，著重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和動手能力，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識，使其養(yǎng)成良好的學習習慣?！稊?shù)學課程標準》明確指出：義務教育階段的數(shù)學課程，其基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展。因此，我們要以鼓勵學生主動參與，主動思考，主動探究，主動實踐為基本特征，以實現(xiàn)學生多方面能力綜合發(fā)展為核心.充分注意學生各種能力的培養(yǎng)。從實際出發(fā)，努力激發(fā)學生的學習興趣，充分調(diào)動學生的學習積極性和主動性。教會學生學習，教會學生思考，教會學生探索，使學生真正成為學習的主人。

二、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學中，當學習完反比例函數(shù)的性質(zhì)后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2，y2是反比例函數(shù)y= （a≠0）兩對自變量與函數(shù)的對應值，x1>x2>0，則0___y1___ y2（填>、y2，學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是___，A、y=-3x+4 B、y= C、y=- D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生3：因為一次函數(shù)y=kx+b，當k

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

生4：反比例函數(shù)y= 與正比例函數(shù)y=kx的性質(zhì)相反，當k>0時，y的值隨x的增大而減小。B中，y= ，k=4>0，所以B也正確。

師：講的很好。有誰需要補充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細地研讀反比例函數(shù)的性質(zhì)。

生：反比例函數(shù)y= （k≠0）的性質(zhì)：當k>0時，在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當k

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內(nèi)。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

師：我們一起來看反比例函數(shù)的解析式及其圖象。y= （k≠0）中，自變量x必須滿足什么條件？

生：x≠0。

師：為什么？

生：因為分母不等于0。因為0不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當k>0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個分支是獨立的。k>0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內(nèi)才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x>0或x

師：講得很棒，現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中x1>x2>0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1>x2>0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1>y2，且0>y1>y2。

三、問題的解決

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！卑l(fā)現(xiàn)問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權(quán)”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發(fā)學生的強烈的探索動機，培養(yǎng)學生的思維能力會起到重要作用。在復習課中，我又結(jié)合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學生進行了一次探討。因為我們都知道，在初中階段，學習的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制（函數(shù)應用中自變量取值除外）。

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始，如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳?！彼詫W生對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，可以說，是數(shù)學創(chuàng)新教育的前提，學生應成為“提出問題――分析問題――解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權(quán)利和機會。

例3，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1=x+1與反比例函數(shù)y2= 交于A、B兩點，問當x取何值時，y1>y2？

兩個函數(shù)圖象的交點問題我們都可以把它轉(zhuǎn)化為聯(lián)列方程組求公共解的問題，如本例中： 解得： ， ，即定點坐標為A（2，3），B（-3，-2），再接下來，利用函數(shù)圖象，可以解題。如圖：

當x=2或x=-3時，y1=y2，要使y1>y2，即當取一個特定的x值，一次函數(shù)圖象上的點要高于反比例函數(shù)，所以借助直線x=-3和直線x=2，以及y軸，就把整個坐標平面分成了四部分，即x

y1>y2，在這里，為什么一定要用y軸呢？因為y軸，即直線x=0，反比例函數(shù)自變量x不可能達到0，x從負到正，必須有一個分隔點，因此，當涉及到反比例函數(shù)的有關(guān)問題時，必須非常留心x的取值。

四、反思

在這次反比例函數(shù)的教學事件中，我深刻地認識到了以下幾點：

（一）教材編寫的嚴謹性，在我們的教學中，有的時候，學生的錯誤的解答是由于我們教師上課時，語言缺少嚴密性造成的，例2的教學就深刻地說明這一點，雖然只是一個自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個函數(shù)值的大小比較。

（二）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學生積極主動地參與到教學中，學習效果會更好，學生的探究，不管正確與否，只要思考了、參與了，就該給予積極的表揚。如果是錯了，也要聽聽他的錯誤思路的形成，或許，他會令你豁然開朗――哦，學生原來是這樣想的。

第8篇：反比例函數(shù)的應用范文

一、加深理解

在初中數(shù)學教學中，有相當一部分知識具有抽象性和概括性，較難理解。例如，在教學“反比例函數(shù)”這一內(nèi)容時，反比例函數(shù)的定義（形如函數(shù)y=k/x，叫做反比例函數(shù)，k為常數(shù)且k≠0；其中，k叫做比例系數(shù)，x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)）具有較強的抽象性和概括性，較難理解。其實，在數(shù)學定義中，常常用字母表示變量，要讓學生掌握這些定義，就要使他們明白相關(guān)字母的含義，并注意定義別強調(diào)的內(nèi)容（例如，k為常數(shù)且k≠0）?；诖?，教師應通過定性、定量分析等直觀的方法，抽象、概括出相關(guān)的數(shù)學定義，以幫助學生理清思路，加深理解。具體策略有三個。

1.參照、對比

由于數(shù)學教材的編寫具有一定的關(guān)聯(lián)，因此，教師可利用已學知識引入嶄新知識。例如，在教學“反比例函數(shù)”這一內(nèi)容時，教師可利用學生已學的“一次函數(shù)”“正比例函數(shù)”的相關(guān)知識引入“反比例函數(shù)”的相關(guān)知識：“在前面的學習中，我們既掌握了一次函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx+b，k和b為常數(shù)且k≠0，又掌握了正比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx，k為常數(shù)且k≠0。那么，同學們能不能參照和對比“一次函數(shù)”“正比例函數(shù)”的定義，給“反比例函數(shù)”下一個定義呢？”總之，通過參照、對比，不僅培養(yǎng)學生獨立思考和學以致用的能力，更提高課堂教學實效。

2.創(chuàng)設(shè)情景

在初中數(shù)學教學中，問題情景的創(chuàng)設(shè)不僅能巧妙引入將要學習的知識，更能緊緊抓住課堂主題。例如，在教學“反比例函數(shù)”這一內(nèi)容時，教師可通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引入“反比例函數(shù)”的定義：“從A地到B地的路程為1600km，某人開車從A地到B地，當汽車的速度為160（km/h）時，需要行駛多長時間？請寫出具體的計算過程。當汽車的速度為v（km/h）時，需要行駛多長時間？請用含有t的代數(shù)式表示v?！边@樣，教師由定量分析過渡到定性分析，既幫助學生由直觀思維向抽象思維過渡，又加深他們對知識的理解。

3.觀察、實驗

由于數(shù)學是一門具有很強實踐性和應用性的學科，所以觀察和實驗是探究數(shù)學知識的有效途徑。通過觀察和實驗，學生往往能透徹地理解抽象、概括的數(shù)學知識。例如，在教學“反比例函數(shù)”這一內(nèi)容時，教師可提出這樣的問題引領(lǐng)學生進行觀察和實驗：“從A地到B地的路程為1600km，某人開車從A地到B地，當汽車的速度為v（km/h）時，需要行駛多長時間？請用含有t的代數(shù)式表示v。當t分別為20、40、60、80和100時，v分別為多少？請用圖像表示。當t越來越大時，v會怎樣變化？當t越來越小時，v會怎樣變化？通過以上的推測和猜想，你認為反比例函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)？”這樣，學生根據(jù)提問進行觀察和實驗，從而通過已學知識學習嶄新知識，不僅加深了對嶄新知識的理解，更增強了觀察能力和實驗能力。

二、強化探究

學生是數(shù)學學習的主體，要讓他們掌握數(shù)學知識，就要讓他們理解數(shù)學知識，因此，在初中數(shù)學教學中，必須強化學生學習的自主性與探究性，從而提升他們的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

1.重視實踐教學

數(shù)學是一門理論與實踐相結(jié)合的學科，因此，教師在教學過程中不僅要注重理論教學，更要重視實踐教學。例如，在教學“投影視圖”這一內(nèi)容時，教師就應側(cè)重實踐教學。具體有三點。其一，教師可列舉日常生活中的常見事物，請學生猜測它們的投影。其二，請學生利用投影儀觀看日常生活中的常見事物的投影，以檢驗實踐與猜想是否一致，從而引入“投影視圖”的相關(guān)知識。其三，教師可組織學生進行“小組合作學習”，并要求學生課后互相合作，利用太陽光觀察日常生活中常見事物的投影，最終以表格形式進行總結(jié)。

2.注重師生互動

在初中數(shù)學教材中，“探究”思考“和”數(shù)學活動“等板塊的內(nèi)容對加強師生互動具有重要意義，因此，教師應充分整合教材中頗具價值的教學內(nèi)容，不僅為學生的探究性學習提供條件，更為師生的互動奠定基礎(chǔ)。例如，在”數(shù)學活動“這一板塊中，涉及二元一次方程的解的圖像，據(jù)此，教師可借助相關(guān)問題，讓學生自主探究。在自主探究的過程中，學生發(fā)現(xiàn)：二元一次方程的解是兩條直線的交點。接下來，在教師的引導下，學生將函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形，從而實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”。這樣，在師生的互動中，學生的抽象思維得以完善。

3.探究不同方法

就數(shù)學問題而言，只要條件稍有變化，解題方法就會不同，因此，在教學過程中，教師可將題目稍作變化，以考查學生運用知識的能力。

在RtABC中，∠CBA=90°，AB=BC。在RtADE中，∠EDA=90°，AD=DE，連接CE，取CE中點M，連接DM和BM。當點D在AC上、點E在AB上（與點B不重合）時，線段BM和DM是什么關(guān)系？請證明。當將ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°時，線段BM和DM是什么關(guān)系？請證明。

通過仔細研讀題目，我們發(fā)現(xiàn)：相對而言，第二個問題難度略高，需要學生深入思考。其實，這兩個問題不是孤立的，而是相關(guān)的，因此，在解題過程中，教師應引導學生通過問題之間的聯(lián)系進行有針對性的探究。

三、注重應用

應用既是數(shù)學學習的根本目的，又是檢驗學生數(shù)學學習能力的最好方法，因此，教師要引導學生應用所學知識。例如，在教學“二元一次方程”這一內(nèi)容時，當學生掌握了基礎(chǔ)知識后，教師可引入相關(guān)習題，以深化所學知識，最終培養(yǎng)學生應用知識的能力。

如：小紅到郵局給遠在農(nóng)村的爺爺寄掛號信，需要郵資3元8角。小紅有面額為6角和8角的郵票若干張，問各需要多少張這兩種面額的郵票？說說你的方案。

針對這道習題，教師至少應有三個教學步驟。其一，給學生留出充足的時間，讓他們認真思考，并要求他們就解題思路進行討論。其二，教師可讓學生走上講臺，展示解題過程，講述解題思路。其三，當學生有不同解題方法時，教師要及時點評和總結(jié)。

第9篇：反比例函數(shù)的應用范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學 函數(shù) 課堂 教學 設(shè)計

函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，也是初中數(shù)學里代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它在初中數(shù)學中具有較強的綜合性。筆者結(jié)合自身的教學實踐就“初中數(shù)學中函數(shù)課堂教學設(shè)計”淺談如下自己的看法，僅供大家參考：

一、注重“類比教學”

不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法，利用類比的思想進行教學設(shè)計實施教學，可稱為“類比教學”。

在函數(shù)教學中通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對后續(xù)知識的學習產(chǎn)生影響，使學生達到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學生順利地由“學會”到“會學”，真正實現(xiàn)“教是為了不教”的目的。

初中學習的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)在概念的得來、圖像性質(zhì)的研究、及基本解題方法上都有著本質(zhì)上的相似。因此采用類比的教學方法不但省時、省力，還有助于學生的理解和應用。是一種既經(jīng)濟又實效的教學方法。

首先是正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)特例，也是初中數(shù)學中的一種簡單最基本的函數(shù)。但是，我們有些教師卻因為正比例函數(shù)過于簡單，而輕視。匆匆給出概念，然后應用。等到講到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)又感到力不從心，學生接受起來概念模糊，性質(zhì)混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數(shù)的基礎(chǔ)作用，我們應該借助正比例函數(shù)這個最簡單的函數(shù)載體，把函數(shù)研究經(jīng)典流程完整呈現(xiàn)，正所謂“麻雀雖小，五臟俱全”。再學習其他函數(shù)時，在此基礎(chǔ)上類比學習，循序漸進，螺旋上升。

二、注重“數(shù)形結(jié)合”的教學

數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學中一種重要的思想方法。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。而數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長。

函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖像法本身就體現(xiàn)著函數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”。函數(shù)圖像就是將變化抽象的函數(shù)“拍照”下來研究的有效工具，函數(shù)教學離不開函數(shù)圖像的研究。在借助圖像研究函數(shù)的過程中，需要注意以下幾點原則：

1、讓學生經(jīng)歷繪制函數(shù)圖像的具體過程。首先，對于函數(shù)圖像的意義，只有學生在親身經(jīng)歷了列表、描點、連線等繪制函數(shù)圖像的具體過程，才能知道函數(shù)圖像的由來，才能了解圖像上點的橫、縱坐標與自變量值、函數(shù)值的對應關(guān)系，為學生利用函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)打好基礎(chǔ)。其次，對于具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像的認識，學生通過親身畫圖，自己發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的形狀、變化趨勢，感悟不同函數(shù)圖像之間的關(guān)系，為發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像間的規(guī)律，探索函數(shù)的性質(zhì)做好準備。

2、切莫急于呈現(xiàn)畫函數(shù)圖像的簡單畫法。首先，在探索具體函數(shù)形狀時，不能取得點太少，否則學生無法發(fā)現(xiàn)點分布的規(guī)律，從而猜想出圖像的形狀；其次，教師過早強調(diào)圖像的簡單畫法，追求方法的“最優(yōu)化”，縮短了學生知識探索的經(jīng)歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達到認識上的最佳狀態(tài)。

3、注意讓學生體會研究具體函數(shù)圖像規(guī)律的方法。初中階段一般采用兩種方法研究函數(shù)圖像：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數(shù)法。

在教學設(shè)計中，由于學生明確了函數(shù)圖像的研究方法，參與了研究過程，因而對于知識的理解是深刻的、牢固的、靈活的，更重要的是學生體驗到了一種研究函數(shù)圖像的一般方法，提高了學生的自主學習能力和思維水平。

三、函數(shù)教學過程中的幾個難點：

1、反比例函數(shù)的增減性問題。

在反比例函數(shù)教學時，反比例函數(shù)的增減性是個難點。不僅k的正負上反比例函數(shù)的增減性和正比例函數(shù)的增減性相反，而且自變量的取值范圍上有斷點。

在教學設(shè)計中教師可以借助幾何畫板課件，幫助學生形象直觀的理解了反比例函數(shù)圖像的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變化過程中的特殊點的，自然的歸納出反比例函數(shù)增減性的性質(zhì)及自變量的取值范圍，并且通過結(jié)合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數(shù)的三種表示方法的整體一致性。

2、用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題

用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學生會覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什么還要學習呢？如果學生意識不到所學數(shù)學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。

教材安排用函數(shù)的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數(shù)學知識間的橫縱聯(lián)系，體現(xiàn)函數(shù)在初中代數(shù)中的統(tǒng)領(lǐng)作用；另一方面從函數(shù)的角度，由“數(shù)”到“形”的對方程（組）、不等式加深認識，從而站在更高的角度上，提高了學生對舊認識的深度。