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證明 過點(diǎn)A作AOBC,垂足為O.因?yàn)锳C2=AO2+OC2,AD2=AO2+OD2,
所以AC2-AD2=(AO2+OC2)-(AO2+OD2)=OC2-OD2=(OC+OD)(OC-OD)=CD(OC-OD).
又因?yàn)锳B=AC,AOBC,所以O(shè)C=OB.所以AC2-AD2=CD(OB-OD)=BD?CD.
圖1 圖2推論:如圖2,ABC中,AB=AC,D為BC延長線上任意一點(diǎn),則AD2-AC2=BD?CD.
證明 延長CB到E,使BE=CD,連接AE.易證ABE≌ACD,于是AE=AD,所以AED是等腰三角形.由上面的性質(zhì)得AD2-AC2=EC?CD=(EB+BC)?CD=(CD+BC)?CD= BD?CD.
應(yīng)用這個(gè)性質(zhì),可證明一類幾何題:a2-b2=cd型證明題.若題中線段符合a2-b2=cd,有平方差,則可以a為腰構(gòu)造等腰三角形,使底邊落在直線c或d上,運(yùn)用該性質(zhì)求解.舉例如下:
圖3例1 如圖3,已知:在ABC中,AB=AC,延長BC到D,使CD=CB.求證:AD2=AB2+2BC2.
證明 由推論得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2.
圖4例2 ABC的角平分線AD的延長線交外接圓于點(diǎn)E.求證:AE2-BE2=AB?AC.
證明 如圖4,作EF=EA,交AB延長線于點(diǎn)F,即構(gòu)造等腰EAF.
由性質(zhì)得AE2-BE2=AB?BF.連接EC.因?yàn)锳E平分∠BAC,EF=EA,所以∠EAC=∠BAE=∠F,BE=EC.又因?yàn)椤螰BE=∠ECA,所以FBE≌ACE(AAS).所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC.
例3 在ABC中,∠ACB=2∠ABC.求證:AB2=AC2+AC?BC.
證明 如圖5,作AD=AB,交BC延長線于點(diǎn)D,即構(gòu)造等腰ABD.
由性質(zhì)得AB2=AC2+BC?CD.因?yàn)锳D=AB,所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D,所以∠CAD=∠D,即有AC=CD.所以AB2=AC2+AC?BC.
注 此題也可利用推論構(gòu)造等腰三角形求證.
圖5 圖6例4 如圖6,已知:ABC中,AB>AC,ADBC于D,E為BC中點(diǎn).求證:AB2-AC2=2BC?DE.
證明 作AF=AB,交BC延長線于點(diǎn)F,由性質(zhì)得AB2-AC2=BC?CF.
因?yàn)锳F=AB,ADBC,所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2(BD-BE)=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE.
圖7例5 如圖7,已知:ABC中,D在BC上,AB2-AC2=BD2-DC2.求證:AD是ABC的高.
證明 作AE=AC,交BD于點(diǎn)E,由推論得AB2-AE2=BE?BC,即AB2-AC2=BE?BC.
因?yàn)锳B2-AC2=BD2-DC2,所以BE?BC=BD2-DC2=(BD+DC)(BD-DC)=BC(BD-DC).所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED,所以ED=DC.又因?yàn)锳E=AC,所以ADEC.所以AD是ABC的高.
注 此題也可利用性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形求證.
作者簡(jiǎn)介:鄧文忠,男,1974年出生,中學(xué)一級(jí)教師,縣級(jí)名師,主要研究解題教學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽,20多篇.
打破常規(guī),整體求值
——一道填空題引發(fā)的思考
甘肅省武威第十中學(xué) 733000 陳國玉
1 問題的來源
期末復(fù)習(xí)中,模擬試卷中有這樣一道填空題:已知方程組x+2y=3
2x+y=6,則x+y= ,x-y= .我問同學(xué)們是如何解答的,同學(xué)們都說是通過解方程組,先求出方程組的解x=3
y=0,再代入求x+y和x-y中求值.我問不解方程組,可以直接求出結(jié)果嗎?同學(xué)們先是一怔,再仔細(xì)觀察方程組中各個(gè)未知數(shù)的系數(shù),恍然大悟:將兩個(gè)方程相加,可得3x+3y=9,方程兩邊都除以3可得x+y=3;將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程可得x-y=3.同學(xué)們的興趣突然被激起,課堂氛圍一下子活躍了,不禁為這種解法喝彩、叫好,有些同學(xué)還躍躍欲試.
課后我深思:能否將一般形式的二元一次方程組,不解方程組,通過上述方法,得到x+y或x-y的值呢?
2 問題的解決
例1 已知方程組3x-5y=6
2x+3y=8 ,求x+y和x-y的值.
顯然,將原方程組中的兩個(gè)方程直接相加(或相減),不可能得到(x+y)或(x-y)的整數(shù)倍,也就得不到x+y或x-y值.
起初,我想在原方程組中的一個(gè)方程(或兩個(gè)方程)中乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù),然而通過相加(或相減)這兩個(gè)方程來達(dá)到目的,但是,這個(gè)“適當(dāng)”的數(shù)又如何確定呢?
后來我是這樣想的:將這個(gè)方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的和(或差)看成一個(gè)整體,在原方程組中,“拼湊”出這個(gè)整體,通過解方程組求出這個(gè)整體的值.
下面就以上例說說這種“拼湊整體法”.
解 將原方程組變形,
得3(x+y)-8y=6 ①
2(x+y)+y=8 ②
由②×8得, 16(x+y)+8y=64. ③
由③+①得,19(x+y)=70,所以x+y=7019.
將原方程組變形,得3(x-y)-2y=6 ①
2(x-y)+5y=8 ②
由①×5+②×2得, 19(x-y)=46,所以x-y=4619.
3 拓展應(yīng)用
3.1 利用這種“拼湊整體法”解決方程組中的一些求值題
例2 已知關(guān)于x、y的方程組3x+2y=5a
4x-3y=2 的解滿足x+y=4,求a的值.
分析 將原方程組的兩個(gè)方程“拼湊”出“x+y”這個(gè)整體,通過解這個(gè)方程組求出“x+y”這個(gè)整體的值,然后再利用已知的“x+y”的值構(gòu)造方程,解之即可.
解 將原方程組變形為
3(x+y)-y=5a ①
4(x+y)-7y=2 ②
由①×7得, 21(x+y)-7y=35a. ③
由③-②得,17(x+y)=35a-2. ④
把x+y=4代入④,得17×4=35a-2,解得a=2.
例3 已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=k
3x+5y=k-1 的解x、y的差是7,求k2-2k+1的值.
分析 將原方程組的兩個(gè)方程“拼湊”出“x-y”這個(gè)整體,通過解這個(gè)方程組求出“x-y”這個(gè)整體的值,然后再利用已知的x-y=7的值構(gòu)造方程,求出k的值代入即可.
解 將原方程組變形為
(x-y)+3y=k ①
3(x-y)+8y=k-1 ②
由①×8得, 8(x-y)-24y=8k. ③
由②×3得,9(x-y)+24y=3k-3. ④
由④-③得,x-y=-5k-3. ⑤
把x-y=7代入⑤得,7=-5k-3,解得k=-2.
把k=-2代入k2-2k+1中得,原式=(-2)2-2×(-2)+1=9.
3.2 解決不等式組中待定字母的取值范圍
例4 若方程組3x-2y=m+2
2x+y=m-5的解滿足-1<x+y<1,求m的取值范圍.
分析 用“拼湊整體法”求出x+y值,然后建立不等式組,解之即可.
解 將原方程組進(jìn)行變形得,
3(x+y)-5y=m+2 ①
2(x+y)-y=m-5 ②
由②×5-①得,7(x+y)=4m-27,所以x+y=4m-277.
因?yàn)椋?<x+y<1,所以4m-277>-1
4m-277
例5 已知方程組5x+2y=2
4x-7y=a-3的解為x、y,當(dāng)a為何值時(shí),x>y?
分析 用“拼湊整體法”求出x-y值,將x>y變形為x-y>0,然后建立不等式,解之即可.
解 將原方程組變形為
5(x-y)+7y=2 ①
4(x-y)-3y=a-3 ②
由①×3+②×7得,43(x-y)=7a-15,解得x-y=7a-1543.
因?yàn)閤>y,所以x-y>0,所以7a-1543>0,解得a>157.
例1 等腰三角形的一個(gè)角是110°,那么另外兩個(gè)角分別是( )。
A.15°,45° B.35°,35° C.40°,40° D.60°,60°
知識(shí)點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì)。
題型:計(jì)算題,分類討論。
分析:因?yàn)闆]有指明這個(gè)角是頂角還是底角,所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析。
解:①當(dāng)110°是頂角時(shí),底角=(180°-110°)÷2=35°;②當(dāng)110°是底角時(shí),另一底角也是110°,因?yàn)?10°+110°>180°,所以不符合三角形內(nèi)角和定理即不能構(gòu)成三角形。故選B。
點(diǎn)評(píng):此題主要考查等腰三角形的性質(zhì),注意利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行檢驗(yàn)。
例2 小華要畫一個(gè)有兩邊長分別為7cm和8cm的等腰三角形,則這個(gè)等腰三角形的周長是( )。
A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm
知識(shí)點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系。
題型:應(yīng)用題。
分析:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),本題可分情況討論。腰長為7cm或者腰長為8cm。
解:根據(jù)等腰三角形的概念,有兩邊相等,因而可以是兩條邊長為7或兩條邊長為8。當(dāng)兩條邊長為7時(shí),周長=7×2+8=22cm;當(dāng)兩條邊長為8時(shí),周長=8×2+7=23cm。故選C。
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系。沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形。
例3 (2009?黔東南州)如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A等于( )。
A.30° B.40°
C.45° D.36°
知識(shí)點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì)。
分析:題中相等的邊較多,且都是在同一個(gè)三角形中,因?yàn)榍蟆敖恰钡亩葦?shù),將“等邊”轉(zhuǎn)化為有關(guān)的“等角”,充分運(yùn)用“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì),再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°求解此題。
解:BD=AD ∠A=∠ABD
BD=BC ∠BDC=∠C
又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∠C=∠BDC=2∠A
AB=AC ∠ABC=∠C
又∠A+∠ABC+∠C=180°
∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式,得∠A+2×2∠A=180°,解得∠A=36°。
故選D。
點(diǎn)評(píng):本題反復(fù)運(yùn)用了“等邊對(duì)等角”,將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)角的關(guān)系,并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關(guān)角的度數(shù)問題。
例4 若等腰三角形的底邊長為5cm,一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm,則腰長為( )。
A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不對(duì)
知識(shí)點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì)。
題型:計(jì)算題。
分析:此題可由題意得出兩種情況,此等腰三角形腰長與底邊長之差為3cm,或底邊長與腰長之差為3cm。再根據(jù)關(guān)系解出即可。
解:等腰三角形一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm。
可知有兩種情況:此等腰三角形腰長與底邊長為之差為3cm,或底邊長與腰長之差為3cm。
底邊長為5cm。
其腰長為2cm或8cm。
三角形兩邊之和要大于第三邊,可是如果要為2,則2+2
故選A。
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中線的性質(zhì)。注意在這里因?yàn)樗鼪]有強(qiáng)調(diào)誰減誰等于3cm,所以必須分為兩種情況去分析討論。
例5 如圖,在ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)P,PD∥AB,PE∥AC,分別交BC于點(diǎn)D、E,且BC=7cm,則PDE的周長為( )。
A.7cm B.8cm
C.9cm D.10cm
知識(shí)點(diǎn):平行線的性質(zhì)。
分析:可利用角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)得出∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠EPC,進(jìn)而得出PD=BD,PE=CE,故可求解。
解:BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB
∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE
又PD∥AB,PE∥AC
∠ABP=∠BPD,∠APC=∠EPC
∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠EPC
PD=BD,PE=CE
PDE的周長為PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm
故選A。
點(diǎn)評(píng):考查平行線及角平分線的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì),能夠求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問題。
例6 等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共為( )。
A.3 B.5 C.7 D.9
知識(shí)點(diǎn):等邊三角形的性質(zhì)。
題型:計(jì)算題。
分析:根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì),可以求得等邊三角形每個(gè)內(nèi)角的角平分線和其對(duì)應(yīng)邊的中線、高線重合,即可解題。
解:等邊三角形為特殊的等腰三角形,故每個(gè)內(nèi)角的角平分線和其對(duì)應(yīng)邊的中線、高線均符合三線合一的性質(zhì),故等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共3條。
故選A。
我們?cè)谇懊嫜芯繄D形的過程中,一直有一根“線”——“對(duì)稱”在引導(dǎo)著我們?nèi)フJ(rèn)識(shí)圖形. 由“軸對(duì)稱”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、中垂線性質(zhì),由“中心對(duì)稱”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線的性質(zhì). 在這一章中上述結(jié)論的再學(xué)習(xí)并不是游離于以往的探索經(jīng)驗(yàn),而是依然建立在我們對(duì)“對(duì)稱”的理解和認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上,繼續(xù)發(fā)揮這根“線”的作用,借助曾經(jīng)的實(shí)驗(yàn)操作方法,就能幫助我們確定證明的方法.
知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等
【透析】 應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個(gè)角相等時(shí),必須是這兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中,否則結(jié)論不一定成立.
知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合
【透析】 這個(gè)定理簡(jiǎn)稱為“三線合一”,應(yīng)用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關(guān)等腰三角形的問題中,經(jīng)常需要添加輔助線,雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合,但是如何添加輔助線要由具體情況來決定,作輔助線時(shí)只需作出一條,再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.
知識(shí)點(diǎn)3 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理,只能用在直角三角形中,對(duì)于一般三角形是不成立的. 證明中,主要涉及兩種方法:圖形的“拆”(把一個(gè)等腰三角形拆成兩個(gè)全等的直角三角形)和“拼”(把兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)等腰三角形),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,即把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題.
知識(shí)點(diǎn)4 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
【透析】 這里的“距離”是指“點(diǎn)到直線的距離”,因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件,否則不能得到線段相等.
知識(shí)點(diǎn)5 菱形的性質(zhì)
【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形,它也具有平行四邊形的所有性質(zhì),它的獨(dú)特性質(zhì)主要體現(xiàn)在:(1) 4條邊都相等,對(duì)角線互相垂直;(2) 菱形的對(duì)角線把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形;(3) 計(jì)算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計(jì)算公式外,當(dāng)a,b分別表示兩條對(duì)角線的長時(shí),菱形的面積為s=ab.
知識(shí)點(diǎn)6 矩形的判定
【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個(gè)條件. (1) 定義判定:① 平行四邊形;② 有一個(gè)角是直角. (2) 判定定理1:① 平行四邊形;② 對(duì)角線相等. (3) 判定定理2:① 四邊形;② 有3個(gè)角是直角.
知識(shí)點(diǎn)7 菱形的判定
【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形,要證它是菱形,需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直;當(dāng)四邊形是一般的四邊形,要證它是菱形,可以證它的四條邊相等或先證它是一個(gè)平行四邊形,再證它是菱形.
知識(shí)點(diǎn)8 正方形的判定
【透析】 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要途徑有兩條:(1) 先證它是矩形,再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直;(2) 先證它是菱形,再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.
知識(shí)點(diǎn)9 等腰梯形的判定
【透析】 等腰梯形判定的一般步驟:先判定一個(gè)四邊形是梯形,再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個(gè)角相等或?qū)蔷€相等”來判定它是等腰梯形.
考點(diǎn)一、線段垂直平分線,角的平分線,垂線
1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理
垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理:和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。2、角的平分線及其性質(zhì)
一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理:
(1)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
(2)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。
3垂線的性質(zhì):
性質(zhì)1:過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短。簡(jiǎn)稱:垂線段最短。2、三角形中的主要線段
(1)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。
(2)在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。
(3)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡(jiǎn)稱三角形的高)。
3、三角形的穩(wěn)定性
三角形的形狀是固定的,三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣,需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
(1)三角形三邊關(guān)系定理:三角形的兩邊之和大于第三邊。推論:三角形的兩邊之差小于第三邊。
(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用:
①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時(shí),可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。7、三角形的角關(guān)系
三角形的內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論:
①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
注:在同一個(gè)三角形中:等角對(duì)等邊;等邊對(duì)等角;大角對(duì)大邊;大邊對(duì)大角。等角的補(bǔ)角相等,等角的余角相等。
8、三角形的面積
三角形的面積=
2
1
×底×高應(yīng)用:經(jīng)常利用兩個(gè)三角形面積關(guān)系求底、高的比例關(guān)系或值
考點(diǎn)二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí),互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊,夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理:直角三角形全等的判定:
對(duì)于特殊的直角三角形,判定它們?nèi)葧r(shí),還有HL定理(斜邊、直角邊定理):有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)考點(diǎn)三、等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論:
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)
推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2:等邊三角形的各個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60°。(2)等腰三角形的其他性質(zhì):
①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角(或直角),但頂角可為鈍角(或直角)。
③等腰三角形的三邊關(guān)系:設(shè)腰長為a,底邊長為b,則
一、創(chuàng)設(shè)“激勵(lì)式”的教學(xué)氛圍,激發(fā)學(xué)生對(duì)等腰三角形的探索欲
數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的枯燥性,對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說,要想充分吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的探索欲,就必須有效營造“激勵(lì)式”教學(xué)氛圍,以良好的教學(xué)氛圍激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)能動(dòng)性,幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙,達(dá)到預(yù)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在等腰三角形的相關(guān)知識(shí)教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地尋找學(xué)生學(xué)習(xí)等腰三角形的情感“敏感區(qū)”,激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情感因子和對(duì)等腰三角形的探索欲,使學(xué)生在充沛的情感動(dòng)力支撐下投入到等腰三角形的知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中,這樣能夠取得的教學(xué)效果是最佳的。
以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例。在這一節(jié)課中,可以利用問題引導(dǎo)、層層推進(jìn)的方式,營造“激勵(lì)式”的教學(xué)氛圍,激發(fā)學(xué)生了解等腰三角形、探索等腰三角形的欲望。具體來說,首先,教師可列舉一些生活當(dāng)中等腰三角形的例子,使學(xué)生對(duì)等腰三角形產(chǎn)生一個(gè)較為直觀的印象;然后,教師可利用多媒體播放設(shè)備,展示一些等腰三角形的形象,帶領(lǐng)學(xué)生找出等腰三角形的特征,并對(duì)等腰三角形進(jìn)行明確定義,使學(xué)生對(duì)等腰三角形的概念產(chǎn)生深入認(rèn)識(shí);接下來,是最關(guān)鍵的一步,即引發(fā)學(xué)生的探索欲,教師可以用“大家還知道生活中哪些東西是等腰三角形啊”“等腰三角形在我們的生活中有沒有出現(xiàn)過呢”等話語,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考,也可以通過多媒體設(shè)備展示多個(gè)三角形形象,讓學(xué)生找出其中哪些是等腰三角形,以此讓學(xué)生的頭腦“動(dòng)起來”,主動(dòng)進(jìn)行思考、探索、分析,這樣可充分激發(fā)學(xué)生的探索欲,使學(xué)生對(duì)于等腰三角形這一概念的理解更加深刻,甚至產(chǎn)生教學(xué)之外的獨(dú)到見解。
二、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解答,傳授學(xué)生科學(xué)的問題探究方法
在主動(dòng)進(jìn)行問題探究、問題解答的過程中,很多學(xué)生的方式是非常盲目甚至錯(cuò)誤的,并沒有遵循科學(xué)的問題探究方法。因此,在問題探究的過程中,教師應(yīng)當(dāng)引好路、指好方向,通過互動(dòng)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效探究,避免學(xué)生盲目、無目的思考情況出現(xiàn),并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)問題的解答,幫助學(xué)生在實(shí)踐探索當(dāng)中逐漸掌握科學(xué)的問題探究方法,掌握自主科學(xué)探究的能力。
一、證線段相等
例1已知:如圖1,在ABC中,D為BC邊的中點(diǎn),EDBC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E,EFAB于點(diǎn)F,EGAC交AC的延長線于點(diǎn)G.求證:BF=CG.
解析:本題可構(gòu)造三角形,根據(jù)角平分線的性質(zhì)找出全等關(guān)系,使問題獲證.
連結(jié)EB、EC.因?yàn)镋D垂直平分BC,所以EB=EC.又因?yàn)锳E為∠BAC的平分線,且EFAB,EGAC,所以根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF=EG.從而RtEBF≌RtECG.根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,可得BF=CG.
二、證線段之差不等
例2已知:如圖2,∠1=∠2,AB>AC,P是AD上一點(diǎn).求證:PB-PC<AB-AC.
解析:本題可通過截長法找出等量關(guān)系,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)找到全等關(guān)系,從而使問題得證.
在AB上截取AE=AC,連結(jié)PE.在APE和APC中,因?yàn)锳E=AC,∠1=∠2,AP為公共邊,所以APE≌APC,從而PE=PC.在BEP中,PB-PE<BE,而PE=PC,BE=AB-AE=AB-AC,所以PB-PC<AB-AC.
三、證線段垂直
例3已知:如圖3,在ABC中,AD平分∠BAC,DEAB于點(diǎn)E,DFAC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,與AD交于點(diǎn)O.求證:ADEF.
解析:本題可先證出AEF是等腰三角形,再根據(jù)角平分線的性質(zhì),使問題獲證.
在RtADE和RtADF中,因?yàn)椤螦ED=∠AFD,∠EAD=∠FAD,AD為公共邊,所以RtADE≌RtADF,所以AE=AF,所以AEF是等腰三角形.因?yàn)锳O是頂角∠EAF的平分線,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AOEF,即ADEF.
四、證線段平行
例4已知:如圖4,從ABC的頂點(diǎn)A分別引∠ABC、∠ACB的平分線的垂線,垂足分別為D、E.求證:DE∥BC.
解析:要證DE∥BC,可延長AE、AD,由角平分線的性質(zhì)證出DE為AFG的中位線.
延長AE交BC于點(diǎn)F,延長AD交BC于點(diǎn)G.由BD平分∠ABC,BDAG ,可得RtABD≌RtGBD,從而AD=DG.同理可得,AE=EF.所以DE為AFG的中位線.由中位線的性質(zhì)可得DE∥FG,即DE∥BC.
五、證兩線段之和與第三條線段相等
例5如圖5,在ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分線.求證:BC=AD+AC.
解析:根據(jù)角平分線的對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形,可使問題獲證.
在BC上取一點(diǎn)E,使CE=CA,連結(jié)DE.由CA=CE,∠1=∠2,CD=CD,可得ACD≌ECD,所以AD=ED.因?yàn)椤螩ED=∠A=2∠B,且∠CED=∠BDE+∠B,所以∠BDE=∠B,從而BE=DE=AD.所以BC=BE+EC=AD+AC.
六、證兩線段之和與第三條線段不等
例6已知:如圖6,D為ABC的邊BC的中點(diǎn),∠ADB、∠ADC的平分線分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F.求證:EF<BE+CF.
解析:要求證的線段比較分散,可由角平分線的性質(zhì)入手,將要求的數(shù)量關(guān)系集中于同一三角形中.
延長FD至點(diǎn)M,使DM=FD,連結(jié)BM、EM.由DM=FD,∠BDM=∠CDF,BD=CD,可得BDM≌CDF,所以BM=CF.因?yàn)椤螦DF=∠CDF,∠BDM=∠CDF,所以∠BDM=∠ADF.又因?yàn)椤螧DE=∠ADE,所以∠EDM=∠EDF.又因?yàn)镈M=FD,DE為公共邊,所以DEM≌DEF,所以EM=EF.因?yàn)镋M<BE+BM,所以EF<BE+CF.
七、證線段之間的倍數(shù)關(guān)系
例7已知:如圖7,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,∠B的平分線交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.
解析:要證BD=2CE,可將CE延長一倍,結(jié)合角平分線的性質(zhì)找出等量關(guān)系,使問題得證.
延長BA、CE交于點(diǎn)F.由BE平分∠CBF,且BECF,可知BCF為等腰三角形,從而CE=EF,即CF=2CE.因?yàn)椤螧AD=∠CAF=90°,AB=AC,∠ABD=90°-∠F=∠ACF,所以RtABD≌RtACF,從而BD=CF=2CE.
八、證線段之間的差倍關(guān)系
例8已知:如圖8,AO是ABC中∠A的角平分線,BDAO交AO的延長線于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn).求證:AB-AC=2DE.
解析:可根據(jù)角平分線的性質(zhì),構(gòu)造等腰三角形求證.
等邊三角形(又稱正三邊形),為三邊相等的三角形,其三個(gè)內(nèi)角相等,均為60°,它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。等邊三角形是特殊的等腰三角形,所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質(zhì)。
性質(zhì)
(1)等邊三角形是銳角三角形,等邊三角形的內(nèi)角都相等,且均為60°。
(2)等邊三角形每條邊上的中線、高線和角平分線互相重合。(三線合一)
(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸,對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高線或角的平分線所在的直線。
(4)等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點(diǎn),稱為等邊三角形的中心。(四心合一)
(5)等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值。(等于其高)
1、S=1/2×a2,S=1/2×ch。(其中a為直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高)。
2、等腰直角三角形是一種特殊的三角形,具有所有三角形的性質(zhì):穩(wěn)定性,兩直角邊相等 直角邊夾一直角銳角45°,斜邊上中線角平分線垂線三線合一。
3、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形(有一個(gè)角是直角),也是特殊的直角三角形(兩條直角邊等),因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)(如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等)。
(來源:文章屋網(wǎng) )
一、教學(xué)誤區(qū)
1.數(shù)學(xué)思維的含金量不高
蘇科版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》(以下稱“蘇科版”)八年級(jí)上冊(cè)教材,在“等腰三角形的軸對(duì)稱性”這一內(nèi)容中,就探究“等腰三角形的性質(zhì)”提供了下列教學(xué)素材:把等腰三角形紙片(圖1)沿頂角平分線折疊,你有什么發(fā)現(xiàn)?
……
探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一內(nèi)容,又提供了下列教學(xué)素材:剪一張直角三角形紙片,如圖2(1)。
……
把紙片按圖2(2)所示的方法折疊,再把紙片展開并連接CD(如圖2(3)),你發(fā)現(xiàn)了什么?
……
教材的編寫意圖,顯然是要讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作來獲取等腰三角形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等一系列的結(jié)論。這種由操作到結(jié)論的方法,解決問題的入口寬,操作簡(jiǎn)便,不失是一種幫助學(xué)生探究問題的好辦法。
教學(xué)中,如果將教材中的操作原封不動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生,對(duì)于基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生,運(yùn)用這種方法,顯然在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)也獲取了知識(shí)。而對(duì)于基礎(chǔ)好一點(diǎn)、思維能力強(qiáng)一點(diǎn)的學(xué)生,讓他們被動(dòng)地按照上述的操作指令進(jìn)行實(shí)驗(yàn),即使得到有效結(jié)論,也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”,只有折疊的技術(shù)要求,沒有思維的活動(dòng)內(nèi)涵,久之,勢(shì)必削弱學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含金量。如果只是用技術(shù)做實(shí)驗(yàn),那么數(shù)學(xué)課與技術(shù)課、勞技課還有差別嗎?建立在“指令性操作”這一層面上的實(shí)驗(yàn)與教學(xué)中一貫反對(duì)的“告訴式”、“注入式”教學(xué)有差別嗎?這值得研究與探討。
2.實(shí)驗(yàn)價(jià)值利用率不大
“蘇科版教材”(八年級(jí)上冊(cè)),在“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一內(nèi)容中,提供了下列教學(xué)素材:
在小學(xué)里,我們?cè)?jīng)把一個(gè)三角形的3個(gè)角拼在一起,發(fā)現(xiàn)了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。(筆者以下稱“拼角實(shí)驗(yàn)”)
如圖3,在ABC的邊AC所在的直線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,直線AC與邊BC的延長線分別交于點(diǎn)C1、C2、C3……
(1)在上述過程中,哪些角的大小發(fā)生了變化?
(2)度量∠BAC與∠ACB,并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發(fā)現(xiàn)了什么?
(3)當(dāng)直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC′,使AC′∥BC′時(shí),度量∠BAC′的度數(shù),你發(fā)現(xiàn)了什么?(筆者以下稱“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”)
“拼角實(shí)驗(yàn)”主要是發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理,并由拼角實(shí)驗(yàn)的啟發(fā),得到證明三角形內(nèi)角和的輔助線。而在實(shí)際教學(xué)中,老師只開發(fā)出實(shí)驗(yàn)的發(fā)現(xiàn)價(jià)值,實(shí)驗(yàn)結(jié)束后,沒有將研究的價(jià)值從拼角的過程中遷移到論證的輔助線的作法上來,這樣就喪失了這個(gè)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值。
同樣,在“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”中,其價(jià)值一是用“控制變量法”來研究三角形的內(nèi)角和。即控制三角形中的一個(gè)內(nèi)角∠B不變,通過變化∠BAC、∠ACB的大小,發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠ACB的和不變,進(jìn)而得到三角形的三個(gè)內(nèi)角的和不變,是一個(gè)固定值,從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探究欲望。價(jià)值二是探究三角形三個(gè)內(nèi)角和這個(gè)固定值是多少,發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。價(jià)值三是從實(shí)驗(yàn)的過程中,尋找到證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線的另一種作法,從而為證明三角形內(nèi)角和為180°服務(wù)。在教學(xué)過程中,教師往往將轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)單一地理解為發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理,價(jià)值一、價(jià)值三被忽視了。
3.數(shù)學(xué)本質(zhì)的遷移性不強(qiáng)
“蘇科版教材”(七年級(jí)上冊(cè))有這樣一道習(xí)題:
桌子上有3只杯口都朝上的茶杯,每次翻轉(zhuǎn)2只,能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下?7只杯口都朝上的茶杯,每次翻轉(zhuǎn)3只,能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使7只杯子的杯口全部朝下?
教學(xué)中有不少教師讓幾位同學(xué)拿上7個(gè)紙杯到講臺(tái)桌旁進(jìn)行實(shí)驗(yàn),或者讓學(xué)生預(yù)先準(zhǔn)備好紙杯,上課時(shí)自我實(shí)驗(yàn)。第一次,翻動(dòng)后有2只杯子口朝下,5只杯子口朝上;第二次,翻動(dòng)后有4只杯子口朝下,3只杯子口朝上;第三次,翻動(dòng)后有6只杯子口朝下,1只杯子口朝上;第四次,翻動(dòng)后有4只杯子口朝下,3只杯子口朝上……一分鐘過去了,兩分鐘過去了,四分鐘過去了……時(shí)間一分一秒的流逝了,學(xué)生卻隨著時(shí)間變得昏昏沉沉,手忙腳亂,連翻動(dòng)了幾次也數(shù)不清,怎么也想不出來解決這個(gè)問題的思路。最后,教師不得不告訴學(xué)生,無論翻動(dòng)多少次,杯口朝上的都是奇數(shù)不是偶數(shù),所以無論翻動(dòng)多少次都是不可能杯口全部朝下的,這才將本問題勉強(qiáng)解決了。究其原因,這是教師、學(xué)生看不清問題而造成的。
二、矯正方法
1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在價(jià)值立意上作設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值立意必須是建立在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之上,如果離開了數(shù)學(xué)思維,將實(shí)驗(yàn)定位在按提供的實(shí)驗(yàn)程序進(jìn)行機(jī)械的操作,那只能算是一個(gè)簡(jiǎn)單的技術(shù)活動(dòng),這樣的活動(dòng)只有動(dòng)手沒有動(dòng)腦,已偏離數(shù)學(xué)的軌道,失去了數(shù)學(xué)味道,在數(shù)學(xué)教學(xué)上就沒有意義了。
要凸顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值,必須讓其既具有科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一般立意,又具有數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維魅力。即讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也遵循科學(xué)實(shí)驗(yàn)“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的一般規(guī)律。基于這樣的認(rèn)識(shí),可以對(duì)文中提及的“等腰三角形的性質(zhì)”的教學(xué)素材進(jìn)行如下處理。
實(shí)驗(yàn)1:探究“等腰三角形的性質(zhì)”
【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹客ㄟ^1次折疊1個(gè)等腰三角形形成2個(gè)全等的直角三角形的活動(dòng),發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。
根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)?zāi)康?,教師可以設(shè)計(jì)下列活動(dòng),讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。
(1)師:今天老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片,這節(jié)課就和同學(xué)們玩玩這些紙片,同學(xué)們有沒有興趣?
設(shè)計(jì)意圖:用這樣的開場(chǎng)白,來激發(fā)學(xué)生的積極性。
(2)師:如何將手中的1個(gè)等腰三角形紙片,通過1次折疊形成2個(gè)全等的直角三角形?
設(shè)計(jì)意圖:提出這個(gè)問題,引發(fā)學(xué)生弄清折疊的要求,進(jìn)而探尋折疊的方法。這個(gè)過程,就是教師層面上設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程,主要由教師站在數(shù)學(xué)背景的高度來提出問題,讓學(xué)生探尋實(shí)驗(yàn)方案。
【實(shí)驗(yàn)活動(dòng)】讓學(xué)生根據(jù)教師提出的實(shí)驗(yàn)要求,在思維場(chǎng)景中去探尋折疊與相等、對(duì)稱的關(guān)系,從而讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,而不是讓學(xué)生麻木地去折、去猜、去碰,最終形成學(xué)生層面上的實(shí)驗(yàn)方案,進(jìn)而達(dá)到教材中折疊的技術(shù)要求。
方案1:根據(jù)“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊(數(shù)學(xué)活動(dòng))――重合(數(shù)學(xué)觀念)――相等(數(shù)學(xué)結(jié)論)”這一“相等”的思路,進(jìn)行折疊。
方案2:根據(jù)“對(duì)稱原理”形成折疊方案。即沿著“折疊(數(shù)學(xué)活動(dòng))――重合(數(shù)學(xué)觀念)――對(duì)稱(數(shù)學(xué)結(jié)論)”這一“對(duì)稱”的思路,進(jìn)行折疊。
學(xué)生經(jīng)過這個(gè)思維背景再進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(折疊),不但驗(yàn)證了自己的想法(方案)可行可用,而且還錘煉了數(shù)學(xué)思維。對(duì)于思維層次不高的學(xué)生,讓他們自主地構(gòu)建上述活動(dòng)顯然有困難,這個(gè)困難主要是怎么設(shè)計(jì)出折疊的方案,而對(duì)于折疊的技術(shù),他們?cè)谂c其他同學(xué)討論交流中,也能完成這樣一個(gè)折疊操作,并且在這個(gè)活動(dòng)中并沒有降低課本對(duì)他們的基本要求。
【數(shù)學(xué)猜想】實(shí)驗(yàn)是表征,通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論才是本源。為此,實(shí)驗(yàn)后,教師要讓學(xué)生直逼數(shù)學(xué)本質(zhì)。這個(gè)活動(dòng)一般可運(yùn)用下列方法來進(jìn)行。
師:通過這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),你可以得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論?
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)的過程,得到“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,頂角的平分線所在的直線、底邊上的高所在直線、底邊上的中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合”數(shù)學(xué)猜想。
【數(shù)學(xué)證明】實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)猜想,是基于直覺和簡(jiǎn)單邏輯下形成的,那么就有必要對(duì)數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行數(shù)學(xué)證明,因?yàn)閿?shù)學(xué)的最高境界便是證明。為了實(shí)現(xiàn)上述目的,可以設(shè)計(jì)下列問題,引發(fā)學(xué)生證明。
師:你上述的猜想一定正確嗎?
設(shè)計(jì)意圖:引發(fā)學(xué)生進(jìn)行理性證明。
【數(shù)學(xué)結(jié)論】通過折疊,輔之于觀察、抽象、歸納、簡(jiǎn)單的推理等思維活動(dòng),形成了數(shù)學(xué)猜想;通過數(shù)學(xué)論證,即通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理、有力的數(shù)學(xué)證明,得到了絕對(duì)真理的數(shù)學(xué)結(jié)論。如何證明這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論,是脫離數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),另辟蹊徑;還是回歸實(shí)驗(yàn),探尋靈感?顯然是要讓學(xué)生透過實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,探求形成現(xiàn)象的本質(zhì),完成論證猜想的證明。所以在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,探究輔助線的作法,一定要讓學(xué)生回歸折疊的過程,不僅要讓學(xué)生正確地引出輔助線,而且還要讓學(xué)生體驗(yàn)輔助線誕生的必要性與合理性,這才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)價(jià)值。
【經(jīng)驗(yàn)積累】任何一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),都要讓學(xué)生形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)橹挥谢顒?dòng)沒有經(jīng)驗(yàn)的過程,只能是一個(gè)執(zhí)行命令的過程,它永遠(yuǎn)停留在重復(fù)別人想法的過程中,所以只有通過活動(dòng)形成自己特有經(jīng)驗(yàn),才是一個(gè)將別人的想法內(nèi)化為自己知識(shí)的過程,這才是學(xué)習(xí)的真正目的。這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),帶給學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)主要有上述提及的“相等思維”和“對(duì)稱思維”這兩種思維方法,它既是設(shè)計(jì)折疊實(shí)驗(yàn)方案的基本思路,也是解決折疊問題的基本方法。
完成了探究等腰三角形的性質(zhì)后,還可以用下列實(shí)驗(yàn)活動(dòng)來探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的問題
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2:探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”
問題1:既然1個(gè)等腰三角形紙片通過1次折疊可以形成2個(gè)全等的直角三角形,那么可不可以將一個(gè)直角三角形通過2次折疊,形成2個(gè)等腰三角形呢?
問題2:從將1個(gè)直角三角形通過2次折疊,形成2個(gè)等腰三角形的實(shí)驗(yàn)中,你們又可以得到哪些數(shù)學(xué)猜想?
問題3:你準(zhǔn)備如何來論證這個(gè)結(jié)論?
……
這三個(gè)問題鏈的設(shè)計(jì),也是基于“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的理念。有價(jià)值的思維永遠(yuǎn)不是建立在技巧上,而是體現(xiàn)在解決一類問題的通法上,因?yàn)樗墙逃?guī)律在教學(xué)實(shí)踐中的具體體現(xiàn)。
2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在過程分析上作整合
在“等腰三角形的性質(zhì)”中,已提及到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在其過程中吸取養(yǎng)分,下面再根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”,重點(diǎn)談?wù)勥@個(gè)話題。
三角形內(nèi)角和的實(shí)驗(yàn),其立意就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角,適當(dāng)?shù)亍鞍岚峒摇?,組合變成我們熟知的180°的角。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí),已有平角的度數(shù)是180°、鄰補(bǔ)角的度數(shù)是180°、平行線形成的同旁內(nèi)角的和是180°等知識(shí)諸備。就“拼角實(shí)驗(yàn)”而言,形成新角的過程一是形成平角,二是形成鄰補(bǔ)角。就“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”而言,形成新角的過程是平行線下的同旁內(nèi)角。這三種拼角的過程非常重要,它是形成證明三角形內(nèi)角和定理輔助線的關(guān)鍵,也是設(shè)計(jì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值所在,教學(xué)中不容忽視。
(1)拼角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線
①由拼成平角的實(shí)驗(yàn)(圖4),可以構(gòu)造出過點(diǎn)A引BC平行線DE的輔助線(圖5)的證法。
②由拼成鄰補(bǔ)角的實(shí)驗(yàn)(圖6),構(gòu)造出延長BA到E,并過點(diǎn)A引BC平行線AD的輔助線(圖7)的證法。
(2)轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線
由拼成平行線下的同旁內(nèi)角互補(bǔ)的實(shí)驗(yàn)(圖8),可以構(gòu)造出過點(diǎn)A引BC平行線AD的輔助線(圖9)的證法。
通過實(shí)驗(yàn),可以得到三角形內(nèi)角和為180°的假設(shè),通過證明,得到了三角形內(nèi)角和定理。看似這一過程比較圓滿,在此建議增加一個(gè)對(duì)上述思維過程的反思環(huán)節(jié)??梢砸龑?dǎo)學(xué)生對(duì)上述實(shí)驗(yàn)活動(dòng)進(jìn)行研究反思,正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°,我們才可以設(shè)計(jì)出“拼角實(shí)驗(yàn)”,才可以通過“拼角實(shí)驗(yàn)”順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角的輔助線、才可以順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成鄰補(bǔ)角的輔助線來證明內(nèi)角和定理;正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°,我們才可以設(shè)計(jì)出“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”,才可以順利尋找出通過將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線形成的同旁內(nèi)角的輔助線來證明此定理。
3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在問題本質(zhì)上作文章
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與理性思維怎么處理,一直是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)注的問題。物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn),常常是重過程現(xiàn)象,更重實(shí)驗(yàn)結(jié)果。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,要關(guān)注的是動(dòng)手思考的習(xí)慣,更注重的是實(shí)驗(yàn)過程中數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示。一個(gè)好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),要能引導(dǎo)學(xué)生思考問題,在實(shí)驗(yàn)中抽象出一般的原理,用數(shù)學(xué)語言講出數(shù)學(xué)故事。
文中所提及的“翻轉(zhuǎn)杯口”的實(shí)驗(yàn),如果教師看不清、看不準(zhǔn)這個(gè)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),只能是引導(dǎo)學(xué)生機(jī)械地進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn),學(xué)生必然得不到深層次的思考。這個(gè)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是將實(shí)驗(yàn)中的問題抽象為通過改變乘積中因數(shù)符號(hào)的個(gè)數(shù),進(jìn)而確定積的符號(hào)是否發(fā)生變化這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題。基于這樣的認(rèn)識(shí),就能找到這個(gè)問題規(guī)律化的結(jié)論。因此,可以將本問題作如下拓展。
結(jié)合上述解題經(jīng)驗(yàn),請(qǐng)?zhí)骄浚航o定正面向上的撲克牌m張,每次翻動(dòng)n張(m不能被n整除),試研究是否可以經(jīng)過改變一張或幾張牌的正反面,將桌面上的撲克牌全部反向。
我們不妨將正面向上的每張牌看成數(shù)+1,反面向上的每張牌看成數(shù)-1,每翻動(dòng)一張牌,則桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變一次符號(hào)(由-1變?yōu)?1)。類似于,若一次翻動(dòng)n張,就改變n次符號(hào)。因此,若n為奇數(shù),由于奇數(shù)個(gè)-1的積為-1,桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變了符號(hào);而若n為偶數(shù),由于偶數(shù)個(gè)-1的積為+1,桌子上所有牌所寫的數(shù)的積仍保持原來的符號(hào)。
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面向上,須改變積的符號(hào)。由上可見,若n為偶數(shù),那是不可能做到的;而若n是奇數(shù),則有可能做到,且翻動(dòng)的次數(shù)必須奇數(shù)次。
當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面朝上,不須改變積的符號(hào)。由上可見,若n為奇數(shù),須翻動(dòng)偶數(shù)次可達(dá)目的;若n是偶數(shù),翻動(dòng)次數(shù)可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)(如表1)。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)隨著課程改革的深入,越發(fā)顯示出其強(qiáng)大的生命力,這是毋庸置疑的。本文提及的案例,只是在實(shí)施這一理念中教學(xué)行為上的一些偏差,我們期待更好更多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)成果的涌現(xiàn)。